1-дәріс. Кіріспе. Математиканың пайда болуы. Қарастырылатын сұрақтар
жүктеу/скачать 108,96 Kb.
|
| Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.XIX ғасыр математикасының жалпы сипаттамасы 2. Математикадан XIX ғасырда ашылған жаңалықтар а) Геометрия. ә) Математикалық анализ. б) Алгебра және сандар теориясы. в) Ықтималдықтар теориясы. Дәрістің қысқаша мазмұны 1. XVIII ғасыр математикасының шамасы келе бермейтін аса күрделі мәселелерді шешуге әрекет жасаудың нәтижелері XIX ғасыр басында математиканың бұрыннан қалыптасқан салаларының жаңа сапалық деңгейге көтерілуіне және оның мүлде жаңа салаларының пайда болуына әкеліп соқтырды. Осылайша қазіргі заманғы математика қалыптасып, дами бастады. XIX ғасырда геометрияда, алгебрада және математикалық анализде ерекше қасиеттерге ие болатын евклидтік емес көпөлшемді геометриялар, кватерниондар, шектеулі өрістер, коммутативті группалар және т.б. стандартты емес стуктуралар пайда болды. Сондай-ақ математикада оқиға, предикат, жиын, дерексіз структура, вектор, тензор, матрица, функция сияқты сандық емес объектілерді зерттеу мәселелері қолға алына бастады. Математикалық логиканың пайда болып, қарыштап дами бастауына және математикаға жиындар теориясының енгізілуіне орай оларды математиканың негіздерімен байланыстыру қажеттігі туындады. Жалпы алғанда, XIX ғасырда ғылым мен экономикадағы математиканың беделі арта түсті және осыған сәйкес оған мемлекеттік тұрғыда қолдау көрсету жүзеге асырыла бастады. Математика шын мағынасындағы университеттік ғылымға айналып, Лондон, Америка, Француз, Мәскеу және т.б. математикалық қоғамдары құрылды. Оның үстіне XIX ғасырда математика ғылымының дамуында мүлде жаңа ерекшеліктер мен сипаттар байқала бастады. Математика ғылымының дерексіздік сипаты күшейе түсті. Бұл әсіресе, алгебра мен геометрияда анық байқала бастады. Сөйтіп математикада түбірлі өзгерістер жасау мәселесі туындады. 2. XVIII ғасыр негізінен алғанда, математикалық анализ ғасыры болса, XIX ғасыр геометрия ғасыры болды. Осы ғасырда геометрияның мына сияқты жаңа салалары қалыптасты: векторлық есептеулер; векторлық анализ; Лобачевский геометриясы; көпөлшемді Риман геометриясы; түрлендірулер группаларының теориясы, т.б. Сонымен қатар геометрияны алгебраландыру мәселесі жүзеге асырылды, геометрияға группалар теориясының әдістері енді, сөйтіп алгебралық геометрия және ғасыр соңына қарай топология пайда болды. XVIII ғасыр соңында неміс математигі К.Гаусс циркуль мен сызғыш арқылы дұрыс он жеті бұрышты салуға болатындығын көрсетті. Осы мәселені қарастыру барысында ол дұрыс көпбұрыштарды салу жөніндегі атақты Гаусс теоремасын дәлелдеді. Бұл кезеңде сызба геометрия мен проективтік геометрия тез дами бастады. Карно «үздіксіздік принципін» тұжырымдады. Понселе проективтік геометрияны фигуралардың проективтік қасиеттері туралы ғылым ретінде анықтады және оның мазмұнын жүйеге келтіріп, қосалқылық принципін тұжырымдады. XIX ғасырдың 20 – сыншы жылдарының аяғынан бастап, Германияда неміс проективтік геометрия мектебі қалыптасты (Мёбиус, Плюккер, Гессе, Штейнер,т.б.). Англияда Кэли, Францияда Мишель Шаль бірқатар жұмыстар жариялады. К.Гаусстың «Қисық беттер туралы жалпы зерттеулер» атты еңбегі басылып шыққаннан кейін дифференциалдық геометрия қарқынды дами бастады. Онда алғаш рет метрика және онымен байланысты беттің ішкі геометриясы анықталды. Вектор және векторлық өріс ұғымдарының енгізілуі ғасырдың аса ірі жетістіктерінің бірі болып табылады. Алғашқыда векторларды өзінің кватерниондарымен байланысты У.Гамильтон ендірді. Ол сонымен бірге математикаға скаляр және векторлық көбейтінді, дифференциалдық оператор, вектор-функция, тензорлық көбейтінді сияқты көптеген ұғымдарды енгізді. Ғасыр басындағы аса ірі жаңалықтардың бірі – биевклидтік геометрияның ашылуы. Ол Я.Больяй, К.Гаусс, Н.И.Лобачевский және Б.Риманның есімдерімен байланысты. К.Гаусс алғашқы болып Евклидтің V постулатын тәуелсіз аксиома ретінде санап, егер оны басқаша түрде таңдап алса, Евклидтен өзгеше басқа геометриялар шығатынын білді. Бірақ еңбектерін ешқайда жариялаған жоқ. Мұндай идеяға келушілердің бірі Венгрия математигі Я. Больяй (1802-1860) болды. Оның идеялары 1832 ж. жарияланды. Екіншісі орыс математигі Н.И.Лобачевский (1792-1856) болды, оның еңбегі 1835 ж. басылып шықты. Алғашқыда олардың идеяларын ешкім түсіне алмады (мысалы, Остроградский, Буняковский, т.б.) 1868 ж. Италия математигі Э.Бельтрами Лобачевский жазықтығының шектеулі бөлігінің геометриясы псевдосфера үшін дұрыс болатындығын дәлелдеді. Бұл евклидтік емес геометрияны түсінуге көп көмегін тигізді. Бұл салада неміс математигі Б.Риман(1826-1866) үлкен табыстарға қол жеткізді. Геометрияның дамуында 1872 жыл үлкен бетбұрыстардың басталу жылы болды, осы жылы неміс математигі Ф.Клейн өзінің атақты «Эрланген бағдарламасы» атты баяндамасын жасады. Мұнда ол геометриялық ғылымдарды пайдаланылатын түрлендіру группалары бойынша классификациялауды жүзеге асырды. Осыдан кейін геометрияны алгебраландырудың жаңа кезеңі басталды. 1872-1875 ж.ж. Камилл Жордан n-өлшемді кеңістіктің аналитикалық геометриясы бойынша бірқатар жұмыстар жариялады, ал ғасыр соңында өлшемнің жалпы теориясын ұсынды. Ғасыр соңында топология пайда болды. Жаңа ғылымның пәніне Ф.Клейннің атақты «Эрланген бағдарламасында» сипаттама берілді. Ал Пуанкаренің жұмыстарында комбинаторлық топология қалыптаса бастады. 3. XIX ғасырдағы ең мәнді өзгеріс математикалық анализді негіздеу және оның оның іргетасын қалыптастыру болып табылады (Коши, Вейештрассс). Олардың еңбектерінің нәтижесінде математикадан дерексіз шексіз аз шама ұғымы, жинақсыз қатарлармен жүргізілетін аса сенімсіз амалдар алынып тасталды. Коши математикалық анализдің шектер теориясының негізіндегі ньютондық түсінікке жақындау келетін іргетасын салды. Комплекс айнымалылар функциясының теориясы дами бастады (Абель, Коши, Лиувилль, Якоби, Вейерштрасс, т.б.). Арнайы функциялар класы әлдеқайда кеңіді, кейінірек неғұрлым жалпы теориялардың пайда болуына әсер еткен абельдік функциялар теориясына көңіл бөліне бастады. Көптеген қолданбалы есептердің қойылуы дифференциалдық теңдеулер теориясының дамуын тездетіп, оның өз алдына дербес математикалық пән деңгейіне көтерілуіне мүмкіндік туғызды. Математикалық физиканың негізгі теңдеулері тиянақты зерттеулерге алынды, шешімнің бар болуы туралы теоремалар дәлелденіп, дифференциалдық теңдеулердің сапалы теориясы жасалды (Пуанкаре). Ғасыр соңына қарай анализді геометрияландыру мәселесі қолға алынды, векторлық анализ бен тензорлық анализ пайда болды, шексіз өлшемді функционалдық кеңістік зерттеле бастады (Банах кеңістігі, Гильберт кеңістігі). 4. XIX ғасырда алгебрада үлкен жаңалықтар ашылды. Алгебра бұған дейін теңдеулерді шешумен ғана айналысып келсе, енді ол алгебралық структураларды зерттеуге бет бұрды. Математиктердің 5-інші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерді шешудің формуласын табумен байланысты жұмыстары ешқандай нәтиже бермеді. 1770 ж. француз математигі Лагранж «Теңдеулердің алгебралық шешімдері туралы ойлар» атты еңбегінде алғашқы төрт дәрежелі теңдеулерді шешудің әдістерін жан-жақты зерттеді, сөйтіп неліктен олардың ешқайсысының да бесінші дәрежелі теңдеуді шешуге жарамайтындығын түсінуге әрекет жасады. Осының барысында ол алғаш рет теңдеулердің түбірлерінің алмастырулар группасын қарастырды. Гаусс алгебраның негізгі теоремасын дәлелдеді. Жоғары дәрежелі теңдеулердің радикалдар арқылы шешілу мүмкіндігін зерттеп, тиянақты нәтижеге қол жеткізген ғалым Норвегия математигі Н.Х.Абель (1802-1829) болды. Ол болғанда -дәрежелі теңдеуді шешудің жалпы формуласының болмайтындығын дәлелдеп берді. «Алгебралық шешімі бар теңдеулердің ерекше бір класы туралы мемуар» атты әйгілі еңбегінде қазіргі Абель теңдеулері деп аталып жүрген мәселені ашты. Ол математиканың басқа салаларынан да бірқатар жаңалықтар ашты (эллипстік функциялар теориясы, шексіз қатарлар теориясы, группалар теориясы,т.б.). Қазіргі күні математикада оның есімімен аталатын атаулар жиі кездеседі (Абель интегралдары,Абель теоремалары, Абель функциялары, Абельдік группалар, т.с.с.). Алгебрада аса маңызды жаңалық ашқан тағы бір жас ғалым француз математигі Э.Галуа (1811-1832) болды. Ол Лагранждың, Гаусстың және Абельдің идеяларын әрі қарай дамыта отырып, n-дәрежелі теңдеудің түрі бойынша оның радикалдар арқылы шешілу – шешілмеуі туралы есепті қойды және оны шешіп берді. Ол үшін Галуа «Теңдеу түбірлерінің алмастыру группасы» ұғымын енгізді. Галуа идеяларын игеру барысында жалпы алгебра жылдам дами бастады. 1854 ж. ағылшын математигі А.Кэли группа ұғымының жалпы анықтамасын берді. 1898 ж. неміс ғалымы Г.Вебер группаның аксиоматикалық анықтамасын тұжырымдады. Осыдан кейін «группа» ұғымы жалпылама қабылданып, математиканың барлық салаларына ене бастады. Қазіргі күнгі группалар математиканың көптеген тарауларында маңызды роль атқарады. 1843-44 ж. ж. сызықтық кеңістік ұғымы қалыптасты (Грассман, Кэли). Кэли матрицалардың жалпы теориясын жариялап, матрицаларға қолданылатын амалдарды анықтады және характеристикалық көпмүшелік ұғымын енгізді. 1870 жылға қарай сызықтық алгебраның барлық базалық теоремалары дәлелденді. 1871 ж. Дедекинд өріс, модуль және идеал ұғымдарын енгізді, Кронекер бөлінгіштіктің жалпы теориясын жасады. XVIII ғасырдағы Эйлердің аналитикалық әдістері сандар теориясындағы бірқатар мәселелерді шешуге мүмкіндік берді (Гаусс, Дирихле, т.б.). Француз математигі Лиувилль трансценденттік сандардың шексіз көп болатындығын дәлелдеп, тансценденттіктің жеткілікті белгісін ұсынды және осы сандарды қатардың қосындысы түрінде өрнектеп көрсетті. 1873 ж. Ш.Эрмит санының, ал 1882 ж. Линдеман 𝞹 санының трансценденттігін дәлелдеді. У.Гамильтон кватерниондардың аса қызықты коммутативтік емес әлемін ашты, сандардың геометриялық теориясы пайда болды (Минковский). 5. XIX ғасырда қателіктер теориясы мен статистика және олардың физикалық қолданылулары алдыңғы орынға шыға бастады. Бұл мәселелермен Гаусс, Пуассон, Коши айналысып, қалыпты үлестірімнің маңыздылығын анықтады. Барлық өркениетті елдерде статистикалық департаменттер мен қоғамдар құрыла бастады. К.Пирсонның жұмыстарының нәтижесінде математикалық статистика жедел қарқынмен дами түсті. Алайда, бұл ғасырда ықтималдықтар теориясының математикалық негіздері жасала қойған жоқ, сондықтан XX ғасыр басында Д.Гильберт ықтималдықтар теориясын қолданбалы физикаға жатқызды. 12- дәріс. XIX ғасыр математикасының табыстары жүктеу/скачать 108,96 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|