2. бинарлық ЖӘне квадраттық формалар билинарлық формалар Анықтама
жүктеу/скачать 0,53 Mb.
|
15 апта Опер Теор
| 7.3 Квадраттық формалардың жіктелуі
Квадраттық пішінді қарастырыңыз (7.10) Анықтама 7.10. Квадраттық форма деп аталады: оң (теріс) анықталған, егер теңсіздік орындалады ( таңбаланған пішін); белгісіз, егер олар үшін теңсіздіктер орындалады ( ауыспалы формалар); жартылай анықталған, егер және ол үшін теңдік орындалады Осы жағдайлардың әрқайсысы орын алатын жағдайларды анықтаймыз. Ескерту 1. Канондық негіз екі жақты анықталған (негізгі векторларды қайта өлшеу арқылы біз әртүрлі канондық түрлерді аламыз немесе Якоби әдісін қараңыз). Ескерту 2. Егер форма канондық түрге келтірілсе, онда барлық коэффициенттер емес нөлден өзгеше болуы керек. Тек нөлдік емес қалдырыңыз айнымалыларды қайта нөмірлеу (негізгі векторлар), біз қайтадан жазамыз (7.11) Бұл жеке квадраттық форманың дәрежесі анықтама бойынша оның матрицасының еркін негіздегі дәрежесіне тең болғандықтан, онда (7.11) және шарттар квадраттық форманың дәрежесі m-ге тең (нөлдік емес канондық коэффициенттер саны): т.б. Осылайша, нөлден өзгеше канондық коэффициенттердің саны квадраттық форманың дәрежесіне тең. Осы ескертуден нөлден өзгеше канондық коэффициенттердің саны азаятын түрлендіруді таңдауға байланысты емес, оның көмегімен ол канондық түрге келтіріледі. Сонымен қатар, канондық түрге келтірудің кез - келген әдісімен оң және теріс канондық коэффициенттердің саны сақталады (квадраттық формалардың инерция заңы). Кез-келген бүлінбеген түрлендірудің көмегімен квадраттық форма (7.10) түрге келтірілсін (7.11), ал нөлден басқа коэффициенттер нөмірленеді, сондықтан бірінші олардың ішінде оң, ал қалғандары емханаларға, т. е. Тағы бір туылмаған координаталық түрлендіруді қарастырыңыз (Базис) түрі жазбаға не тең онда (бұл матрицаның детерминанты нөлден өзгеше екенін көруге болады). Осы түрлендіру нәтижесінде квадраттық форма (7.10) (!) әрі а Y, Z – вектордың координаталық бағандары бұл канонических базисах Айнымалылардан ауысу сияқты айнымалыларға бұл дегенеративті сызықтық өзгеріс болды, содан кейін көрініс табатын болады арқылы туылмаған сызықтық түрлендірудің көмегімен, яғни. det және, демек, (*) онда кері матрица элементтері Ұқсас: және det (**) онда кері матрица элементтері Сенімділік үшін болсын ( жағдай, қашан ). Теңдік жүйесін жазамыз (***) Егер осы теңдіктердің сол жақ бөліктері олардың өрнектерімен (*) және (**) ауыстырылса онда біз жүйені аламыз сызықтық біртекті теңдеулер белгісіз . Бұл жүйеде теңдеулер саны белгісіздер санынан аз (өйткені сондықтан жүйеде тривиалды емес шешім бар (жүйелерді қараңыз сызықтық теңдеулер) Енді теңдікке ауыстырыңыз (! барлық олардың өрнектері (*)және (**),содан кейін біз аламыз: немесе онда және белгісіз мәндер көрсетілген орнына (*),(**) ауыстыру кезінде алынған шешімдер Соңғы теңдік керек сол жақ бөлігі 0-ден аз немесе оған тең, ал оң бөлігі 0-ден үлкен немесе оған тең. Екінші жағынан, таңдау бойынша (см. (***)) Осылайша, жүйе сызықтық біртекті теңдеулер , белгісіз тривиалды емес шешім бар сондықтан жүйенің матрицасының детерминанты 0-ге тең (сызықтық теңдеулер жүйесін қараңыз) det бұл трансформацияның (**) туылмайтындығына қайшы келеді, яғни болуы мүмкін емес. Біз сол қарама-қайшылыққа келеміз Осыдан шығатын қортынды Теорема дәлелденді. Сандар және квадраттық форманың инерциясының оң және теріс индекстері деп аталады. Теріс Инерция индексі l-ге тең болсын, яғни. жүктеу/скачать 0,53 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|