№0. Разминка расписать нужно только пункты h, i и j
жүктеу/скачать 372,64 Kb.
|
| №2. (а) В Актау БИЛ в некотором году было классов и более учащихся. Докажите, что в каком-то классе (назовем его особым классом) было не менее учеников.
(b) В этом самом особом классе ученики на БТС (100-балльный экзамен) суммарно набрали баллов. Докажите, что есть ученик, который набрал меньше баллов. №3. Дети в детском саду играют в игру: если два ребенка назвали друг другу свои имена и обнялись, то им даются звездочки. Докажите, что в любой момент игры найдутся хотя бы два ребенка, у которых одинаковое количество звездочек. №4. На шахматной доске стоит фишка. Докажите, что найдется свободный уголок из трех клеток. Тренировочные занятия для тренеров Неделя №4 – Раскраски №1. У шахматной доски выпилены две противоположные угловые клетки. Можно ли такую испорченную доску распилить на двухклеточные прямоугольники? О твет: нельзя. Решение: На шахматной доске белых и черных клеток поровну – по 32. Выпилили 2 белые клетки, то есть осталось 32 черных и 30 белых. Но любой двухклеточный прямоугольник вырезанный из шахматной доски состоит из разных по цвету клеток. Значит, если бы испорченную шахматную доску можно было распилить на двухклеточные прямоугольники, то цветов должно было быть поровну, а у испорченной доски одного из цветов больше. Т.е. её нельзя распилить на двухклеточные прямоугольники. №2. Докажите, что числа от до нельзя разбить на группы по числа так, чтобы числа каждой группы в одном разряде совпадали, а цифры другого разряда шли бы подряд (например « , , , »; « , , , »). (Подсказка: рассмотрите таблицу « ».) №3. На каждой клетке доски сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы одна пустая клетка. Доказательство: Покрасим клетки в два цвета как показано на рис.2.1. Так как жуки перелетают в соседнюю клетку, то в белые клетки будут перелетать жуки из черных клеток. Так как белых клеток 13, а черных12, то, по крайней мере одна белая клетка окажется без жука. №4. В каждой клетке на доске сидит по гусенице. По команде все гусеницы переползают на одну из соседних по диагонали клеток. Докажите, что после этого по крайней мере клеток окажутся свободными. Д оказательство: Воспользуемся идеей задачи 2, но так как гусеницы ползут по диагоналям клеток, то раскрасим доску по другому (см. рис.9.1). Гусеницы сидящие в темных клетках по команде переползут в белые, а сидящие в белых в черные клетки доски. Так как черных клеток на 9 больше чем белых, то останется по крайней мере 9 пустых клеток черных клеток. (Иначе говоря черных клеток на 9 больше чем гусениц которые на них теоретически могут попасть) Тренировочные занятия для тренеров Неделя №5 – Метод математической индукции №1. Плоскость разрезана на части прямыми, где и не все прямые проходят через одну точку. Докажите, что хотя бы одна из частей – треугольник. №2. Торт круглой формы разрезают ножом, у которой одна сторона грязная. Докажите, что всегда найдется чистый (со всех сторон) кусок, сколько бы разрезов ни делали. №3. На доске написаны два числа и . Вписав между числами их сумму, мы получим числа . Повторив эту операцию ещё раз, получим числа . После трёх операций будут числа . Какова будет сумма всех чисел на доске после операций? №4. На доске в произвольной комбинации написаны нули и единицы (всего цифр). Разрешается выполнять две операции: заменять первую цифру (нуль на единицу и наоборот); заменять цифру, стоящую после первой единицы. Пример. В последовательности 0011001 … можно заменить первую цифру или четвёртую. Докажите, что с помощью нескольких таких замен можно получить любую комбинацию из этих цифр. жүктеу/скачать 372,64 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|