№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер

XVII ғ. дейін кейбір математиктер (Герон,Архимед, әл-Хайсам, Кардано, Кеплер, 
т.б.) жекеленген вариациялық есептерді қарастырып, оларды өзіндік әдістермен шешіп 
көрсеткен еді. Ньютон мынадай есепті қарастырды: сұйық ішінде өз осінің бағыты 
бойынша қозғалу барысында ең аз кедергіге ие болатындай айналу денесін табу керек. 
И.Бернулли брахистохрона жайындағы есепті қойды: жазықтықта бір түзу бойында 
жатпайтын А мен В нүктелерін қосатын қисықтар ішінен дене меншікті ауырлық күші 
әсерінен А нүктесінен үйкеліссіз жылжи отырып, В нүктесіне ең аз уақытта барып 
жететіндей қисықты табу керек. Оны Ньютон, Лейбниц, Бернуллилар, Лопиталь шешті.
Осы есептің жалпы түрі ұсынылып, шешілді (Я.Бернулли). Бұдан кейін тағы бір 
есеп ұсынылды: қандай да бір беттің берілген екі нүктесін қосатын ең қысқа сызықты табу 
керек (И. Бернулли). Кейіннен соңғы есепті автордың өзі шешіп көрсетті. Изопериметрлік 
есеп тұжырымдалып, шешіп көрсетілді (Я. Бернулли). Міне, осы сияқты есептер XVIII ғ. 
басында анализдің вариациялық есептеулер атты саласының пайда болуына алып келді.
Вариациялық есептеулердің жалпы есебі қойылды: 
𝐴(𝑎, 𝑐)
және 
𝐵(𝑏, 𝑑)
нүктелері 
арқылы өтетін барлық қисықтар ішінен 
𝐽 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦
′
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
интегралы максимумға немесе 
минимумға ие болатындай қисықты табу керек. Эйлер 
𝑍
𝑦
−
𝑑
𝑑𝑥
𝑍
𝑦
′
= 0
теңдеуін және 
жалпы түрдегі 
𝐽 = ∫ 𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑦
′
, 𝑦
′′
, … , 𝑦
(𝑛)
)𝑑𝑥
функционалына арналған осындай теңдеуді 
қорытып шығарды. Бұл теңдеу қазіргі күні 
Эйлер теңдеуі
деп аталады.
Эйлер өз әдісі арқылы бұрын шешілген және бұрын-соңды шешілмеген есептерді 
де шешіп көрсетті және механикадағы аса маңызды мәселелердің бірі ең аз әсер 
принципінің мына түрдегі математикалық тұжырымдалуын ұсынды: 
∫ 𝑚𝑣𝑑𝑠 → 𝑚𝑖𝑛
. 
Лагранж Эйлер әдісін жетілдіріп, өзінің жаңа әдісін ұсынып, бірқатар вариациялық 
есептерді шешіп берді. Эйлер Лагранж тапқан әдісті вариациялар әдісі, ал интегралдардың 
экстремумдарын зерттейтін математикалық пәнді вариациялық есептеулер деп атады.
Лежандр Эйлер теңдеуін қанағаттандыратын қисықтың қарастырылып отырған 
интегралға экстремум беретіндігін анықтауға мүмкіндік жасайтын критерийді тапты. 
Алайда, ол бұл критерийдің егер интеграл таңбасының астындағы функция шектеулі 
функция болғанда ғана дұрыс болатындығын көрсетті. Экстремумның бар болуының 
жалпы критерийі туралы мәселе XVIII ғ. шешімін таппады.
5. 
XVII соңы - XVIII ғғ. теориялық арифметиканың қалыптасуына қолайлы жағдай 
туды. Мұнда: санау жүйелері туралы білімдерді жүйелеу және жалпылау қолға алынды 
(Лейбниц,т.б.); шектеусіз ондық бөлшектер мен периодты бөлшектер зерттелді 
(Валлис,т.б.); бөлімі 2 мен 5-тен өзгеше қысқартылмайтын бөлшектің жіктелуінің 
периодтылығы және кез келген периодты бөлшектің рационалдығы дәлелденді, период 
цифрларының саны туралы теоремалар тағайындалды (Ламберт); периодты бөлшектерге 
амалдар қолдану мен оларды жай бөлшектерге айналдыру ережелері тұжырымдалды 
(Робертсон); үздіксіз бөлшектер туралы теоремалар дәлелденді, 
e
санының үздіксіз 
бөлшектер түріндегі өрнектелуі табылды (Эйлер),т.б. 
 
Рационал бөлшектер туралы ілім мынадай көзқарастарға негізделіп құрылды: 1) 
бөлшекті бірліктің тең үлестері немесе екі натурал санның қатынасы түрінде қарастыру; 
2) оң нақты санның біртекті екі шаманың қатынасы ретіндегі Ньютон ұсынған жалпы 
анықтаманы басшылыққа алу.
Иррационал сандар Ньютон бойынша, өлшемдес емес шамалардың қатынасы 
ретінде анықталды және оны негіздеу үшін антикалық қатынас теориясы мен амалдардың 
Декарт берген анықтамалары жеткілікті деп есептелді, иррационал сандардың 
толыққанды теориясы құру жүзеге асырылған жоқ.
Айқын түрде болмаса да, комплекс сандар туралы түсінік қалыптасып, алгебра мен 
анализдің барлық белгілі амалдарын теріс және жорымал сандарға қолдану мәселесін 
игеруде бірқатар жұмыстар атқарылды. Бірақ теріс қолданылатын амалдардың 
негіздемесін жасау әрекеттері оң сандарға қолданылатын амаладардың заңдары мен 
қасиеттерін теріс сандар облысына формальді түрде қондыру сипатында жүргізілді.

Нақты сандарға қандай да бір амалдарды қолдану барысында пайда болатын, бірақ 
олардан өзгеше кез келген «сандық мөлшерлер» жорымал сандар деп аталды және оларға 
арифметиканың кәдімгі ережелері бойынша амалдар қолдануға болады деп есептелді, 
бірақ математикада қандай жорымалдықтардың кездесуі мүмкін екендігін түсіндіру 
мүмкін болмады. Дегенмен, комплекс сандардың және оларға қолданылатын амалдардың 
геометриялық түсініктемесін беру жүзеге асырылды (Вессель).
e
мен 
𝜋
сандарының арифметикалық табиғатын зерттеуде біршама жетістіктер 
алынып (Валлис, Грегори, де Ланья, Эйлер, т.б.), олардың

жүктеу/скачать 1,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: