13 билет. 1- сұрақ Бір айнымалы функцияны дифференциалаудың негізгі ережелері
жүктеу/скачать 93,15 Kb.
|
проф. сабақ 13, 14 билет
|
13 билет. 1- сұрақ Бір айнымалы функцияны дифференциалаудың негізгі ережелері. z=f(x; y) функциясы кез-келген бір M(x; y) нүктесінің маңайында анықталған болсын. Функцияның М нүктесіндегі толық өсімшесі:
z=f(x; y) функциясын M(x; y) нүктесінде дифференциалданатын функция деп атайды, егер оның осы нүктедегі толық өсімшесі төмендегідей түрге келтірілсе:
мұндағы және (5.2) формуладағы алғашқы екі қосынды функция өсімшесінің басты бөлігі болып саналады. z=f(x; y) функциясының өсімшесінің және -ке қатысты басты бөлігін осы функцияның толық дифференциалы деп атап, төмендегі символ арқылы белгілейміз dz:
және өрнектері дербес дифференциалдар деп аталады. x және y тәуелсіз айнымалылары үшін , . Сонда (5.3) теңдігін келесі түрде жазуға болады:
Теорема. (функцияның дифференциалдануының қажетті шарты). Егер z=f(x; y) функциясыны M(x; y) нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол осы нүктеде үзіліссіз және оның дербес туындылары және бар, бұл жағдайда және . Д/уі: Егер z=f(x; y) функциясыны M(x; y) нүктесінде дифференциалданатын болса, онда (5.2) теңдігі орындалады. Одан біз келесі шек шығатынын көреміз: . Бұл функцияның М нүктесінде үзіліссіз екенін көрсетеді. Егер (5.2) теңдігінде , деп алсақ, онда . Бұдан . Бұл теңдеуден шек тапсақ, . Сонымен М нүктесінде туындысы бар болады. Дәл осы сияқты М нүктесінде туындысы болатынын дәлелденеді. Дәлелденді. (5.2) теңдігін былай жазуға болады.
мұндағы , егер . Керісінше ұйғарым орындалмайды, себебі функцияның үзіліссіздігінен немесе дербес туындының бар болуынан функцияның дифференциалданатыны шықпайды. Теореманың салдары ретінде толық дифференциалды есептеу формуласын аламыз. Сонда (5.3) формуласы келесі түрде болады:
немесе
мұндағы , - z=f(x; y) функциясының дербес дифферениалы. жүктеу/скачать 93,15 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|