1-дәріс. Кіріспе. Математиканың пайда болуы. Қарастырылатын сұрақтар
жүктеу/скачать 108,96 Kb.
|
4. Дәрістер
| Математикалық логика мен математиканың негіздемесі. XIX ғасырдың cоңында Кантордың жиындар теориясында қарама-қайшылықтардың(антиномиялардың) орын алатындығының анықталуына байланысты математиканы аксиоматикалық негізде құру бағытында жаңа ғылыми ізденістер жасалды. 1915-20 жж. Лёвенгейм мен Скулемнің зерттеулерінде ешқандай аксиоматикалық жүйенің категориялы болуының мүмкін еместігі анықталды. Басқаша айтқанда, аксиомалар жүйесі қалай тиянақты тұжырымдалғанымен, барлық уақытта осы жүйені құру мақсатындағы интерпретацияға мүлде ұқсамайтын интерпретация табылады. Бұл жағдай әрине, аксиоматикалық жүйенің әмбебаптығына деген сенімділіктің төмендеуіне себеп болды. Оның үстіне формальдық аксиоматика математиканың салалары сүйенетін іргелі принциптерді айқындау үшін қажетті болып танылды. Сонымен бірге аксиоматикаландыру математиканың әртүрлі бөлімдерінің арасындағы байқала бермейтін байланыстарды айқындауға көмектеседі. 1931 ж. К.Гёдель математикалық логиканың шектеулілігі тағайындалған толымсыздық туралы екі теореманы ұсынды. Бұл Д.Гильберттің математика негіздемесінің толық және қайшылықсыз жүйесін жасау туралы өз ойларын аяқтауына мүмкіндік туғызды.
Алгоритмдер теориясында елеулі нәтижелер алынды. Теореманың дұрыс, бірақ алгоритмдік тұрғыда қол жетімсіз болатындығы дәлелденді (Чёрч,1936). 1933 ж. А.Колмогоров ықтималдықтар теориясының қазіргі күнгі жалпылама қабылданған аксиоматикасын жасады. Сонымен қатар басқа да аксиоматикалық теориялар дами бастады. 1963 жылы Пол Коэн Кантордың континуум-гипотезасын жиындар теориясының кәдімгі аксиоматикасында дәлелдеудің мүмкін еместігін дәлелдеді. XX ғ. 30-жылдарының соңына қарай басылымдарда «Никола Бурбаки» деген бүркеншік есіммен көрінген француз математиктерінің тобы бүкіл математиканы аксиоматикалық негізде құруға әрекет жасады. Бурбаки бойынша, математиканың іргетасы ретінде жиындар теориясы алынды. Содан кейін оның I қабаты тұрғызылды: реттелген структуралар, алгебра, жалпы топология және өлшемдер теориясы. Соңында математиканың II қабатын тұрғызу қолға алынуы тиіс еді, онда I қабаттың құраушылары болып табылатын алгебралық, геометриялық және т.б. структуралар біріктірілуі керек болатын. Алайда, бұл мәселе аяқсыз қалды. Алгебра және сандар теориясы. Алгебраның дамуында жоғарғы нәтижелерге қол жеткізілді. Ғасыр басында Э.Нетер мен Ван-дер-Варден математиканы алгебраландыру мәселесін қолға алып, жалпы алгебраның негіздерін жасады (қазіргі күні оның структуралары (группалар, өрістер, сақиналар, сызықтық кеңістіктер,т.б.) бүкіл математикада кездеседі). Осыдан кейін группалар теориясы физика мен кристаллографияға ене бастады. Ғасыр басындағы маңызды жаңалықтың тағы бірі -радикалық сандар теориясының пайда болуы мен дамуы болып табылады. XX ғасырдың 10-ыншы жылдары үнді математигі Рамануджан 3 000-нан астам теореманы тұжырымдады, олардың арасында санның бөлшектену функциясының қасиеттері мен асимптотикалық бағаларына қатысты теоремалар да бар еді. Ол сондай-ақ гамма-функцияларды, модулярлық формаларды, жинақсыз қатарларды, гипергеометриялық қатарларды және жай сандар теориясын зерттеуде маңызды нәтижелерге қол жеткізді. 1995 жылы Эндрю Уайлс Ферма теоремасын дәлелдеп, көпғасырлық проблеманы шешуді жүзеге асырды. Математикалық анализ бен математикалық физика. XX ғасыр басында функциялар теориясы дами бастады. Ол шын мәнісінде, өлшемдер теориясы саласындағы табыстардан бастау алады (Борель, Лебег, т.б). Осының негізінде функциялар теориясында функциялардың метрикалық теориясы деп аталатын жаңа бағыт пайда болды. Борель мен Лебег өлшемдердің жордандық теориясын жалпылауды жүзеге асырды. Осының негізінде Лебег интегралдары жасалды. XX ғасырда функциялар теориясында орыс математика мектебі үлкен табыстарға қол жеткізді.(Лузин, П.С. Александров, Бари, Колмогоров, Меньшов, Суслин, Хинчин, т.б). Гильберттің математикалық мектебінде функционалдық анализ пайда болды және ол кванттық физикада қолданыла бастады. Жалпы алғанда, функционалдық анализдің дамуында екі бағыт орын алды: 1) Сызықтық функционалдық анализ (И.Фредгольм, т.б); 2) Квадраттық формалар теориясы (Д.Гильберт, т.б.).XX ғасырдың 60-ыншы жылдары А.Робинсон математикалық анализді өзекті шектеусіз аз шамалар тұрғысынан негіздеуді жүзеге асырып, стандартты емес анализді баяндаумен байланысты жұмыстарын жариялады. жүктеу/скачать 108,96 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|