1 дәріс. Механикалық қозғалыстардың теориялық негіздері

өзгеру периоды 
2
1
2
A
ω
ω
T

−
=
шарттан анықталады. Демек, 
2
1
2
.
A
T
ω
ω

=
−
(14.3.9) 
Амплитуданың өзгеру жиілігі мынаған тең 
2
1
2
1
1
.
2
A
A
ω
ω
ν
ν
ν
T

−
=
=
= −
(14.3.10) 
Ары қарай қорытқы тербеліс талдауын 14.3.2 -суретте берілген векторлық диаграмма 
көмегімен жүргізіп көрейік. Қорытқы тербелістің 

фазасы уақыт бойынша 
1
2
α
φ
2
ω
ω
t
+
=
+
(14.3.11) 
заңдылыққа бағынышты өзгереді. Бұдан қорытқы амплитуда векторы қосылғыш тербеліс-
тердің дөңгелектік жиіліктері қосындысының жартысына тең тұрақты жылдамдықпен 
айналатыны айқын көрінеді.
Қорытқы тербеліс
1
2
cos
φ ,
2
ω
ω
x
A
t
+


=
+




немесе 
2
1
2
1
2 cos
cos
φ
2
2
ω
ω
ω
ω
x
a
t
t
−
+


=
+




, (14.3.12) 
заңына сәйкес жүреді. Соңғы өрнекке қарағанда, 
(

2
−

1
)(

2
+

1
)
шарты орындалса, аз
уақыт аралықтарында қорытқы тербелісті гармоникалық деп қарастыруға болады. Мұндай 
амплитудасы лүпілдеген тербелістерді 
соғулар
деп атайды. Соғулар үшін 
( )
x t
тәуелділік
графигі 14.3.3 -суретте келтіріліп отыр. 
 
 
 
 
 
 
14.3.2. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу 
Жиіліктері бірдей, бағыттары перпендикуляр екі тербелістердің қосылу нәтижесін 
қарастырайық. Мысалы, тербелістер 
х
және 
у
осьтері бағыттарында жүрсін. Онда 
 x 
14.3.3 - 
сурет
 t 
O 
14.3.2 - 
сурет
A
 
A
2
 
A
1
 
x 
O 

тербелістер теңдеулері төмендегі түрде жазылады: 
(
)
1
cos
φ ,
x
a
ωt
=
+
(14.3.13) 
(
)
2
cos
φ
y
b
ωt
=
+
. (14.3.14) 
Нүкте траекториясының теңдеуін табайық. Ол үшін (14.3.13), (14.3.14) теңдеулерінде 
уақытты жоямыз: 
1
1
cos
cosφ
sin
sinφ ,
x
ωt
ωt
a
=
−
(14.3.15) 
2
2
cos
cosφ
sin
sinφ .
y
ωt
ωt
b
=
−
(14.3.16) 
Ары қарай (14.3.15)-теңдеуді cos

2
-ге, ал (14.3.16)-теңдеуді cos

1
-ге көбейтіп, біріншісінен 
екіншіні аламыз: 
(
)
2
1
2
1
cosφ
cosφ
sin
sin φ
φ .
x
y
ωt
a
b
−
=
−
(14.3.17) 
Сол сияқты (14.3.15)-ны sin

2
-ге, (14.3.17)-ді sin

1
-ге көбейтіп, бірінен-бірін алсақ: 
(
)
2
1
2
1
sinφ
sinφ
cos
sin φ
φ .
x
y
ωt
a
b
−
=
−
(14.3.18) 
Енді (14.3.17) және (14.3.18) теңдеулердің әрқайсысын квадраттап, өзара қоссақ, траектория 
теңдеуін аламыз: 
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
cos φ
φ
sin φ
φ .
x
y
xy
a
b
ab
+
−
−
=
−
(14.3.19) 
Табылған теңдеу эллипсті бейнелейтіні аналитикалық геометриядан белгілі. Ал, эллипстің, 
яғни траекторияның пішіні, 
(
2
−
1
)
фазалар айырымына тәуелді. Мысал ретінде траекто-
рияның кейбір түрлерін қарастырайық. 
а) Қосылғыш тербелістер фазаларының айырымы нольге тең, яғни 

1
=

2
=

. Бұл 
шарт орындалса, (14.3.19) траектория теңдеуі мына түрге ауысады: 
2
2
2
2
2
0 ,
x
y
xy
a
b
ab
+
−
=
бұдан 
.
b
y
x
a
=
(14.3.20) 
Демек, 

2
−
1
=0 шарты орындалса, нүкте түзу бойында гармоникалық тербелістер жасайды 
(14.3.4а-сурет). Нүктенің түзу бойындағы орны 
l
ығысумен анықталады: 
(
)
2
2
2
2
cos
φ .
l
x
y
a
b
ωt
=
+
=
+
+
(14.3.21) 
Қорытқы тербелістің жиілігі қосылғыш тербелістердің жиілігіне тең.
б) Қосылғыш тербелістер фазаларының айырымы 


-ге тең. Бұл жағдайда (14.3.19) 
траектория теңдеуі 
b
y
x
a
= −
(14.3.22) 
түрге келеді. Демек, бұл жолы да тербелістер түзу бойында гармоникалық болады, тек енді 
тербеліс графигі 14.3.4б-суретте көрсетілгендей болады. 

 
 
 
 
 
 
в) Фазалар айырымы 

2
−
1
=


/2 болсын. Бұл шарт үшін траектория теңдеуі 
мынадай болады: 
2
2
2
2
1.
x
y
a
b
+
=
(14.3.23) 
Егер 
a=b
болса, эллипс шеңберге ауысады. 

2
−
1
=

/2 және 

2
−
1
=
−

/2 шарттарының бір-
бірінен, 14.3.5 -суретте көрсетілгендей, нүктенің эллипс бойымен қозғалыс бағытын анық-
тайтын айырмашылықтары бар. Бұл жағдайда (14.3.13) және (14.3.14) теңдеулері мына 
түрде жазылады: 
(
)
cos
φ ,
x
a
ωt
=
+
(14.3.24) 
(
)
cos
φ
sin
φ .
2
y
b
ωt
b
ωt



=
+ +
= −
+




(14.3.25) 
Қайсыбір мезетте екі функцияның да аргументі нольге тең болып, нүкте 
А
орында болады 
(14.3.5-сурет). Уақыттың келесі мезетінде аргумент өскендіктен, 
х
оң, ал 
у
теріс мєн 
қабылдайды. Бұл – нүкте сағат тілі қозғалысымен бағыттас қозғалады деген сөз. Егер 
фазалар айырымы 

2
−
1
=
−

/2 яғни теріс болса, нүкте кері бағытта қозғалады 
Қосылғыш тербелістер фазаларының айырымы 
3
2


болғанда да траектория теңдеуі 
фазалар айырымы 
2


мәніне сәйкес теңдеумен бірдей болады. Ал, фазалар 
айырымының басқа мәндерінде де траектория эллипс болғанмен, ол 
Ох
және 
Оу
осьтеріне 
келтірілмеген болады. Егер өзара перпендикуляр тербелістердің жиіліктері тең болмаса, 
қорытқы тербеліс траекториясы Лиссажу фигуралары пішіндес күрделі қисық сызықтармен 
бейнеленеді. Мысал ретінде төмендегі (14.3.6) - суретте жиіліктері мен фазалар айырымы 
әр түрлі өзара перпендикуляр екі тербелістерді қосу нәтижесінде пайда болған 
траекториялар келтіріліп отыр. 
x

О
 

x 
 y 
 y
a) 
б
) 
14.3.4 - 
сурет
О
 
 l l 
A
A
14.3.5 - 
сурет
 x 
 x 
 y 
 y 
A 
O 

 
 
 
 
14.4. Өшпелі тербелістер 
 
Үйкеліс бар кезінде сызықты осциллятор тербелістерінің энергиясы азайғандықтан, 
тербелістер амплитудасы кішірейеді. Яғни, үйкеліс әсерінен тербелістер өшпелі болады. 
Мысал ретінде материялық нүктенің тұтқыр ортадағы өшпелі түзусызықты тербелістерін 
қарастырайық. Нүктеге ішкі квазисерпімді 
F= -kx
күш және сыртқы кедергі күш әрекет 
етеді. Қозғалыстың аз жылдамдықтарында кедергі күші жылдамдыққа пропорционал және 
оған қарсы бағытталған:
.
к
dx
F
r
dt
= −
Мұнда 
r
– кедергі коэффициенті. Демек, нүкте 
қозғалысының теңдеуі мына түрде жазылады: 
2
2
,
d x
dx
m
kx
r
dt
dt
= − −
бұдан 
2
2
0
d x
r dx
k
x
dt
m dt
m
+
+
=
. (14.4.1) 
Егер 
r/m = 
2

;
k/m = 

2
0
арнаулы белгілер енгізсек, (14.4.1) теңдеу 
2
2
0
2
2β
0
d x
dx
ω x
dt
dt
+
+
=
(14.4.2) 
түрге келеді. Енді ары қарай түрлендірулер үшін 
х
-пен 
β
t
x
ze
−
=
(14.4.3) 
қатыс арқылы байланысқан 
z
айнымалыны алып, 
dx/dt
және 
d
2
x/dt
2
туындыларды есептейік: 
β
β
β
;
t
t
dx
dz
e
e
z
dt
dt
−
−
=
−
2
2
β
β
2
β
2
2
2β
β
t
t
t
d x
d z
dz
e
e
e
z
dt
dt
dt
−
−
−
=
−
+
. 
Алынған нәтижелерді (14.4.2) формулаға қойып, қарапайым амалдардан кейін 
(
)
2
2
2
0
2
β
0
d z
ω
z
dt
+
−
=
(14.4.4) 
теңдеуді аламыз. Енді 
2
2
2
0
β
ω
ω
−
=
белгі енгізіп, (14.4.4) теңдеуді 
2
2
0
β
ω

шартқа сәйкес 
сараптайық: 
2
2
2
0 .
d z
ω z
dt
+
=
(14.4.5) 
14.3.6
- 
сурет
1
2
1
;
φ 0.
2
ω
ω
=
 =
 
1
2
3
;
φ
.
4
2
ω
ω

=
 =
 
1
2
1
;
φ
.
2
2
ω
ω

=
 =
 
 y
 
 a
 
b
 
 x
 
0
 y
 
x
 
a 
b 
 
0
 y
 
 x
 
a 
b 
0

Бұл теңдеу (14.4.5) теңдеуге ұқсайды, демек, оның шешімін мына түрде жазуға болады: 
(
)
0
cos
φ ,
z
a
ωt
=
+
(14.4.6) 
мұнда 
a
о
және 

– бастапқы шарттардан анықталатын тұрақтылар.(14.4.3)-ші формулаға 
(14.4.6)-дан анықталған 
z
мәнін қойсақ, 
(
)
β
0
cos
φ .
t
x
a e
ωt
−
=
+
(14.4.7) 
Мұндағы косинус функциясы алдындағы шама өшпелі тербелістердің амплитудасын 
өрнектейді: 
β
0
.
t
a
a e
−
=
(14.4.8) 
Тербелістер периоды 
z
және 
х
шамалар үшін бірдей болып, 
2
2
0
2
2
β
T
ω
ω


=
=
−
(14.4.9) 
қатыспен есептеледі. Бұған қарағанда, өшпелі тербелістер периодының кедергі күші 
әрекетінен өсуі тербелмелі жүйенің 
k
тұрақтысының квазисерпімді күштің азаюынан туған 
кішірейуімен байланысты. Яғни 

2
0
= k/m 
болғандықтан, тербелістер жиілігі азайып, 
периоды өсу керек. Жоғарыдағы (14.4.7) шешімнің графигі 14.4.1-суретте беріліп отыр. 
Мұндағы пунктир сызық 
( )
a t
функциясының графигін бейнелейді. Тербелістердің өшу 
жылдамдығын анықтайтын 

= 
r/
2
m
шаманы 
өшу коэффициенті
деп атайды. Енді тербеліс 
амплитудасының 
e
есе кішірейуіне кететін 

уақытты есептейік. Ол үшін (14.4.8)-ден:
β
0
,
τ
a
e
e
a
= =
яғни
1
.
β
τ
=
(14.4.10) 
Демек, өшу коэффициенті амплитуда 
e
есе азаятын уақыт аралығына кері шама екені айқын. 
Тербелмелі жүйені сипаттау үшін көбіне өшудің 
логарифмдік декременті
түсінігі жиі 
қолданылады. 
Өшудің логарифмдік декременті 
()
деп тербелістің арасында 
Т
периодқа тең 
уақыт аралығы бар екі амплитудалары қатынасының логарифмін айтады: 
(
)
β
β
0
β
0
ln
ln
β .
t
T
t T
a e
e
T
a e

−
−
+
=
=
=
(14.4.11) 
Осы нәтижеге сәйкес тербеліс амплитудасын анықтайтын (14.4.8) формула 
0
t
T
a
a e

−
=
(14.4.12) 
түрге ауысады.
14.4.1-
сурет
 
 x 
 t 
14.4.2 -
сурет
 x 
t 
1 
2 

Тербеліс амплитудасы 
e
есе кішірейетін 

уақыт аралығында жүйе 
e
N
τ T
=
тербелістер 
жасап үлгереді. 
exp
(
−
T
)
= 1/e шарттан 

T
= 

N
e
= 1 екенін көреміз.
Демек, өшудің логарифмдік декременті – амплитуда 
e
есе кішірейетін уақыт 
аралығында жасалатын тербелістер санына кері шама. Үйкеліс артқан сайын тербеліс 
периоды өсе түседі. Егер 
0
β
ω
=
болса, период шексіздікке ұмтылып, қозғалыс периодты 
болудан қалады. Егер 
0
β
ω

болса, қозғалыс апериодты түрде жүреді, яғни тепе-теңдік 
жағдайдан шығарылған дене тепе-теңдік нүктесіне тербеліс жасамай қайтады (14.4.2 -
сурет). Жүйенің тепе-теңдік жағдайға қайту жолы бастапқы шарттарға байланысты. 
Мысалы, суреттегі 1-қисық тепе-теңдік нүктеге тыныштық күйден (бастапқы жылдамдық 
нольге тең) оралған жүйені бейнелесе, 2-қисық бастапқы жылдамдығы тепе-теңдік 
нүктесіне бағытталған жүйе қозғалысын сипаттайды. 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: