«Олимпиадалық тапсырмалар»

«Математикалық сауаттылық негіздері» пәні бойынша

«Олимпиадалық тапсырмалар»
Орындаған: Бакытова Н.А.

Группа: ММОК201

Қабылдаған: Қасқатаева Б.Р.-п.ғ.д., доцент

1-есеп. Қала әкiмi сұлу нөмiрлердi жақсы көредi. Оның ойынша, егер нөмiрдiң цифрларының арасына және айналасына +, −, ×, / және жақша таңбаларын қойып мәнi 10-ға бөлiнетiн өрнек жасай алсақ, онда бұл нөмiрдi сұлу деуге болады. Әкiмнiң қуанышына орай, осы айда қалада көлiк нөмiрлерiн реформалау жоспарланған. Қаладағы әрбiр көлiктiң нөмiрi күмәнсiз сұлу болуы үшiн, нөмiр ең кем дегенде неше цифрдан тұруы тиiс? (Бұл қаладағы нөмiрлердiң бәрi тек цифрлардан құралады)

Шешуі: Әлбетте, егер санда 0 болса, онда ол әдемі. Егер нөмірде 5 саны болса, онда оның оң немесе сол жағында екі сан бар,

+ белгісі мен жақшаның көмегімен 2 -ге еселік болатын өрнекті алуға болады

және 5 пен қалған санға көбейтіңіз. Әрі қарай, 0 және 5 цифрлары жоқ сандарды қарастырамыз.

Барлық + 𝑛, −𝑚 - 𝑛, 𝑚 - 𝑛, −𝑚 + 𝑛 өрнектері беретінін байқау қиын емес.

5 -ке бөлінгенде әр түрлі қалдықтар

екі таңбалы 𝐴 комбинациясы.

Егер алғашқы екі санның 𝐴-комбинацияларының бірі 5-ке еселік болса, онда қалған екеуінің

сандар, сіз 2 -ге еселік өрнекті және біріншісінің өрнектерінің туындысын ала аласыз

екі сан және соңғы екі сан 10 -ға еселік болады. Сол сияқты, егер бар болса

𝐴-соңғы екі санның комбинациясы, беске еселік.

Сондықтан, біз алғашқы екі цифрдың 𝐴-комбинацияларының ешқайсысы немесе соңғы екі сан беске еселік емес. Демек, 𝐴-комбинацияларының мәндері

1, 2, 3, 4 модульдік бес болады. Егер санның төрт цифрының арасында жұп сандардың жұп саны болса, онда соңғы екі санның ерікті 𝐴-комбинациясын жасау арқылы 𝐴- жасауға болады. алғашқы екеуінің қосындысы олардың қосындысы 5 -ке бөлінетін етіп болады

санның цифрларының арасында жұп және жұп сандар болғанына байланысты

тақ сандар. Санның цифрларының арасында тақ пен жұптың тақ сандары болады деген жағдай қалады. сандар содан кейін не санның бірінші жұп цифры, не екіншісінде жұп сандар болады, ал екіншісінде тақ болады. Жұп цифрлардың жұп санымен жұптасып, екі санның көбейтіндісін қарастырайық, ол жұп болады және бес көп емес. Сондықтан, қалған екі іргелес цифрлардан құрауға болады

𝐴 комбинациясы, бұрын алынған өніммен қосқанда, беске еселік. қоспағанда

Сонымен қатар, соңғы сома жұп болады, бұл нәтиже 10 -ға еселік болады дегенді білдіреді. Сондықтан 4 цифры бар кез келген мемлекеттік нөмір әдемі болады.

3 -ке қарсы мысал: сан: 153.

2-есеп. Дұрыс 𝑛-бұрыштың (𝑛 ≥ 4) әрбiр диагоналы ақ немесе қара түске боялған. Сонан соң мына амал мүмкiн болғанша орындала бередi: егер түсi бiрдей қиылысатын диагональдар табылса, олардың бiреуi өшiрiледi. Нәтижесiнде, ең көп дегенде, көпбұрыштың неше диагоналы өшiрiлмей қалуы мүмкiн? (Бiр төбеден шығатын диагональдар қиылысатын диагональдардың қатарына жатпайды)

Шешуі: Біз барлық операцияларды жасадық деп есептейік. Барлығын қарастырыңыз бірінші түстің диагональдарын, олардың саны к болсын. Бұл диагональдар қиылыспайтындықтан, олар көпбұрышты бөліктерге бөледі, олардың саны 𝑘 + 1-ге тең. Барлық үшбұрышты емес бөліктерге қосымша диагональдар саламыз, Бұл бөліктерді үшбұрышқа бөледі. Бірақ көпбұрышты үшбұрыштау кезінде ол дәл 𝑛 - 2 үшбұрышқа бөлінеді. Осылайша,

𝑘 + 1 ≤ 𝑛 − 2 ⇔ 𝑘 ≤ 𝑛 − 3.

Екінші түстің диагональдары үшін ұқсас баға. Сондықтан диагональдардың жалпы саны ең көбі 2𝑛 – 6

3-есеп. , а-?

Д=

D=0 болса, онда х= -;

Егер а-оң немесе теріс жұп сандар болса, онда х түбірі бүтін сан болады; ал b-кез келген санның квадраты.

Егер а болса, онда :

b=1 болса, онда а2 және а

Мысалы, b=1 болсын, а=2 немесе а=-2 болсын

Онда ,

a=-2, ,

Енді b=4 болса, онда а және а

Егер b=9 болса, онда а және а

Осылайша, b – кез келген санның квадраты болса және а болса, онда теңдеуінің түбірлері бүтін сандар болады.

1) =

3=

2)

3 3ке бөлінеді k=9

Демек иррационал сан

хболғанда берілген теңдеудің шешімі болмайтындығын дәлелдейік:

хболғанда 1!+2!+3!+4!+5!...+х!= теңдеуінің қосындысы 3 деген санмен аяқталады, бірақ бүтін санның квадраты 3 санына аяқтала алмайды, сондықтан теңдеудің басқа шешімдері болмайды.

Жауабы: (1;1), (1;-1), (3;3), (3;-3)

Толық жауап - 2ұпай

Жартылай жауап – 1ұпай

Бағалау шкаласы: «8-10 ұпай» - өте жақсы