Гармоникалық тербелістердің энергиясы

координаталар жүйесінің бастама нүктесімен бір болсын. Осциллятор квазисерпімді 
күштер әрекетінен қозғалысқа келетінін ескере отырып, осындай шарттар үшін 
потенциалдық энергияның мына өрнегін аламыз: 
2
.
2
n
kx
E
=
(14.2.6) 
Ығысу 
( )
x t
(14.1.7) формуламен есептелетінін ойға түсіріп, (14.2.6)-ны былай да жазуға 
болады: 
(
)
2
2
0
1
cos
φ .
2
n
E
kA
ω t
=
+
(14.2.7) 
Осциллятор кинетикалық энергиясының уақытқа тәуелділігін материялық нүкте 
кинетикалық энергиясының анықтамасы және (14.2.1) формуламен өрнектелген 
( )
υ t
тәуелділігін қолдана отырып табамыз: 
(
)
2
2
2
0
0
1
sin
φ .
2
к
E
mA ω
ω t
=
+
(14.2.8) 
Соңғы теңдіктерге қарағанда 
к
E
кинетикалық энергия 
n
E
потенциалдық энергия 
максимумге жеткен кезде, яғни ең үлкен ауытқу нүктелерінде, нольге тең болады, 
керісінше, тепе-теңдік жағдайда кинетикалық энергияның мәні максимум болады.
Осциллятордың толық энергиясын табу үшін потенциалдық және кинетикалық 
энергияларды өзара қосу керек: 
(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
cos
φ
sin
φ .
2
2
n
к
E
E
E
kA
ω t
mA ω
ω t
=
+
=
+
+
+
(14.2.9) 
(14.1.4)-ке қарағанда 
2
0
mω
k
=
болғандықтан, (14.2.9) 
2
1
,
2
E
kA
=
немесе
2
2
0
1
2
E
mA ω
=
(14.2.10) 
түрге келеді. Демек, қалай болғанда да энергияның түбегейлі сақталу заңына сәйкес 
қозғалыстың барлық кезінде толық энергия тұрақты қала береді. Ең үлкен ауытқу 
жағдайында барлық энергия потенциалдық болса, тепе-теңдік нүктесінде барлық энергия 
кинетикалық энергияға ауысады. (14.2.7) және (14.2.8) формулалардан 
кинетикалық және 
потенциалдық энергиялардың уақыт бойынша өзгеруі тербелмелі қозғалыстың Т 
периодына қарағанда екі есе аз T

 периодпен жүреді
деген қорытынды шығады. 
Энергияның сақталу заңынан тағы бір маңызды қорытындыға келуге болады: 
осциллятордың орташа кинетикалық энергиясы оның потенциалдық энергиясының 
орташа мәніне тең.
Кез келген 
( )
f t
функцияның 
1
t
және 
2
t
уақыт аралығындағы орташа 
мәні деп
( )
( )
2
1
2
1
1
t
t
f t
f t dt
t
t

=
−

(14.2.11) 
формуламен есептелетін шаманы айтады. Бір тербеліс кезіндегі 
n
E


және 
к
E


-ны 
есептеу үшін (14.2.7) және (14.2.8) формулаларға сәйкес 
(
)
2
0
cos
φ
ω t
+
және 
(
)
2
0
sin
φ
ω t
+
шамалардың орташа мәндерін (14.2.11)-ді қолдана отырып табу қажет. 

(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
cos
φ
cos
φ
1 1
1
1
1
1 cos 2
φ
sin 2
φ
.
2
2
2
2
T
T
T
ω t
ω t
dt
T
ω t
dt
t
ω t
T
T
ω

+
=
+
=




=
+
+
=
+
+
=








(14.2.12) 
Осыған ұқсас 
(
)
2
0
1
sin
φ
.
2
ω t

+
=
Демек, жоғарыда айтылғандай,
.
к
n
E
E

=

(14.2.13) 
Тербелмелі қозғалыс кезіндегі энергияның графикалық кескінін келтірейік. Талдау негізіне 
E
n
(
x
) тәуелділігін аламыз. Ығысу функциясы ретінде потенциалдық энергияны парабола 
түрінде бейнелеуге болады (14.2.2-сурет). Толық энергия 
MN
түзуімен кескінделеді. 
Кинетикалық және потенциалдық энергиялар берілген 
х
мәні үшін 
АВ
және 
ВС
кесінділерге 
сәйкес болады. Ал 
х
-тің мүмкін болатын мәндері 
max
x
мен 
min
x
-нің аралығында жатады. 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: