1. Функция ұғымы

Аңықтама.

Егер y=f(x) функциясы x₀ нүктенің белгілі бір δ аймағында: x₀– δ < x < x₀ + δ аңықталса әрі осы аймақта f(x) > f(x₀) (f(x) < f(x₀))болса онда бұл нүкте y=(x) функциясының минимум (максимум) нүктесі деп аталады.

Функцияның максимум және минимум нүктелерің функцияның экстремум нүктелері деп атайды.

Мысалдар.

a). y=sinx функциясы x₁= –90⁰ нүктеде минимумға ие, ал x₂= 90⁰ нүктеде максимумға ие.

b). y= |1-x²| функциясы x₁= 0 нүктеде максимумға ие, ал минимум нүктелері екеу x₂= -1, x₃= 1.

Теорема.

Мысал.

y′(x)=2x+2

2x+2=0

x=-1

Бірақ біз осы нүктеде экстремум бар ма жоқ па бұны әлі білмейміз, өйткені жоғарыдағы теоремада тек “ие болса” ғана делінген. Бұны мына теорема аңықтайды:

Теорема.

y=f(x) функцисы (a; b) сегментінде  үзіліссіз әрі дифференциалдансын.

f ′(x₀)=0 болсын:

a). Егер x0 нүктелерінде  f ′(x) оң ал x>x₀ нүктелерінде f ′(x) теріс болса онда x₀ нүктеде y=f(x) функциясы максимумға ие.

b). Егер x₀ >x нүктелерінде  f ′(x) теріс ал x₀0 нүктеде y=f(x) функциясы минимумға ие.

Осы теоремаға сәйкес y=x²+2x+1 функциясының  y ′(x)= 2x+2 туындысы x0=-1 нүктелерінде теріс ал x>-1 нүктелерінде оң болатындықтан y=x²+2x+1 функциясы x₀=-1 нүктесінде минимумға ие.

Функцияның негізгі түрлері:

1)    Айқын және айқын емес функция.

Егер функция  у = f (х) теңдеуімен берілсе, онда ол айқын түрде берілген, ал F(x, y) = 0 теңдеуімен берілсе, онда ол айқын емес түрде берілген делінеді. 

2)    Кері функция.

Егер x-тің және оған сәйкес y = f (х) мәндерінің арасында өзара бірмәнді сәйкестік болса, онда, y-тің мәндерін аргумент мәндері, ал х-тің мәндерін функция мәндері деп қарастыру арқылы  х = φ(y) функциясын аламыз. Бұл функция у = f (х) функциясына кері функция деп аталады.

у = f (х) функциясы  х = φ(y) функциясына кері болады.

3)    Күрделі функция (суперпозициясы, композициясы, функцияның функциясы).

Егер у и-дан тәуелді, ал и х-тен тәуелді функция болса, онда у х-тен тәуелді функция болады, яғни у = F(и), и = φ(х) болса, онда  у = F [φ(х)]. Соңғы функция функцияның функциясы немесе күрделі функция немесе суперпозиция немесе композиция деп аталады.