ол ешқандай логикалық қайшылыққа ұшырамай, тұтастай жаңа бір геометрияны жасап
шықты.
Я.Больяй осы жолмен жүріп, жаңа геометрияны ашты (көзі тірісінде бағаланған
жоқ).
Евклидтік емес геометрияны ашушылар
- Лобачевский, Гаусс және Я.Больяй, бұл
жаңалық олардың үшеуіне де тиесілі.
Бұдан кейін евклидтік емес геометрияның тағы бір түрі - эллипстік геометрия
ашылды (Риман,1854 ). Жалпы алғанда, параллель түзулер туралы үш түрлі ұйғарым
жасауға болады: 1-сі - Евклидтің V постулаты, 2-сі - Лобачевский аксиомасы. Оларға
негізделетін геометриялардың 1-сі
Евклид геометриясы
, ал 2-сі
гиперболалық геометрия
деп аталады. Риман V постулат орнына мына аксиоманы ұсынды: «
а
түзуінен тысқары
А
нүктесін бастыра, осы түзу мен нүкте анықтайтын жазықтықта
а
түзуіне
параллель етіп,
бір де бір түзу жүргізуге болмайды» (
Риман аксиомасы
). Бұған негізделген геометрия
эллипстік геометрия
деп аталды.
Шын мәнісінде, бұл геометриялардың барлығының да заңдары дұрыс, қазіргі күні
олардың логикалық тұрғыдағы қайшылықсыздығы толығымен дәлелденген. Бірақ, сол
тұста оларды кейбір атақты математиктердің өзі түсіне қоймады (Остроградский,
Буняковский, т.б.). Гиперболалық геометрияны түсіндіруге алғашқы болып әрекет
жасаған – Бельтрами (1868). Бельтрамидің интерпретациясы гиперболалық геометрияның
қайшылықсыздығының ең алғашқы, бірақ толық емес дәлелдемесі болды. Алайда, оның
шеше алмаған бірқатар мәселелері он жылдай бұрын қарастырылған еді (Кэли). Ол
проективтік метрикалар мен гиперболалық геометрия арасындағы байланысты
тағайындады.
9.
Көпөлшемді кеңістіктің геометриясы көп айнымалысы
бар функциялардың
геометриялық интерпретациясын жасаудың қажеттігіне байланысты пайда болды.
Көпөлшемді геометрияда: оның терминологиясы жасалды (Кэли); көпөлшемді кеңістіктің
аффиндік геометриясы дамытылды,
n
өлшемді сызықтық кеңістік,
𝑛
өлшемді кеңістіктің
𝑚
өлшемді жазықтықтарының грассмандық координаталары мен грассмандық
көпбейнеліктер анықталды (Грассман).
Плюккер көпөлшемді кеңістік ұғымын анықтаудың басқа жолын ұсынды, ол
кәдімгі кеңістіктің негізгі элементі ретінде нүктелерді емес, көпбейнеліктері төртөлшемді
болатын түзулерді қарастырып,
Плюккер координаталарын, «сызықтық комплекс» және
«сызықтық конгруэнция» ұғымдарын енгізді. Шлефли анализдің
n
өлшемді аналитикалық
геометриясы болып табылатын жаңа саланы негіздеуді мақсат етіп қойды. Риман «
𝑛
еселі
созылымды көпбейнелік» ұғымын ұсынды. Клейн көпөлшемді кеңістік идеясының
таралуына үлкен үлес қосты. Ол гиперболалық геометрияның моделін тапты, өзіне дейін
құрылған «кеңістік геометрияларының» барлығын қандай да бір түрлендіру
группаларының инварианттарын зерттеу идеясына бағындырды.
Риман барлық геометриялардың бәрін қамтитын жалпылама үлкен геометрияның
іргетасын қалады. Мұнда ол екі идеяға сүйенді. 1-идея бойынша, Евклид геометриясы
кеңістіктің бірден-бір геометриясы емес, ол - жуық түрдегі қарапайым геометрия,
кеңістіктің нақты геометриясы одан күрделірек болуы керек. 2-идеясы
- кеңістіктің
көпөлшемділігі туралы идея. Евклид геометриясы кеңістік үшөлшемді деп ұйғарады.
Бірақ, ол дәлелденбеген, демек, оны үшөлшемді деп кесіп айтуға болмайды. Олай болса,
оны жалпы түрде
n
өлшемді деп алу керек. Бұл идеялар онан әрі дамытылды
(Кристоффель, Липшиц, т.б.).
n
өлшемді кеңістіктер қазіргі күні римандық кеңістіктер, ал
олардың геометриясы римандық геометрия деп аталады.
Бірақ, көпөлшемді геометрияға күмәнмен қарау орын алды, себебі көпөлшемді
геометрияны математика мен жаратылыстану ғылымдарының есептерін шешуде қолдану
мүмкін емес деп есептелді.