Тақырып. Қарапайым бөлшектерге жіктеу арқылы рационал функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функциялар мен иррационал өрнектері бар қарапайым интегралдарды интегралдау
11-12-тақырып. Қарапайым бөлшектерге жіктеу арқылы рационал функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функциялар мен иррационал өрнектері бар қарапайым интегралдарды интегралдау
Қарапайым бөлшектерді интегралдау Келесі берілген төрт бөлшек қарапайым бөлшектер деп аталады:
I. II.III. IV.
– натурал сандар ( ) және .
Алғашқы екі қарапайымбөлшектің интегралы
алмастыруы арқылы кестелік интегралға келтіріледі.
II.
III.
I V.
Мұнда
ал тең болады, мұндағы
Енді интегралы үшін келесі рекурентті формуланы қолдану керек.
Бұл рекурентті формуланы рет қолдану арқылы интегралын
негізгі кестелік интеграл арқылы есептеуге болады.
1-мысал.
2-мысал. интегралын табу керек.
Шешуі: . Рекурентті формуланы қолдансақ, онда
интегралына рекурентті формуланы тағы бір рет қолдансақ ( ), онда
Сонымен
Рационал функцияларды интегралдау
Дұрыс рационал бөлшектерді интегралдау үшін оларды төмендегідей қарапайым бөлшектерге жіктеу керек:
мұндағы – тұрақты сандар.
шамаларының мәндерін анықтау үшін белгісіз коэффициенттер әдісін қолданыламыз (екі көпмүше тең болуы үшін х-тің бірдей дәрежесіндегі коэффициенттердің тең болуы қажетті және жеткілікті).
Бұрыс рационал бөлшектер үшін алдын ала бүтін бөлігін шығарып алуымыз керек.
3-мысал. интегралын есептеу керек.
Шешуі: Интеграл атындағы өрнек бөлімінің екі нақты түбірі бар дұрыс рационал бөлшек, олай болса
тең екендігін аламыз. Осыдан
x айнымалысының бірдей дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерін теңестірсек
Табылған коэффициентін орнына қойсақ
Сонда
4-мысал. .
Ортақ бөлімге келтіре отырып, алымдарын теңестіреміз:
