№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер

3. Лейбниц мектебінің ғылыми табыстары 
4. Функция ұғымының дамуы 
5. Қатарлар теориясы 
6. Дифференциалдау мен интегралдау ережелері 
 
1. 
XVII ғ. 4-ширегінде Ньютон мен Лейбниц бір-біріне тәуелсіз математикалық 
анализді ашты. Олардың шәкірттері анализді әрі қарай дамытып, оның жаңа бөлімдерінің 
негізін салды. XVIII ғ. анализ қарқынды дамып, іргелі жаңалықтар ашылды. Механика 
анализдің қолданбалы саласына айналып, анализді алгебраландыру мәселесі қолға 
алынды. Айнымалы, шексіз аз және шексіз үлкен шамалар, туынды, интеграл, т.с.с. 
ұғымдар туралы жалпы көзқарас қалыптасты. 
Алгебрада: оның негізгі теоремасы дәлелденді, симметриялық функциялар 
теориясының, көпмүшеліктердің бөлінгіштік теориясының негізі салынды, алгебралық 
теңдеудің жіктелімдігі, түбірлерінің таралымдығы, т.с.с. мәселелерді зерттеу қолға 
алынды, комплекс сандар арифметика мен алгебраға енді, сызықтық алгебра мен сандар 
теориясында жаңалықтар ашылды, сандардың алгебралық теориясының негізі салынды.
Геометрияда: қисықтар мен беттердің дифференциалдық геометриясы мен сызба 
геометрия ашылды; проективтік геометрия жаңа сатыға көтерілді; аналитикалық 
геометрия жүйеге түсірілді; алгебралық қисықтардың қасиеттері тағайындалды. 
Ықтималдықтар теориясында: қалыпты үлестірім ашылды, қателердің ықтималдық 
теориясы мен ғылыми статистика пайда болды. Ықтималдықтар теориясы дамуының 
классикалық кезеңі аяқталып, жаңа кезеңі басталды.
Математикалық анализбен тығыз байланыста сандық әдістер жаңа сипатта дамыды. 
Шекті айырмаларды есептеудің негізі салынды.
Алайда, Еуропа университеттерінің математикалық білімді насихаттау мен 
таратудағы ролі әлсіз болды, олар математика пәнін дін мүдделерімен сәйкестендіріп 
оқытудан әрі аса алмады. XVIII ғ. соңында Францияда «Политехникалық мектеп» (1794) 
пен «Нормаль мектептің» (1795) ашылуы аса маңызды оқиға болды. Монж, Лагранж, 
Лаплас сияқты атақты математиктер дәріс оқыған бұл оқу орындары математика 
ғылымының аса ірі орталықтарына айналды.
2. 
Шексіз аздар анализінің алғашқы ашылған түрі флюксиялар теориясы деп 
аталады, авторы - Ньютон. Ол мына еңбектерде баяндалған: 1) «Мүшелерінің саны шексіз 
теңдеулер арқылы жасалатын анализ»; 2) «Флюксиялар мен шектеусіз қатарлар әдісі»; 
3)«Қисықтардың квадратуралары туралы пайымдаулар». Анализге қатысты кейбір 
идеялары оның «Жалпы арифметика немесе синтез бен анализ туралы кітап» деген 
еңбегінде де бар.
Жалпы, флюксиялар теориясында мына мәселелер қамтылған: 1)дифференциалдау 
ережелері; 2) интегралдауды дифференциалдауға кері амал ретінде түсіну; 3) 
функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу мәселесі.
 
Ньютон шамаларды 
флюэнталар
деп атайды. 
Флюэнтаны
уақыттың функциясы, ал 
флюксияны
оның өзгеру жылдамдығы ретінде алып, туындыны былай белгіледі: 
𝑥̇
,
𝑦̇
,
𝑧̇
, 
т.с.с.
Бұл кітаптарда экстремумдарды, жанамалар мен нормальдарды, қисықтықтың 
декарттық және полярлық координаталардағы радиустары мен центрлерін, т.с.с. табумен 
байланысты есептер шешілді, әртүрлі функциялардың интегралдарының мәндері 
табылды, 
√𝑎𝑥
2𝑛
+ 𝑏𝑥
𝑛
+ 𝑐
өрнегіне қатысты иррационал функциялардың кейбір түрлерін 
интегралдау конустық қималарды квадратуралауға келтіріліп, дифференциалдық биномды 
интегралдауға қатысты бірқатар нәтижелер алынды, 1-ретті дифференциалдық 
теңдеулерді шешу әдістері келтірілген (шешу әдістері қызметін негізінен, шектеусіз 
дәрежелік қатарлар атқарады, кейбір теңдеулер геометриялық әдіспен шешіп көрсетілген).
Ньютон «шек» (
limes
) терминін енгізді. Бірақ, шек ұғымына анықтама және оның 
қасиеттеріне сипатта бермеді. Флюксиялар теориясы түсініксіз болды, сондықтан оны 

негізсіз деп танып, сынаушылар қатары көп болды. Ньютон идеяларының терең және 
өміршең екендігі Коши еңбектерінен кейін ғана мойындалды (XIX ғ.). 
Шексіз аздар анализінің геометриялық-аналитикалық әдістерге негізделген басқа 
бір нұсқасын Лейбниц ұсынды. Ол осы жаңалығының 3 бастау-көзін атап көрсетеді: 1) 
Паскальдан алынған және өз тарапынан жалпыланған характеристикалық үшбұрыш әдісі; 
2) геометриялық қисықтардың Декарт енгізген алгебралық түсініктемесі; 3) шектеусіз 
қатарларды қосындылаумен байланысты зерттеулері. Осы идеяларды синтездеу 
барысында ол барлық инфинитезималдық есептерді 2 типтегі аналитикалық есептеулерге 
келтіруге болатындығын анықтады: жанамаларға берілген есептер қатарлардың шектеусіз 
жақын мүшелерінің айырмаларын есептеуге, ал квадратура туралы есептер мен жанамалар 
туралы кері есеп шектеусіз қатарлардың қосындысын табуға келіп тіреледі.
Лейбниц «Максимумдар мен минимумдардың, сондай-ақ жанамалардың бөлшек 
шамалар да иррационал шамалар да кедергі бола алмайтын жаңа әдісі және есептеулердің 
осыған арналған ерекше түрі» атты атақты мақаласын жариялады (1684). Бұл – 
математикалық анализден тарихта алғаш басылған шығарма. Сондықтан 1684 ж. 
математикалық анализдің пайда болған жылы деп есептеледі. Мұнда анализдің 
классикалық мәселелері келтірілген: дифференциал ұғымының анықтамасы; қосындыны, 
айырманы, көбейтіндіні, дәрежені дифференциалдау ережелері; өсу мен кемудің, 
максимум мен минимумның, дөңестік пен ойыстықтың белгілері; иілу нүктелерін 
түсіндіру; элементар функцияларды интегралдау ережелері; интеграл таңбасы; 
∫
және 
𝑑
операторларының өзара кері сипаты; «характеристикалық үшбұрыш», «шексіз аз 
шамалардың анализі», «шексіз аздарды есептеу» терминдері; квадратуралардың жалпы 
есебінің қандай да бір көлбеулік заңына ие болатын сызықтарды іздеуге келіп 
тірелетіндігі; Ньютон-Лейбниц формуласы; анықталмаған интеграл туралы түсінік;
тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді 
аналитикалық түрде шешу; т.б.
Қорыта айтқанда, Ньютон мен Лейбниц шығармалары математикалық анализдің 
бастамасы, математика тарихындағы жаңа дәуірдің алғашқы қарлығашы болып табылады. 
3. 
Жалпы алғанда, Ньютонға қарағанда, Лейбниц мақалаларының әсері күшті 
болды. Себебі, Лейбниц өз зерттеулерінің нәтижелерін дер кезінде жариялап отырды. 
Ньютон керісінше, жаңалықтарын жариялауға асықпады. Ньютонның символдары сәтті 
бола қойған жоқ, ал Лейбниц ұсынған символика қарапайымдылығымен, әрі 
ыңғайлылығымен ерекшеленеді. 
 
Лейбниц идеяларының тез таралуына ағайынды Якоб және Иоганн Бернуллилар 
үлкен еңбек сіңірді. Олар жаңа анализдің өрісін кеңейтіп, математиктердің жаңа буынын 
қалыптастырды (Герман, Лопиталь, Вариньон, Николай І, ІІ, Даниил, Иоганн ІІ 
Бернуллилар, Крамер, Эйлер, т.б.). Олар Лейбниц мектебінің өкілдері болып есептеледі. 
Лейбниц мектебінің алғашқы табыстары: парацентрлік изохрона туралы есептің 
шешімінің жарты кубтық парабола болатындығының жаңа анализ әдістерімен дәлелденуі 
(Я.Бернулли), екі ұшы бекітілген біртекті жіп ауырлық күші әсерімен орналасатын қисық 
сызық туралы есептің ұсынылуы (Лейбниц) мен шешілуі (Лейбниц, Гюйгенс, И. 
Бернулли), қисықтар жанамасын салудың, ауырлық центрін анықтаудың, айналу 
денелерінің көлемдері мен беттерінің ауданын табудың жүзеге асырылуы (Лейбниц), т.б.
Жаңа анализдің өрісінің кеңейіп, жаңа теориялармен байи түсуінде жалпы түрдегі 
көрсеткіштік функцияны дифференциалдау ережесінің табылуының (Лейбниц, И. 
Бернулли), көрсеткіштік функциядан алынатын интегралдың қатарға жіктеп көрсетілуінің 
(И. Бернулли), функциялардың көбейтіндісін көпеселі дифференциалдау формуласының 
табылуының (Лейбниц), интегралдауда шектеусіз қатарлардың пайдаланылуының 
(Лейбниц), 
𝑛(𝑧)
функциясының интегралын аргументтің дәрежелері бойынша қатарға 
жіктеудің жаңа формуласының ашылуының (И. Бернулли), т.с.с. маңызы зор болды.
Анализдің геометрияда қолданылуы мәселесінде бірқатар ғылыми нәтижелер 
алынды: қисық сызықтарды дифференциалдық-геометриялық тұрғыда зерттеу; жоғары 

ретті қабысулар туралы ілімнің негізінің салынуы (Лейбниц); қабысатын дөңгелектің 
қисықтың шектеусіз жақын үш нүктесі арқылы өтетіндігінің дәлелденуі мен қисықтық 
радиусының 
𝑑𝑆
3
𝑑𝑦𝑑
2
𝑥
түрінде өрнектелуі (И.Бернулли); эволюталар мен эвольвенталардың 
қасиеттерінің зерттелуі (ағ. Бернуллилар, Лопиталь); 
0
0
түріндегі анықталмағандықтың 
мәнін ашу ережесінің тағайындалуы (И.Бернулли); логарифмдік спираль мен параболалық 
спиральдің зерттелуі (И.Бернулли), кейбір анықталған интегралдардың қатарға жіктеп 
көрсетілуі (Я.Бернулли), лемнискатаның зерттелуі (Лейбниц); т.с.с. 
Интегралдау техникасы жетілдірілді: рационал бөлшектерді интегралдау әдісі 
ашылды (Лейбниц, И.Бернулли), рационал функциялардың рационал, дөңгелектік және 
логарифмдік функциялар арқылы интегралданатындығы және бөлшек бөлімінің қандай 
дәрежелі болмасын квадраттық көбейткіштен тұратын жағдай талданып көрсетілді 
(И.Бернулли), т.с.с.
Қорыта айтқанда, Лейбниц мектебінің өкілдері шексіз аздар анализін дамытуға 
өлшеусіз үлес қосты.
4. 
«Функция» сөзі алғашқыда «жүзеге асыру», «орындау», «өрнектеу» деген 
мағыналарда пайдаланылғанымен (Лейбниц), кейінірек ол аналитикалық өрнек 
мағынасында қолданыла бастады (И.Бернулли). Функцияның аналитикалық өрнек 
ретіндегі анықтамасын алғашқы болып берген – И.Бернулли. Ол бойынша, функция 
дегеніміз – қандай да бір тәсілмен айнымалылар мен тұрақтылардан құрастырылған 
мөлшер, өлшем. И.Бернулли функцияны 
φх
түрінде жазуды ұсынды.
XVIII ғ. қисықтар мен функцияларды алгебралық және трансценденттік қисықтар 
мен функциялар деп жіктеу қалыптаса бастады (Лейбниц). Бұл жаңа анализді декарттық 
математикаға қарама-қарсы қою жүзеге асырылған аса маңызды оқиға болды. 
Функцияның классификациясын жасауды XVIII ғ. Л.Эйлер жүзеге асырды. Ол 
функцияның формуламен берілетіндігін атап көрсетіп, 
f(x)
түріндегі жазуды енгізді.
Эйлер алғаш рет элементар функциялар туралы ілімді жүйелі түрде баяндап берді, 
көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды өзара кері функция ретінде қарастырып, 
олардың негізгі қасиеттері мен дәрежелік қатарларға жіктелуін көрсетті. Функцияларды 
дәрежелік қатарларға жіктеудің басқа әдістері де табылды (Кунья; Лагранж). Эйлер 
тригонометриялық функцияларды қарастырды. «Тригонометриялық функция» терминін 
алғаш енгізген, кейбір тригонометриялық формулаларды қорытып шығарған – Клюгель.
Бірақ, функция ұғымының көлемі және функциялардың дәрежелік немесе 
тригонометриялық қатарлар ретінде өрнектелетін кластары туралы ортақ пікір болған 
жоқ, бұл мәселе кейбір пікірталастар мен таластардың өрістеуіне жол ашты. XVIII ғ. ірі 
математиктердің көпшілігі араласқан бұл пікірталастардың функция ұғымының дамуына 
тигізген әсері зор болды. 
XVII ғ. соңында математикада көп айнымалылар функцияларының, элементарлық 
емес аналитикалық функциялардың мысалдары пайда болды. Олардың бірқатары 
механиканың әртүрлі есептерін шешу барысында дифференциалдық теңдеулерді 
интегралдау мәселесіне байланысты пайда болса, басқалары таза математикалық 
зерттеулер барысында ашылды. Математиканың бұдан кейінгі дамуында үлкен роль 
атқарған трансценденттік функциялар теориясының негіздері Эйлердің, Гольдбахтың, 
Иоганн І және Д.Бернуллилардың, Лежандрдың, Лапластың, т.б. еңбектерінде салынды.
5. 
Анализ дәрежелік қатарлардың теориясын жасаумен тығыз байланыста дамыды. 
Бұл орайда, Тейлор және Маклорен қатарлары маңызды роль атқарды. Тейлор қатары 
кейбір дифференциалдық теңдеулерді шешуде қолданылып, Лейбниц – Бернулли қатары 
қорытып шығарылды. Маклорен аналитикалық функцияны өрнектейтін дәрежелік 
қатардың Тейлор қатары екендігін, 
у
функциясы айқын емес теңдеумен берілгенде, 
Тейлор қатарын қолдануға болатындығын атап көрсетті, көрсеткіштік және 
тригонометриялық функциялардың, биномның дәрежелік қатарларға жіктелуін көрсетті.

Функцияның 
a
аргументінің өсімшелерінің дәрежелері бойынша Тейлор қатарына 
жіктелуін Эйлер көрсетті. Даламбер Тейлор қатарын қайталап интегралдау әдісімен, 
Лагранж қалдық мүшелі Тейлор формуласын қорытып шығарды. 
Сонымен, қарастырылып отырған дәуірде тригонометриялық қатарлар теориясының 
негізі қаланды.
6. 
Бір айнымалысы бар функцияларды дифференциалдаудың негізгі ережелері XVII 
ғ. соңында тағайындалды, бірақ оларда тригонометриялық функциялар қамтылған жоқ. 
Оларды дифференциалдау ережелерін алғаш Коутс ұсынды. Дифференциалдау 
ережелерінің толық жиынтығын Эйлер жасады.

XVIII ғ. көп айнымалысы бар функцияларды дифференциалдау қолға алынды. 

Бірақ символикада бірізділік болған жоқ. Лейбниц дербес туындыларды 

жүктеу/скачать 1,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: