Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Торлар әдісі.
2.Дирихле есебі үшін торлар әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Торлар әдiсi немесе ақырлы айырымдар әдiсi қазiргi кезде дербес туындылы теңдеудi шешудiң кеңiнен тараған сандық әдiстерiнiң бiрi. Бұл әдiс бойынша туынды ақырлы-айырымдық қатынаспен алмастырылады.
Оxу жазықтығында Г шекарасы бар қандай бiр G облысы берiлсiн.
1-сурет
Жазықтықта екi параллель түзулер үйiрiн тұрғызайық
Осы түзулердiң қиылысу нүктесi түйiн деп аталады. Егер екi түйiн Ох немесе Оу осiнiң бағытымен бiр-бiрiнен сәйкес немесе тор қадамына тең қашықтықта болса, онда олар көршi түйiндер деп аталады. Барлық төрт көршi түйiндер осы D облысына тиiстi болса, онда түйiндер iшкi түйiндер деп аталады.
Егер көршi төрт түйiннiң ең болмағанда бiреуi D облысына тиiстi емес болса, онда түйiндер шекаралық түйiндер
арқылы iзделiндi
функцияның тор түйiндерiндегi мәндерiн белгiлейiк.
Әрбiр iшкi түйiнде дербес туындыны айырымдық қатынаспен алмастырайық:
Шеттiк нүктелерде келесi формулаларды қолданамыз:
Осылайша, екiншi реттi дербес туындылар алмастырылады
(1)
Көрсетiлген алмастырулар тордың әрбiр түйiндерiнде дербес туындылы теңдеулердi шешу – айырымдық теңдеулер жүйесiн шешуге келiп тiреледi.
Дирихле есебі үшін торлар әдісі.
Бiрiншi шектiк есеп немесе Пуассон теңдеуi үшiн
(2)
Дирихле есебi: Қандай да бiр G облысының iшiнде (2) теңдеудi қанағаттандыратын, ал Г шекарасында
(3)
шартын қанағаттандыратын формуласын табу керек, мұндағы – берiлген үзiлiссiз функция.
және қадамдарын сәйкес х және у деп таңдап, тор тұрғызамыз және әрбiр iшкi түйiнiнде туындыларын (1) ақырлы айырымдар қатынасымен алмастырып (2) теңдеудi мына түрде жазамыз:
(4)
мұндағы
функциясының мәндерiне қатысты сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн бередi.
Дербес жағдай. Егер G облысы тiк төртбұрыш және болса, онда (4) теңдеулер былайша жазылады:
Егер болғанда (2) Лаплас теңдеуі деп аталады.
және сәйкес ақырлы-айырымдық теңдеулер келесi түрде жазылады:
және теңдеулердi жазған кезде келесi түйiндер сұлбасы қолданылды:
2-сурет
Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен алмастыру қателiгi, яғни Лаплас теңдеуi үшiн қалдық мүше келесi теңсiздiкпен бағаланады:
мұндағы
Айырымдық әдiспен алынған жуықтаң шешiмнiң қателiгi келесi үш қателiктерден құралады:
Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен ауыстырғандағы қателiктен;
Шеттiк шарттарды жуықтау қателiгiнен;
3. Айырымдық теңдеулер жүйесiн жуықтап шешу нәтижесiнде пайда болатын қателiктерден.
| 
