№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы
жүктеу/скачать 1,12 Mb. Pdf көрінісі
|
|
7. XVI ғ. Еуропада тригонометрия саласындағы мұсылман математиктері қалдырған мол мұраны игеріп, тригонометрияны жаңа белеске көтеру мәселесі қолға алынды (Коперник, Ретик, Питиск, Клавия, Виет, т.б.). Тихо Брагенің еңбектерінде жазық және сфералық үшбұрыштарды шешу ережелері келтірілді. Т.Брагенің ісін жалғастырушылар астрономиялық аспаптар мен кестелерді жетілдірумен айналысты (Х.Лонгомонтан, Т.Финке, О.Ремер). Кеплер өзінің атақты астрономиялық еңбектерін жазу барысында математикалық есептеулер жүргізумен байланысты көптеген жұмыстар атқарып, осының негізінде «Мыңдаған логарифмдер»(1624), «Рудольф кестелері»(1627) атты еңбектер жазды. XVII ғ. бірінші жартысында тригонометрияның толық курсын құруға әрекеттер жасалды (Бригс Геллибранд, Флакк, Крюгер, Оутред, Дж.Ньютон, т.б.). Тригонометрия курсын символикалық түрде баяндаудың алғашқы әрекеттері қолға алынған бірқатар еңбектер басылып шықты (Норвуд, 1631; Эригон, 1634; Уорд, 1654; Оутред, 1657; Уинг, 1669; т.б.). Бұл еңбектерде тригонометриялық символика қалыптастырылып, жүйеге келтіріле бастады. Алайда, символдарды пайдалануда бірізділіктің болмауы себебінен, тригонометриялық тұжырымдардың формула арқылы өрнектелуі де әркімде әртүрлі болды. Осы кезеңде тригонометриялық функциялардың графиктерін салу мәселелері бой көрсете бастады. Ең алғашқы болып, графиктік түрде синус функциясы кескінделді, оның графигін Роверваль сызып көрсетіп, оны циклонданың серігі деп атады (1636). «Синустар сызығы» деген атау ең алғаш Фабридің кітабында кездеседі (1659). Валлис барлық төрт ширектегі синустың таңбалары туралы мәселені дұрыс шешті және мұнда синусоиданың толық екі айналымын (1670), Грегори тангенсоиданың бірінші ширекте жататын бөлігін (1668) сызып көрсетті. Бірінші ширек үшін секанстің, тангенстің және косинустың графиктері Барроудың еңбектерінде салынып көрсетілді (1670). Алайда, мұнда секанс пен тангенстің графиктері мүлде дұрыс сызылмаған. ХVII ғ. соңына қарай тригонометрия курсының жүйелі түрдегі баяндалуын жүзеге асыруға әрекет жасалған бірнеше еңбектер басылып шықты (1674, Дешаль; 1685, Кесуэлл; 1693, Озанама). Бұл еңбектерде жазық және сфералық тригонометрияның бірқатар теоремалары мен формулалары қорытылып шығарылды және дәлелденді. Бірақ олардың кемшіліктері көп болды. Бірақ соған қарамастан, осы дәуірде тригонометрия бойынша жарық көрген еңбектердің тәжірибелік пайдасымен қатар, терең теориялық маңызы болды. Оларда тригонометрия курсын қарапайым негізде, қолайлы және бірізді символиканы пайдалана отырып, жүйелі түрде баяндаудың негізі қаланды. 8. XVI ғ. мен XVII ғ. басында натурал сандардың әралуан қасиеттеріне байланысты қызықты есептерді шешу мәселесін жаңа теориялық деңгейге көтеру қолға алына бастады (Шюке, Пачоли, Тарталья, Кардано, Баше, Озанам, т.б.). Францияда сандар теориясы есептерімен айналысатын математиктер тобы пайда болып, олар «Мерсенн бейсенбілерін» ұйымдастыруды қолға алады (Кейін осы ұйымның негізінде Париж ҒА құрылды, 1666). Осылардың арасында П.Ферманы ерекше атап айту керек. Ферма берілген санның жай немесе сан болатындығы туралы критерийлерді және 𝑛 - нің кез келген бүтін мәнінде жай сандарды беретіндей 𝐹(𝑛) өрнегін іздеумен айналысты. Осының барысында Ферма жай сандарды табудың мынадай формуласын ұсынды: 𝐹(𝑛) = 2 2 𝑛 + 1 . Алайда, 𝑛 = 5 жағдайында ол бойынша алынатын 𝐹(5) = 2 32 + 1 - жай сан емес (мұны кейіннен Л.Эйлер көрсетті). 2 2 𝑛 + 1 түріндегі жай сандар қазір Ферманың жай сандары деп аталады. Санның жай сан болатындығын анықтауға арналған критерийлердің бірі Ферманың кіші теоремасы болып табылады. Ол қандай да бір квадраттық формамен өрнектелетін жай сандардың түрлерін анықтау туралы мәселені де көтерді. Ферма қандай да бір квадраттық формамен өрнектелетін барлық сандарды табу мәселесін де қарастырды және оны 𝑥 2 + 𝑦 2 формасы жағдайы үшін шешіп көрсетті. Ферма «Кез келген натурал сан дегеніміз не 𝑛 -бұрышты сан не 𝑛 - бұрышты сандардың қосындысы болады» деген жалпы теореманы тұжырымдады, екі белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеулердің бүтін шешімдерін табу мәселесін зерттеді, 𝑎𝑥 2 + 1 = 𝑦 2 ( 𝑎 - бүтін квадраттық сан) теңдеуін шешудің жалпы ережесін табуды ұсынды. Ферманың осы ұсынған теңдеуін сол кездегі математиктердің көпшілігі түсінбеді. Сондықтан пікірталастар болып, оларға Валлис, Броункер сияқты ағылшын математиктері араласты. Броункер 𝑎 = 109 жағдайы үшін Ферма теңдеуін шешті. Ферма теңдеуін шешудің жалпы мәселелері Эйлер мен Лагранждың зерттеулерінде толық шешімін тапты. Ферма екінші реттік неғұрлым жалпы 𝑎𝑥 2 + 𝑏 = 𝑦 2 анықталмаған теңдеуін де қарастырады. Бұл теңдеуді шешуге оның замандастарының ешқайсысының да шамасы келмеген. Анықталмаған теңдеулердің рационал шешімдерін табу мәселесі де Ферманың назарынан тыс қалған жоқ. Ол 𝑥 4 − 𝑦 4 = 𝑢 3 теңдеуін қарастырады және 𝑥 − 𝑦 = 1 деп ала отырып, оның бір рационал шешімдерін оңай табады. Ферма математика тарихында маңызды роль атқарған бірқатар проблемаларды қойды, солардың бірі – Ферманың ұлы теоремасы. Сандардың бұдан кейінгі бүкіл алгебралық теориясы осы теоремадан бастау алады. Мұнда негізінен, сандарды квадраттық формалармен өрнектеу мәселелері мен диофанттық анализдің есептері, оның ішінде екінші ретті анықталмаған теңдеулер зерттелді. Осы аталған мәселелердің біріншісі Лагранж бен Гаустың жұмыстарында квадраттық формалар теориясына айналды, ол квадраттық өрістер арифметикасы туралы ілімнің бастамасы еді. Осы мәселе Эйлерді өзаралықтың квадраттық заңын ашуға алып келді. XIX ғасырда Ферманың ұлы теоремасымен және өзаралық заңымен байланысты зерттеулер арифметиканың аймағын кеңейтуді талап етті. Өзаралықтың квадраттық заңын зерттеу барысында Гаусс бүтін комплекс сандарды енгізді, ал ұлы теореманы дәлелдеудің әрекеттері бүтін сандарды дөңгелектің бөліну өрісінде қарастыруға алып келді. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|