§14 Энергияныњ графикалыќ кµрінісі
І БӨЛІМ. КИНЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ
жүктеу/скачать 1,42 Mb.
|
ДӘРІС Механика
- Бұл бет үшін навигация:
- II ТАРАУ
І БӨЛІМ. КИНЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ§ 1 Механикалық моделдер. Санақ жүйесі. Траектория, жол ұзындығы, орын ауыстыру векторы. Механикада денелер қозғалысын бейнелеу үшін әртүрлі физикалық моделдер қолданылады. Берілген есептерде өлшемін ескермеуге болатын дене, яғни материалдық нүкте - қарапайым модель болып табылады. Материалдық нүкте түсінігі обстрактілі, дегенмен практикалық есептерді шешуге жеңілдетеді. Мысалы, күн айналасында орбита бойынша қозғалатын планеталарды материалдық нүкте санауға болады. Макроскопиялық денені немесе жүйені бір-бірімен өзара әсер ететін бөліктерге ойша бөліп, оның әрқайсысын материалдық нүкте деп қарастыруға болады. Бұл жағдайда жүйенің қозғалысы материалдық нүктелер жүйесінің қозғалысымен алмастырылады. Денелер бір-бірімен өзара әсерлесуі кезінде деформациялануы мүмкін, яғни өзінің формасы мен өлшемін өзгертеді. Сондықтан, механикада абсолюттік қатты дене моделі еңгізіледі. Абсолюттік қатты дене деп деформацияланбайтын және екі нүктенің (дәлірек айтқанда екі бөлшектің) арақашықтығы әрқашанда тұрақты болатын денені айтады. Қатты дененің қозғалысын ілгермелі және айналмалы қозғалыстар комбинациясы ретінде елестетуге болады. Қозғалысты ілгермелі деп атаймыз, сол уақытта, егер денемен тығыз байланысқан кез – келген түзу қозғалыс кезінде өзінің бастапқа бағытына параллель қалпында қалса. Айналмалы қозғалыс деп, дененің барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалатын, ал центрі айналу өсі деп аталатын түзудің бойында орналасатын қозғалысты айтамыз. Дене кеңістік пен уақытқа байланысты қозғлады. Сондықтан, материалдық нүктененің қозғалысын бейнелеу үшін осы нүктенің қай уақыт мезетінде және кеңістіктің қай бөлігінде орналасқанын білу керек. Материалдық нүктенің орны санақ денесіне, яғни таңдап алынған денеге байланысты анықталады. Санақ денесімен байланысты сағат және координат жүйелерінің жиынтығы - санақ жүйесі болып табылады. Декарттық координат жүйесінде А нүктесінің орны берілген уақыт мезетінде осы жүйеге қатысты x,y,z координаттары мен немесе координата басынан берілген нүктеге дейін жүргізуге r радиус векторымен сипатталады. Материалдық нүктенің қозғалысы кезінде уақыт өтуімен байланысты оның координаты өзгеріп отырады. Жалпы жағдайда оның қозғалысы скалярлық теңдеулермен анықталады: x=x(t) y=y(t) (1.1) z=z(t) және ол мына векторлық теңдеуге эквивалентті: r=r(t) (1.2) (1.1), (1.2) өрнектері –материалдық нүкте қозғалысының кинематикалық теңдеуі деп аталады. Кеңістікте нүктенің орнын толық анықтайтын тәілсіз координаттар санын еркіндік дәреже саны деп аталады. Егер материалдық нүкте кеңістікте еркін қозғалатын болса, жоғарыда айтылғандай, ол 3 еркіндік дәрежеге ие (яғни x,y,z координаталар), белгілі бір сызықтық қарамағында қозғалса 1 еркіндік дәрежеге ие болады.
және (1.2) теңдеулеріндегі t уақытты жай соқ, материалдық нүкте қозғалысының траекторриясын аламыз. Материалдық нүкте траекториясы дегеніміз кеңістіктегі осы нүктенің қозғалысын бейнелейтін сызық. Траекторияның формасына байланысты қозғалысты түзусызықты және қисықсызықты деп бөледі. Материалдық нүкте қозғалысының траекториясын қарастырайық. Санақ уақытын нүкте А жағдайда орналасқаннан басмтайық. Уақыт осы нүктенің жүріп өткен АВ траекториясының ұзындығын ∆S жол ұзындығы деп атайды. ∆S уақытқа тәуелді скаляр функция болып табылады.: ∆S = S(t) ∆r нүктенің бастапқы орнынан берілген уақыт мезетінде қозғалыстағы нүктеге дейін жүргізілген вектор, яғни радиус вектордың өсімшесі-орын ауыстыруы деп агалады:
Тузү сызықты қозғалыс кезінде ∆r орын ауыстыру векторы граекторияның ұзындығына сәйкес келеді және орын ауысгыру модулі жағынан жүріп өткен ∆S жолға тең. §2 ЖЫЛДАМДЫҚ. Жылдамдық – материалдық нүктенің қозғалысын сипаттайтын векторлық шама. Ол берілген уақыг мезетінде қозғалыстың жылдамдығын ғана анықтап қоймай, сонымен қатар, бағытын да көрсетеді. Материалдық нүкте қандайда бір қисық сызықты траекториямен қозғалсын делік және t уақытта оған радиус r0 векторы сәйкес келсін (3-сурет). Нүкте Δt өте аз уақыт аралығында ΔS жол жүріп, шексіз аз Δr орын ауыстыруға ие болады. Орташа жыдамдық векторы - Δr радиус векторының өсімшесінің Δt уақытқа қатынасын айтады: (2.1). Орташа жылдамдық бағыты бойынша Δr-мен бағыттас. Δt шексіз азайғанда орташа жылдамдық шектіге ұмтылады: Сонымен, радиус вектордан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең векторлық шама v лездік жылдамдық деп аталады. Қозғалыс бағыты бойынша v лездік жылдамдық траекторияға жанама бағытталған (3-сурет). Δt -ның азаюымен ΔS жол ұзындығы Δr-ға жуықтайды,сондықтан лездік жылдамдығы модулі: Сонымен, лездік жылдамдық модулі S жолдан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең: (2.2) Бірқалыпсыз қозғалыс кезінде лездік жылдамдық уақыт өте өзгеріп отырады. Бұл жағдайда скаляр шама - бірқалыпсыз қозғалыстың орташа жылдамдығы қолданылады: 3-суреттен көріп отырғанымыздай ,болғандықтан , тек түзу сызықы қозғалыс кезінде ғана . Егер Ds=vdt өрнегін уақыт бойынша (2.2 қара) t және t+dt аралығында интегралдасақ,нүкенің Δt уақытта жүріп өткен S жолын табамыз: (2.3) Бірқалыпты қозғалыс кезінде лездік жылдамдық шамасы жағынан тұрақты болады. (2.3) өрнегі мына түрге келеді: t1-ден t2-ге дейінгі уақыт аралығындағы нүктенің жүрген жол ұзындығы мына интегралмен анықталады: §3 ҮДЕУ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚҰРАУШЫЛАРЫ Бірқалыпсыз қозғалыс кезінде уақыт өте жылдамдық тез өзгеріп отырады. Жылдамдықтың модулі және бағыты бойынша өзгеруін сипаттайтын физикалық шама – үдеу деп аталады. Траекторияның бүкіл аумағы бір жазықтықта жататын жазық қозғалысты қарастырайық. t уақытта А нүкесінің жылдамдығы v болсын. уақытта осы нүкте В ға жетіп, модулі мен бағыты бойынша v дан өзгеше v1 жылдамдыққа ие болады; яғни V1 =V+ΔV V1 векторын А нүктесіне қойып ΔV табамыз. (4-сурет) t-дан t+Δt аралығындағы бірқалыпсыз қозғалыстың орташа үдеуі деп – Δvжылдамдық өзгерісінің Δt-ға қатынасына тең векторлық шаманы айтады: Лездік үдеу а деп – t уақыт мезетінде орташа үдеуден алынатын шекті айтамыз: Сонымен, a үдеу жылдамдықтан уақыт бойынша алынатын бірінші туындыға тең венкторлық шама. ΔV векторын екі құраушыға жіктейік. Ол үшін А нүтесінен V жылдамдықпен бағыттас, модулі бойынша V1- ге тең векторын сызайық. 4-суреттен көріп отырғанымыздай ΔVτ –ға тең венкторы Δt уақытта жылдамдықтың модулі бойынша өзгеруін анықтайды: ΔVτ=V!+V. Ал екінші ΔV- Vn вектор құраушысы Δt уақытта жылдамдыұтың бағыты бойынша өзгеруін көрсетеді. .Үдеудің тангенциал құраушысы Жылдамдықтың модулінен уақыт бойынша бірінші туындыға тең. Сөйтіп ол Жлдамдықтың модулі бойынша өзгеруін көрсетеді. Үдеудің екінші құраушысын табайық. В нүктесі А нүктесіне өте жақын жатыр дейік, онда ΔS –ті АВ хордасына ұқсас доға деп санауға болады.АОВ және ЕАД үшбұрыштардың ұқсастығынан , АВ=V Δt болғандықтан ұмтылғанда , ,. ЕАД теңбүйірлі үшбұыш болатындықтан, АДЕ бұрышы V және ΔV аралығында түзу сызыққа айналады. жағдайда ΔVn және V векторлары өзара перпендикуляр болады. Жылдамдық векторы траекторияға жанама бағытталатындықтан оған перпендикуляр жатқан ΔVn векторы қисықтықтың центріне қарай бағытталады. Сонымен, үдеудің екінші құраушысы мынаған тең: an-үдеудің нормаль құраушысы деп аталадыю. Және ол траекторияға нормаль бойынша қисықтық центріне қарай бағытталған. Сондықтан, оны кейде центрге тарптқыш үдеу деп те атайды. Толық үдеу - тангенциал және нормаль құраушылардың геометриялық қосындысына тең: Сонымен, үдеудің тангенциал құраушгысы жылдамдықтың модулі бойынша өзгерісін сипаттаса, нормаль құраушысы жылдамдықтың бағыты бойынша өзгерісін көрсетеді. Үдеудің тангенциалдық және нормальдық құраушыларына байланысты қозғалысты былай классификациялауға болады: 1) - бір қалыпты түзу сызықты қозғалыс 2) - тең айнымалы түзу сызықты қозғалыс Егер бастапқы уақыт , ал ол бастапқы үдеудің тангенциал құраушысы Жылдамдықтың модулінен уақыт бойынша бірінші туындыға тең. Сөйтіп, ол жылдамдықтың модулі бойынша өзгеруін көрсетеді. Үдеудің 2-ші құраушысын табайық. В нүктесі А нүктесіне өте жақын жатыр дейік. Онда S-ті АВ хордасына ұқсас доға деп санауға болады. АОВ және ЕАД үшбұрыштарының ұқсастығынан , болғандықтан ұмтылғанда және ЕАД тең бүйірлі үшбұрыш болғандықтан, АДЕ бұрышы және аралығында түзу сызыққа айналады. жағдайда және v векторлары өзра перпендикуляр болады. Жылдамдық векторы траекторияға жанама бағытталатьындықтан оған перпендикуляр жатқан векторы қисықтықтың центіріне қарай бағытталады. Жылдамдық болса, деп белгілесек, мынаны аламыз осыдан . Осы формуланы шектерін 0 ден t -ға дейін деп алып, интегралдасақ, тең айнымалы қозғалыс кезінде нүктенің жүріп өткен жол ұзындығын табамыз: 3) - үдеуі айнымалы түзу сызықты қозғалыс 4) болғанда, жылдамдық модулі бойынша емес, бағыты бойынша өзгереді. өрнектегі r радиус тұрақты болуы керек. Яғни, шеңбер бойымен қозғалыс бір қалыпты болады. 5) - бір қалыпты қисық сызықты қозғалыс. 6) - қисық сызықты тең айнымалы қозғалыс. 7) - үдеуі айнымалы қисық сызықты қозғалыс. § 4 БҰРЫШТЫҚ ЖЫЛДАМДЫҚ ЖӘНЕ БҰРЫШТЫҚ ҮДЕУ Қозғалмайтын остен айналатын қатты денені қарастырайық. Центрі айналу осінде жататын, осы дененің әрбір нүктелері радиусы әр-түрлі шеңберді бейнелейді. Қандайда бір нүкте радиусы R шеңбер бойынша қозғалсын (6-сурет). уақытта ол бұрышқа бұрылды дейік. Осы бұрылу бұрышы вектор ретінде қарастырылады. d векторының модулі бұрылу бұрышына тең, ал оның бағыты ондық бұранда әдісіне сәйкес келеді. Айналу бағытына байланысты болатын векторлар - псевдо вектор немесе аксиалды векторлар деп аталады. Дененің бұрылу бұрышының уақыт бойынша бірінші туындысына тең векторлық шаманы - бұрыштық жылдамдық деп атайды: векторы d векторы сияқты, ондық бұранды әдісіне сәйкес айналу осі бойынша бағытталған (7-сурет). Бұрыштық жылдамдықтың өлшемі , ал оның өлшем бірлігі радиан/секунд. Нүктенің сызықтық жылдамдығы (6-сіретті қара) яғни, . Кейбір жағдайда сызқтық жылдамдық формуласын векторлық көбейтінді түрінде жазуға болады: осы векторлық көбейтінің модулі тең. Ал бағыты оң бұраңданың -дан R-ға қарай айналу кезіндегі ілгерлемелі қозғалыс бағытымен сәйкес келеді. болса, онда бір қалыпты айналуды айналу периодымен сипаттауға болады. Айналу периоды дегеніміз - нүкте бұрышқа бұрылатын, яғни толық бір айналым жасауына кететін уақыт. уақытқа сәйкес болатындықтан, , осыдан Бірлік уақыты дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы кезінде жасалатын толық айналым саны - айналу жиілігі деп аталады осыдан . Бұрыштық үдеу деп бұрыштық жылдамдықтың уақыт бойынша бірінші туындысына тең векторлық шаманы айтады: дене қозғалмайтын ось арқылы айналғанда, оның бұрыштық үдеуі айналу осі юойынша бұрыштық жылдамдық өсімшесіне қарай бағытталған. Үдемелі қозғалыс кезінде векторы векторына бағыттас (8-сурет), ал кемімелі қозғалыс кезінде оған қарама-қарсы бағытталған (9-сурет). Үдеудің тангенциал құраушысы: және . Үдеудің нормаль құраушысы: Сонымен, сызықтық (жол ұзындығы - S, сызықтық жылдамдық - , тангенциал үдеу - , нормаль үдеу , бұрылу бұрышы - ) шамаларды байланыстыратын мынадай формулалар бар: Нүктенің шеңбер бойымен бір қалыпты айнымалы қозғалыс кезінде мұндағы - бастапқы бұрыштық жылдамдық. II ТАРАУМАТЕРИАЛДЫҚ НҮКТЕ ЖӘНЕ ҚАТТЫ ДЕНЕНІҢ ІЛГЕРМЕЛІ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ ДИНАМИКАСЫ. §5 Ньютонның бірінші заңы. Масса. Күш. Динамика - механиканың негізгі бөлімі болып табылады. Оның негізін 1687 ж қаланған Ньютонның үш заңы құрайды. Ньютон заңдары механикада үлкен роль атқарады және адамзат тәжірибелерінің жалпыланған қорытындысы болып саналады. Оларды өзара байланысқан заңдар жүйесі ретінде қарастырады. Ньютонның I –ші заңы бойынша сырттан басқа денелер әсер еткенге дейін материалдық нүкте тыныштық күйін немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс күйін сақтайды. Дененің мұндай қасиетін инерттілік деп атайды. Сондықтан, Ньютонның I –ші заңы инерция заңы деп те атайды. Ньютонның I –ші заңы орындалатын санақ жүйесі – инерциалды санақ жүйесі деп аталады. Басқа инерциалды санақ жүйесіне қатысты бірқалыпты түзу сызықты қозғалысты немесе тыныштық күйін сақтайтын жүйе –инерциалды санақ жүйесі болып табылады. Тәжірибеде көрсетілгендей гелиоцентрлік (жұлдыздық) санақ жүйесі (координат басы Күн центрінде, ол осьтері белгілі бір бағытта жұлдызға қарай бағыттаған) инерциалды. Жермен байланысты санақ жүйесі инерциалды емес. Бірдей өзара әсер еткенде, олардың қозғалыс жылдамдығы әртүрлі үдеуге ие болатыны белгілі. Үдеу әсер ету шамасына ғана емес, дененің басқа да бір қасиетіне тәелді болады. Масса - дененің инерттілік және гравитациялық қасиеттерін анықтайтын физикалық шама. Бұл жерде инертті және гравитациялық массалар бір-біріне тең екендігін білген жөн (10-12 жуықтау). Масса – скаляр шама. Ньютонның I –ші заңында айтылған әсер етуді бейнелеу үшін күш ұғымы енгізіледі. Күш әсері кезінде дененің қозғалыс жылдамдығы өзгереді, үдеу пайда болады немесе дене деформацияланады. Сонымен, күш – денелердің өзара әсері кезінде үдеуге ие болуын немесе пішіні мен көлемін өзгертуін сипаттайтын векторлық шама. §6 НЬЮТОННЫҢ ІІ-ЗАҢЫ. Ньютонның II-ші заңы материалдық денеге күш әсер еткенде оның қозғалысы қалай өзгеретінің анықтайтын динамиканың негізгі заңы болып саналады. Егер денеге бірнеше күштер әсер етсе, дененің алатын үдеуі қорытқы күшке тура пропорционал болады: a~F (m=const) (6.1) Массасы әртүрлі денелерге бірдей күштер әсер етсе, онда олардың алатын үдеуі әртурлі болады, яғни a~1/m (F=const) (6.2) (6.1) мен (6.2) қолана отырып, мынаны аламыз: (6.3) Сөйтіп, Ньютонның II-ші заңы былай тұжырымдалады: дененің алған үдеуі әсер етуші күшіне тура пропорционал, дене массасына кері пропорционал және әсер етуші күштің бағыты бойынша өзгереді: (6.4) Материалдық дененің массасы классикалық механикада тұрақы шама болатындықтан, (6.4) өрнегін туынды түрде жазуға болады: (6.5) Материалдық дененің массасы мен оның жылдамдығының көбейтіндісіне тең векторлық шама – импульс деп аталады: P=mv (6.6) (6.6) –ның (6.5) –ке қойсақ, мынаны аламыз: (6.7) Бұл өрнек Ньютонның II-ші заңының жалпы түрі: материалдық нүктенің импульсының өзгеру жылдамдығы оған әсер ететін қорытқы күшке тең. Осы (6.7) өрнегі –материалдық нүкте қотеңдеуі деп аталады. Халықаралық жүйеде күш бірлігі Ньютон (Н) :
жүктеу/скачать 1,42 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|