1-дәріс. Матрицалар және анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері
жүктеу/скачать 2,12 Mb.
|
Лекции-АГ-каз.
- Бұл бет үшін навигация:
- Сызықты теңдеулер жүйесiн Гаусс әдiсiмен шешу
| Крамер әдiсi
белгiсiздерi бар теңдеулер жүйесiн қарастырайық
Осы жүйенiң негiзгi матрицасының анықтауышы . (2.1) теңдеулер жүйесi матрица түрiнде былай жазылады:
(2.2) формуланың екi жағын солдан матрицаға көбейтiп мынаны аламыз:
(2.3) формула теңдеулер жүйесiнiң шешiмiнiң матрица түрiндегi жазылуы. (2.3) теңдiктi былай ашып жазуға болады.
Осы теңдiктен
Анықтауыштың қасиеттерiнен Мұндағы анықтауыш бағанасын жүйенiң бос мүшелерiмен алмастыр-ған анықтауыштан шығады. Яғни
(2.5) өрнектерi Крамер формулалары деп аталады. Сонымен берiлген жүйе-нiң негiзгi матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда оның тек қана бiр шешiмi болады. Ол шешiмдi Крамер формулалары арқылы да табуға болады. Мысал. Крамер формулалары арқылы берiлген жүйенiң шешiмдерiн табыңдар Шешуі. Негiзгi матрицаның анықтауышын және -дердi есептейiк =, -
формулаларды пайдаланып , , Сонымен жүйенiң шешiмi . Сызықты теңдеулер жүйесiн Гаусс әдiсiмен шешу Гаусс әдiсi сызықты теңдеулер жүйесiн шешудегi универсалды әдiстердiң бiрi деп есептелiнедi. Бұл әдiс кейде айнымалыларды бiртiндеп жою әдiсi деп те аталынады.
теңдеулер жүйесiн қарастырайық. Мұндағы
Осы (3.1) теңдеулер жүйесiнiң кеңейтiлген матрицасының жолдарына элемен-тарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрица түрiне келтiруге болады. Мысалы, бiр айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ) және оны осы айнымалының алдындағы коэффициенттердi және сол айнымалы бар теңдеудi шешушi деп атаймыз. Егер шешушi коэффициент бiрден өзге болса, онда шешушi теңдеудегi барлық коэффициенттердi осы шешушi коэффициентке бөлiп, қалған барлық теңдеулерден шешушi айнымалыны жоямыз. Содан кейiн келесi шешушi айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ), шешушi теңдеудi шешушi коэффициентке бөлемiз және қалған теңдеулерден осы шешушi айнымалыны жоямыз. Осы процесстi әрi қарай жалғастырамыз. Осы процесс кезiнде түрiндегi теңдеу кездессе, мұндай теңдеудi немесе кеңейтiлген матрицадағы осыған сәйкес барлығы нөлден тұратын жолды алып тастауға болады. Себебi бұл теңдеудi кез келген сандар жиыны қанағаттандырады. түрдегi теңдеу немесе кеңейтiлген матрицада барлық элементтерi нөлден тұратын, бiрақ соңғы элементi нөл емес жол кездесуi мүмкiн. Онда бұл теңдеудiң сонымен қатар берiлген теңдеулер жүйесiнiң шешiмi жоқ, яғни жүйе үйлесiмсiз. Сонымен кеңейтiлген матрицаның жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрицаға келтiремiз:
Бұл матрицаға мынадай теңдеулер жүйесi сәйкес келедi:
мұндағы Осы (3.4) теңдеулер жүйесiнiң соңғы теңдеуiнен белгiсiздi басқа арқылы өрнектеймiз. Содан кейiн -ы жүйенiң соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып белгiсiздi арқылы өрнектеймiз, содан кейiн белгiсiздердi осылай табамыз. Сонымен бос айнымалыларға кез келген мәндер берiп, жүйенiң шексiз көп шешiмдерiн аламыз. Ескерту. Егер сатылы матрица үшбұрышты болса, яғни онда берiлген жүйенiң тек қана бiр шешiмi болады. Соңғы теңдеуден белгiсiздi тауып оны соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып , тағы солай жалғастырып -лердi табамыз.
Шешуi. Бұл жүйенiң кеңейтiлген матрицасын құрып, оған элементарлы түрлендiрулер қолданамыз.
Осыдан
жүктеу/скачать 2,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||