2015 ж., желтоқсан №4 №4, декабрь 2015 г

ТЕХНИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯЛАР  
 
 
178 
In this  paper,  we  study  the  spread of  moisture  in  the  system  of "air  -  unsaturated  soil  -  groundwater 
under the assumption that soil moisture is moving under the influence of bulk, surface and boundary effects 
play no role here. 
A  method  by  which  the  soil  is  determined  by  the  diffusion  coefficient  when  the  set  humidity  and 
temperature  of the  ground  on  the  ground  surface  (for  a  certain  time).  Initially  built  right  and  the  associated 
problem,  then  use  a  priori  estimates  proved  the  limitations  of  the  unknown  quantity.  It  is  proposed  to 
minimizing the functional and the calculated  gradient  of this functional. On the basis of these assertions as 
lemmas output minimizes the functional monotony. 
Keywords:  coefficient  problem,  a  priori  estimates  of  minimizing  the  functional,  the  monotony,  the 
method, the limitations of solutions.  
 
1 Постановка задачи
 
Движение  воды  в  капиллярно
-
пористых 
средах,  к  каковым  относятся  почвы,  может 
происходить  под  воздействием  самых  разнооб
-
разных  движущих  сил,  представляющих  гра
-
диент  давления,  потенциала  гравитационного 
поля, потенциала электрического поля, темпера
-
туры, концентрации растворенных веществ [1
-4]. 
Нерпин  С.В. 
[5]
,  исследуя  механизмы  движения 
воды  в  дисперсных
 
средах,  предполагает,  что 
почвенная  влага  движется  под  действием 
объемных  сил,  поверхностные  и  граничные  эф
-
фекты здесь не играют роли. Поэтому, принимая 
это  обстоятельство  во  внимание  и  решая 
относительно простую задачу, предполагающую: 
 
1) 
отсутствие электрического поля;
 
2) 
постоянство  концентрации  рассмотрен
-
ных веществ.
 
Движение  влаги  и  температуры  в
 
области 
)
,
0
(
)
,
0
(
T
H
Q


 
можно описать уравнением [6]:
 
 
       













z
z
t
c




0
 , 
            (1) 
 


0
)
(







H
z
b
H
z
t
T
z




, 
                
1
0
T
z



,  
)
(
0
0
z
t




 ,                    (2) 
 
где 
)
(
0
H
D
n





. 
  

















z
D
z
W
D
z
K
z
t
W


)
(
 ,             (3) 
 
,
)
(t
A
H
z



 
,
)
(
,
0
0
0
0
z
W
W
t
z





    (4) 
 
здесь 
.
)
(
)
(
)
(
)
,
(
z
z
D
z
W
z
D
z
K
t
z










  
 
Используя  изменение  температуры  грунта 
и  влаги  на  поверхности  земли 
)
(
,
)
(
t
W
t
T
g
g
, 
требуется  определить  коэффициент  диффузии 
).
(z
D
 
Методы решения обратных задач изучены 
в  работах
  [6-9]
,  а  в  работах 
[10-14] 
изучены 
различные  обратные  задачи  переноса  тепла  и 
влаги.
 
Задается  начальное  значение  коэффици
-
ента  диффузии 
)
(z
D
n
,  соответствующее  реше
-
ние системы
 (1)-(4) 
обозначим
 
через
 
.
)
,
(
),
,
(






t
z
W
t
z
n
n

 
Следующее  приближение 
коэффициента  диффузии  обозначим  через 
),
(
1
z
D
n

 
а  соответствующее  решение  системы 
(1)-
(4) будет 
.
)
,
(
),
,
(
1
1








t
z
W
t
z
n
n

 
Тогда для разности 
 
)
(
)
(
,
),
,
(
)
,
(
)
,
(
1
1
1
z
D
z
D
D
W
W
W
t
z
t
z
t
z
n
n
n
n
n














 
получается задача:
 
 
  













z
z
t
C




0
,      
   
  (5) 
 
 
,
,
0
,
0
0
0
1
0












 




t
z
в
n
H
z
H
z
T
z









(6) 
 
,
1
1


























z
D
z
W
D
z
D
z
W
D
z
z
W
n
n
n
n







    (7) 
 
,
,
0
,
0
0
0





t
z
H
z
W



                    (8) 
 
где 
.
1
1
z
D
z
W
D
z
W
D
z
W
D
n
n
n
n





















 
 
Из  системы  (5)
-
(8)  выводится  система 
сопряженных задач 
 [15]:  
 
  
,
0
)
(














z
u
z
D
z
t
u
n
       
              (9) 
 


,
)
(
)
,
(
2
)
(
0
t
W
t
H
W
A
z
u
z
D
g
H
z
n





 
        
,
0
)
,
(
,
0
0





T
z
u
z
u
z
       
             (10) 
 
    
0
)
(
0

























z
u
z
D
z
z
z
t
C
n





,          (11) 

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИИ
 
 
179 
        
    


,
)
(
)
,
(
2
)
(
t
T
t
H
z
u
z
D
z
g
H
z
n




















                          
         
.
0
)
,
(
,
0
)
,
0
(


T
z
t


                             (12) 
 
Следующее значение коэффициента 
влагопроводности определяется по формуле
 
 





















T
H
z
в
n
T
n
d
T
z
dt
z
z
W
z
u
z
D
0
0
0
,
)
(
)
(









 (13) 
 
А также, имеет место равенство
 
 
























dz
dt
z
z
W
z
u
z
D
J
D
J
H
T
n
n
n
2
0
0
1
)
(
)
(
)
(



















 
dzdt
z
z
W
z
u
D
T H




0 0
 
 
 
.
0
0
2
0
0
2
0









T
H
z
H
z
T
H
z
T
dt
D
dt
W
A
dt





    
(14) 
 
где 
 
 










T
T
g
g
dt
t
W
t
H
W
A
dt
t
T
t
H
D
J
0
0
2
0
2
.
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(

 
 
2. Минимизация функционала
 
В  работе  [15
] 
доказаны  следующее  ут
-
верждения:
 
Лемма 1
. 
Если
 
 
H
W
z
,
0
2
2
0


,   
 
 
T
W
t
T
b
,
0
1
2

,  то  для  решения  задачи  (1)
-(2) 
имеет место оценка:
 
 


k
D
C
d
z
dz
t
z
t
d
dz
c
n
H
z
t
H
t
H
t
































1
2
max
1
2
0
0
2
2
0
2
0
0









. 
Лемма 2. Если  
),
(
0
z
W
  
),
,
0
(
)
(
2
2
0
H
W
z


  
),
,
0
(
)
(
1
2
T
W
t
T
t

 
то  для  решения  задачи  (3)
-(4) 
имеют место оценки:
 





























H
t H
n
t
D
D
C
dzdt
t
z
W
z
D
dz
t
W
0
0
min
max
2
2
0
2
2
1
1
)
(
max
, 
min
min
max
3
0
1
1
1
)
,
(
D
D
D
C
d
t
H
W
t






















. 
Лемма  3.  Если   
)
(
0
z
W
,   
)
,
0
(
)
(
2
2
0
H
W
z


,  
)
(t
T
b
,   
)
,
0
(
)
(
1
2
T
W
t
W
g

,  то для решения задачи 
(9)-
(10) имеет место оценка:
 






























T H
n
H
H
t
dzd
z
u
z
D
dz
u
dz
t
u
0
2
0
0
0
2
2
)
(
max

 
min
min
max
0
4
2
2
1
1
1
)
(
D
D
D
C
dzd
t
z
u
z
D
T
t
H
n
 
















. 
Лемма  4.  Если 
)
(
0
z
W
,   
)
,
0
(
)
(
2
0
H
L
z


,  
),
(t
T
b
   
)
(t
W
g
,   
),
,
0
(
)
(
2
T
L
t
T
g

   
то  для  решения 
задачи (11)
-
(12) имеет место оценка:
 


)
(
)
,
(
max
5
0
2
2
0
2
z
D
f
C
d
H
dz
z
dz
n
H
H
t
T
t
H
t





















. 
Теорема 
1. 
Если
)
(
0
z

, 
)
,
0
(
)
(
2
2
0
H
W
z
W

z
,  
)
,
0
(
)
(
1
2
T
W
t
W
g

,   
)
,
0
(
)
(
2
T
L
t
T
g

,    то  подбирая 
достаточно малую функцию 
)
(z
n

  
из равенства 
(9)  всегда  можно  получить  ограниченность 
коэффициента влагопроводности, т.е.
 






7
1
6
)
(
0
C
z
D
C
n
,  
...
,
2
,
1

n
 

жүктеу/скачать 6,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: