Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

13 
дифференциала (введен Лейбницем, от лат. differentia), а также обозначения, очень облегчившие вы-
числения; они развили аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов и приме-
нили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики. Недостаток ло-
гической скорости был восполнен только в XIX веке. 
Как видно из исторической справки, в основу дифференциального исчисления были положены 
две задачи, каждая из которых находит свое применение в решении задач медицинского содержания, 
например,  первая  задача — при  характеристике  графика  какой-либо  математической  модели;  вто-
рая — в медико-биологических процессах, где используется понятие скорости (скорость растворения 
лекарственных веществ, скорость реакции организма на лекарственные препараты, скорость размно-
жения бактерий и т.д.). 
 
4.1. Понятие производной функции  
− задачи, приводящие к понятию производной; 
− понятие производной; 
− геометрический и физический смыслы производной; 
− правила дифференцирования; 
− производные основных элементарных функций; 
− производная сложной функции. 
 
Задачи, приводящие к понятию производной 
Скорость. Чтобы определить скорость поезда, отмечаем, на каком километре пути он находился 
в момент t = t
1
, а затем в момент t = t
2
. 
Пусть это будут расстояния: s = s
1
; s = s
2
. Приращение пути Δs = s
2
 – s
1
, а приращение времени 
Δt = t
2
 – t
1
. 
Частное 
s
t
Δ
Δ
 дает среднюю скорость поезда за промежуток времени (t
1
, t
2
). При неравномерном 
движении средняя скорость недостаточно характеризует быстроту движения в момент t = t
1
. Но чем 
меньше  Δt,  тем  точнее  характеризуется  эта  быстрота.  Поэтому  скоростью  в  момент  t = t
1
  называют 
предел, к которому стремится отношение 
s
t
Δ
Δ
 при Δt → 0: V = 
0
lim
x
s
t
Δ →
Δ
Δ
. 
Касательная.  Касательной  к  линии  L  в  точке  М  (рис. 1) 
называется  прямая  Т′МТ,  с  которой  стремится  совпасть  секу-
щая  ММ′,  когда  точка  М′,  оставаясь  на  L,  стремиться  к  М — 
будь то справа или слева. Из рисунка 1 видно, что касательная 
может, кроме точки касания, иметь с кривой другие общие точ-
ки. 
Если линия L есть график функции y = f(x), то угловой ко-
эффициент касательной равен значению производной функции 
в соответствующей точке. 
 
Понятие производной 
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента х, определенная в промежутке (a, b), и пусть 
х — какая-либо точка этого промежутка. Дадим аргументу х приращение Δх (положительное или от-
рицательное). Функция y = f(x) получит приращение Δу, равное 
 
Δу = f(x + Δx) – f(x). 
При бесконечно малом Δх приращение Δу тоже бесконечно мало. 
Предел, к которому стремится отношение Δу/Δx при Δx→0, т.е. 
 
0
(
)
( )
lim
x
f x
x
f x
x
Δ →
+ Δ −
Δ
, 
сам является функцией от аргумента х. Эта функция называется ПРОИЗВОДНОЙ от функции f(x) и 
обозначается f′(x) или y′. 
ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ f в точке x называется число, к которому стремится разностное от-
ношение 
Рис. 1. 

14 
 
(
)
( )
f
f x
x
f x
x
x
Δ
+ Δ −
=
Δ
Δ
 при Δx→0. 
Процесс нахождения производной называется ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ. 
Геометрический и физический смыслы производной 
Физический  (механический)  смысл:  Функция  s = f(t)  есть  уравнение  прямолинейного  движения 
точки, а производная s′ представляет собой скорость точки в данный момент времени t. 
Геометрический  смысл:  Для  функции  y = f(x)  ее  производная  y′ = f′(x)  для  каждого  значения  х 
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке. 
Правила дифференцирования 
– производная от алгебраической суммы нескольких функций (взятых в неизменном числе) рав-
на алгебраической сумме их производных: 
 
(u + v – w)′ = u′ + v′ – w′; 
– производная произведения двух функций определяется формулой: 
 
(u·v)′ = u′·v + u·v′; 
– постоянный множитель можно выносить за знак производной: 
 
(Сu)′ = C·u′; 
– производная частного двух функций определяется формулой 
 
2
u
u v uv
v
v
′
′
′
−
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
Производные основных элементарных функций 
1. 
С′ = 0, где С = const 
6. 
(a
x
)′ = a
x
·ln a 11. 
(ctg x)′ = 
2
1
sin x
−
 
2. (x)′ = 1 
7. 
(e
x
)′ = e
x
 12. 
(arccos x)′ = 
2
1
1 x
−
−
 
3. (x
n
)′ = n·x 
n–1
  
8. 
(cos x)′ = –sin x 13. 
(arcsin x)′ = 
2
1
1 x
−
 
4. 
(ln x)′ = 
1
x
 
9. (sin 
x)′ = cos x 14. 
(arctg x)′ = 
2
1
1 x
+
 
5. 
(log
a 
x)′ = 
1
ln
x a
 
10.  (tg x)′ = 
2
1
cos x
 
15.  (arcctg x)′ = 
2
1
1 x
−
+
 
 
Производная сложной функции 
Функция y = f(z), которая числу z ставит в соответствие число φ(x), называется ФУНКЦИЕЙ ОТ 
ФУНКЦИИ, или СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЕЙ. 
Теорема. Если y = f(z) и z = φ(x) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производ-
ная сложной функции y = f[φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции у 
по промежуточному аргументу z на производную промежуточного аргумента z по независимой пере-
менной х, т.е. 
 
y′
x
 = y′
z
 
⋅ z′
x
 или (f[φ(x)])′ = f′[φ(x)] 
⋅ φ′(x). 
Пример.  При  дискретном  внутривенном  введении  препарата  зависимость  концентрации  препа-
рата  от  времени  описывается:  c(t) = c
0
e
–kt
,  где  с — количество  лекарственного  вещества  в  таблетке, 
оставшееся  ко  времени  растворения  t;  с
0
 — начальная  концентрация  препарата;  k — коэффициент 
выведения препарата. Определить скорость растворения лекарственного вещества из таблетки. 
Решение. Так как c
0
, k — постоянные, тогда 
 
c′(t) = c
0
·(e
–kt
)′, 
т.е. функция с(t) есть сложная функция от t, так как она состоит из элементарных функций z = –kt; 
y = e
–kt
 
 
c′(t) = –c
0
k e
–kt
. 
Пример. Найти скорость основного обмена у мужчины относительно массы тела, если математи-
ческая модель основного обмена у мужчин есть функция Q = 71·P
0,75
⋅(0,68 + 0,01H⋅P
–1/3 
– 0,004A), где 
Q — основной обмен (ккал/сутки); P — масса тела (кг); A — возраст (лет); H — рост (см). Возраст 
(А) — 58 лет, рост (H) — 182 см, масса тела (Р) = 96 кг. 

15 
Решение. Найдем скорость основного обмена у мужчин в  зависимости от  массы тела. В функ-
цию, описывающую моделируемый процесс, вставляем входные данные А = 58, H = 182 см. 
 
Q = 71
⋅P
0,75
(0,68 + 0,01·182
⋅P
–1/3
 – 0,004
⋅58). 
Для нахождения скорости необходимо найти производную данной функции 
 
Q′ = 36,21
⋅Р
–0,25
 + 53,842
⋅Р
–7/12
 – 12,354
⋅Р
–0,25
. 
Поэтому скорость основного обмена у мужчины при массе тела Р = 96 равна 
Q′(96) = 20,983. 
 
4.2. Производные высших порядков  
− производные второго и высших порядков; 
− физический смысл второй производной. 
 
Производные второго и высших порядков 
Производную  f′(x)  в  дальнейшем  будем  называть  ПРОИЗВОДНОЙ  ПЕРВОГО  ПОРЯДКА,  или 
просто ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. 
Пусть  f′(x)  есть  производная  от  функции  f(x),  тогда  производная  от  функции  f′(x)  называется 
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ от функции f(x) и обозначается f′′(x). 
Производная  от  производной  первого  порядка  называется  ПРОИЗВОДНОЙ  ВТОРОГО 
ПОРЯДКА, или ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ. 
Производная  второй  производной  называется  ПРОИЗВОДНОЙ  ТРЕТЬЕГО  ПОРЯДКА  и  обо-
значается f′′′(x). 
Таким же образом определяются производные четвертого порядка f
IV
(x) и т.д. Производная n-го 
порядка обозначается f
(n)
(x). Если функция обозначается одной буквой, например y, то её производ-
ные обозначаются: y′, y′′, y′′′, y
IV
, y
V
, …, y
(n)
. 
Пример. Найти производную четвертого порядка от функции f(x) = x
3
. 
Решение. f′(x) = 3x
2
; f′′(x) = (3x
2
)′ = 6x; f′′′(x) = (6x)′ = 6, f
IV
 = 0. 
 
Физический смысл второй производной 
Пусть s = s (t) — функция прямолинейного движения материальной точки. Мгновенная скорость 
v этого движения есть производная пути s по времени t: v = s′(t). 
Среднее ускорение переменного движения равно отношению приращения скорости Δv к прира-
щению времени Δt: a
ср
 = 
v
t
Δ
Δ
. Мгновенное ускорение a
мгн 
в момент времени t равно пределу a
ср
 при 
Δt → 0, т.е. a
мгн
 = 
.
0
0
lim
lim
ср
t
t
v
a
t
Δ →
Δ →
Δ
=
Δ
 = v′. 
Так как v = s′, то a
мгн
 = (s′)′ = s″. 
Вторая  производная  от  пути  s  по  времени  t  равна  мгновенному  ускорению  переменного 
движения. В этом и состоит ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ. 
 
4.3. Дифференциал функции  
− понятие дифференциала функции. Связь дифференциала функции с производной; 
− физический и геометрический смыслы дифференциала функции; 
− дифференциалы высших порядков. 
 
Понятие дифференциала функции. Связь дифференциала функции с производной 
ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ функции y = f(x) называется произведение ее производной на прираще-
ние независимой переменной 
 
dy = f′(x)·Δx. 
В  частности,  f(x) = x,  получаем  dx = 1
⋅Δx,  dx = Δx,  т.е.  дифференциал  независимой  переменной 
равен приращению этой переменной. 
Тогда определение дифференциала функции можно записать в виде: 
 
dy = f′(x)
⋅dx => f′(x) = 
dy
dx
. 
Пример: Найти дифференциал второго порядка d
2
y для функции y = sin x. 
 
dy = cos x dx; d
2
y = – sin x dx
2
. 

16 
Теорема 1. Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную. 
Теорема 2. Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал. 
 
Физический и геометрический смыслы дифференциала функции 
Физический смысл. Пусть s = f(t) — расстояние прямолинейно движущейся точки от начального 
положения (t — время пребывания в пути). Приращение Δs — это путь, пройденный точкой за про-
межуток времени Δt, а дифференциал ds = f′(x)
⋅∆t — это путь, который точка прошла бы за то же вре-
мя ∆t, если бы она сохранила скорость f′(t), достигнутую к моменту t. При достаточно малом ∆t вооб-
ражаемый путь ds очень мало отличается от истинного ∆s. Если скорость в момент t не равна нулю, 
то ds дает приближенную величину малого смещения точки. 
Геометрический смысл. Рассмотрим функцию y = f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем 
на кривой y = f(x) произвольную точку М(х, у). Проведем касательную к кривой в этой точке и обо-
значим угол между касательной и Ох через α. Дадим независимой переменной приращение Δх, тогда 
функция получит приращение Δу = QM
1
.  
Значению  х + Δх,  у + Δу  на  кривой 
y = f(x) 
будет 
соответствовать 
точка 
М
1
(х + Δх, у + Δу). 
Рассмотрим треугольник MQN: 
QN = MQ
⋅tg α, 
так  как tg α = f(x) (геометрической  смысл 
производной) 
MQ = Δx => QN = f′(x)
⋅Δx. 
По 
определению 
дифференциала 
f′(x)
⋅Δx = dy. Таким образом QN = dy. Из ри-
сунка 2 следует, что NM
1
 = Δу – dy. Отноше-
ние 
1
0
M N
NQ
→ ,  при  Δх→0.  Итак,  дифферен-
циал  функции  графически  изображается 
приращением ординаты касательной. 
 
Дифференциалы высших порядков 
ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ II ПОРЯДКА  (вторым  дифференциалом)  функции  f(x)  называется  диф-
ференциал от дифференциала I порядка: 
 
d
2
f(x) = d[df(x)]. 
Аналогично определяется дифференциал III, IV, V... порядков. 
Теорема. Дифференциал II порядка от данной функции равен произведению производной II по-
рядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной: 
 
d
2
f(x) = f″(x) dx
2
, где dx
2
 = (dx)
2
. 
Пример: Для сложной функции y = (1 + x
2
)
3
 найти дифференциал III-го порядка d
3
y. 
 
dy = 3
⋅2x⋅(1 + x
2
)
2
⋅dx; 
 
dy = (6x + 12x
3 
+ 6x
5
)dx; 
 
d
2
y = (6 + 36x
2
 + 30x
4
)dx
2
. 
 
4.4. Приложения производной функции  
− исследование функции с помощью производных; 
− правило Лопиталя. 
 
Исследование функции с помощью производных 
Достаточный признак возрастания функции. Если f′(x) > 0 в каждой точке интервала, то функ-
ция f возрастает на данном интервале. 
Достаточный признак убывания функции. Если f′(x) < 0 в каждой точке интервала, то функция f 
убывает на данном интервале. 
Схема исследования функции на возрастание, убывание функции. 
1. Найти область определения функции f(x). 
2. Найти производную функции f′(x). 
 
Рис. 2. 

17 
3. Решить неравенство f′(x) > 0 методом интервалов, в случае определения промежутка возраста-
ния функции. 
Для определения промежутка убывания функции решить неравенство f′(x) < 0. 
Замечание. Для решения неравенств f′(x) < 0 и f′(x) > 0 удобно пользоваться обобщением метода 
интервалов точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения 
функции f на промежутки, в каждом из которых f′ сохраняет постоянный знак. Знак можно опреде-
лить, вычислив значение f′(x) в какой-нибудь точке промежутка. 
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не 
существует, называют КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ этой функции. 
Необходимое условие экстремума. Если точка х
0
 является точкой экстремума функции f и в этой 
точке существует производная f′, то она равна нулю: f(х
0
) = 0. 
Признак  максимума  функции.  Если  функция  f  непрерывна  в  точке  х
0
,  а  f′(x) > 0  на  интервале 
(а; х
0
) и f′(x) < 0 на интервале (х
0
; b), то точка х
0
 является ТОЧКОЙ МАКСИМУМА функции. 
Признак  максимума  функции.  Если  функция  f  непрерывна  в  точке  х
0
,  а  f′(x) < 0  на  интервале 
(а; х
0
) и f′(x) > 0 на интервале (х
0
; b), то точка х
0
 является ТОЧКОЙ МИНИМУМА функции. 
При решении удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке х
0
 
производная меняет знак с плюса на минус, то х
0
 есть точка максимума; если в точке х
0
 производная 
меняет знак с минуса на плюс, то х
0
 есть точка минимума. 
Схема полного исследования функции. 
1. Найти область определения функции. 
2. Определить четность функции. 
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 
4. Найти промежутки знакопостоянства. 
5. Определить промежутки возрастания и убывания функции. 
6. Найти точки экстремума. 
7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика. 
8. Найти точки перегиба графика. 
9. Построение графика функции на основании предыдущих пунктов. 
Правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения 
( )
( )
f x
x
ϕ
 двух функций, бесконечно ма-
лых при х → а (или при х → ∞), можно рассматривать отношение их производных 
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
, если про-
изводные f и φ существуют, т.е.: 
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
a
x
a
f x
f x
x
x
→
→
′
=
′
ϕ
ϕ
. 
Применение  правила  Лопиталя  бывает  полезно комбинировать  с  преобразованиями,  облегчаю-
щими разыскание предела. 
Правило Лопиталя имеет силу также и для отношения 
( )
( )
f x
x
ϕ
 двух функций, бесконечно больших 
при х → а (или при х → ∞). 
Правило Лопиталя приносит пользу лишь тогда, когда выражение 
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
 удается преобразовать 
к более удобному виду легче, чем выражение 
( )
( )
f x
x
ϕ
. 
 
Тесты для самопроверки 
1. Какие из приведенных терминов относятся к дифференциальному исчислению? 
a) производная функции; d) 
ускорение; 
b) дифференциал функции;  
e) интеграл. 
c) скорость;  
 
 

18 
2. С какой целью в медицине применяются элементы дифференциального исчисления? 
a) для  определения  скорости  изменения  во 
многих медико-биологических процессах;
b) при работе с медицинской аппаратурой; 
d) основные  понятия  дифференциального 
исчисления  необходимы  для  изучения 
раздела «Линейная алгебра»; 
c) понятие  производной  и  дифференциала 
необходимо будущему врачу;  
e) элементы дифференциального исчисления 
используются в курсе анатомии человека.
3. Среди приведенных утверждений укажите те, которые являются верными: 
d) если точка х
0
является точкой экстремума 
функции f и в этой точке существует про-
изводная f′, то она не равна нулю.
 
a) если в точке х
0
 производная меняет знак с 
плюса  на  минус,  то  х
0
  есть  точка  макси-
мума; 
b) если в точке х
0
 производная меняет знак с 
минуса  на  плюс,  то  х
0
  есть  точка  мини-
мума; 
c) если функция имеет дифференциал, то эта 
функция не имеет производную;
  
e) дифференциал II порядка  от  данной 
функции равен сумме производной II по-
рядка  этой  функции  и  квадрата  диффе-
ренциала независимой переменной. 
4. При применении правила Лопиталя для разыскания предела отношения 
( )
( )
f x
x
ϕ
 двух функций можно 
рассматривать отношение их производных 
( )
( )
f x
x
′
′
ϕ
, если  
a) производные функций f и φ существуют; 
b) выполняется условие f = 0 и φ ≠ 0;  
c) выполняется условие f = φ = 0; 
d) выполняется условие f ≠ 0 и φ=0; 
e) производные функций f и φ равны нулю. 
5. В чем заключается физический смысл первой производной?  
a)  функция  s = f(t)  есть  уравнение  прямоли-
нейного движения точки, то производная 
s′  представляет  собой  скорость  точки  в 
данный момент времени; 
d) производная от пути s по времени t равна 
мгновенному  ускорению  переменного 
движения.  В  этом  и  состоит  физический 
смысл второй производной; 
b) для  функции  y = f(x)  ее  производная  для 
каждого  значения  х  равна  угловому  ко-
эффициенту  касательной  к  графику 
функции в соответствующей точке;  
e) если скорость в момент времени t не равна 
нулю, то производная дает приближенную 
величину малого смещения точки. 
c) физический  смысл  производной  функции 
графически  изображается  приращением 
ординаты касательной; 
 
6. Найти точки экстремума для изображенного графика функции: 
a) max = (7; 7), (3; 0); 
min = (3,5; 0,5); 
b) max = (7; 7); 
min = (3,5; 0,5); 
c) max = (3; 0); 
min = (3,5; 0,5); 
d) max = (7; 7), (3; 0); 
min — нет; 
 
e) точек экстремума нет. 
7. Определить производную функции f(x) = e
3sin x
: 
a) e
3sin x
;  
d) 3sin x e
3sin x
; 
b) –3cos x e
3sin x
;  
e) e
3cos x
. 
c) 3cos x e
3sin x
;  
 
8. В данное утверждение вставить вместо многоточия знак, чтобы получилось верное определение. 
a) если f′(x) … 0 в каждой точке интервала, то 
функция f возрастает на данном интервале; 
d) для  определения  промежутка  возрастания 
функции решить неравенство f′(x) … 0; 
b) если f′(x) … 0 в каждой точке интервала, то 
функция f возрастает на данном интервале; 
e) правило Лопиталя: 
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
a
x a
f x
f x
x
x
→
→
′
′
ϕ
ϕ
…
. 
c) для  определения  промежутка  убывания 
функции решить неравенство f′(x) … 0;  
 

19 
9. Укажите формулу для вычисления производной сложной функции: 
a) (f [φ(x)])′ = f′[φ(x)]
⋅φ′(x);  
d) (f [φ(x)])′ = f′[φ(x)]: φ′(x); 
b) (f [φ(x)])′ = f′[φ(x)] + φ′(x);  
e) (f [φ(x)])′ = f′[φ(x)] – φ′(x). 
c) (f [φ(x)])′ = f′[φ(x)];  
 
10. Смещение в ответ на одиночное мышечное сокращение (единичный импульс) описывается мате-
матической моделью: y = t
2
2
t
e
−
, где время t > 0. Определите скорость и ускорение в зависимости от 
времени: 
a) v = 
2
2
t
e
−
(1 – t
2
), a = –
2
2
t
e
−
(t
3
 – 3t); 
d) v = 
2
2
t
e
−
 (1 – t
2
), a = 
2
2
t
e
−
 (t
3
 –3t); 
b) v = 
2
2
t
e
−
(t
2
 –1), a = –
2
2
t
e
−
(t
3
 + 3t); 
e) v = 
2
2
t
e
−
 (1 + t), a = –
2
2
t
e
−
 (2 + t); 
c) v = 
2
2
t
e
−
, a = –
2
2
1
2
t
e
−
; 
 
 
Список рекомендуемой литературы по разделу 
1.  Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Наука, 2001. 
2.  Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. — М.: Просвещение, 1990. 
3.  Козин  Я.Б.  Сборник  задач  и  упражнений  по  медицинской  кибернетике. — Свердловск: 
Полиграфист, 1978. 
4.  Кудрявцев В.Я., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1975. 
5.  Лобоцкая  Н.Л,  Морозов  Ю.В.,  Дунаев  А.А.  Высшая  математика. — Минск:  Выш.  шк., 
1987. 
6.  Типовая учебная программа по математике. — Астана: МЗ РК, 2003. 
 
 
Список литературы 
1.  Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М.: Педагогика, 1975. — 214 с. 
2.  Выготский Л.С. Педагогическая психология. — М.: Просвещение, 1996. — 278 с. 
3.  Щукина Г.И. Проблема познавательного в педагогике. — М.: Педагогика, 1971. — 351 с. 
4.  Вергасов М.В. Активизация мыслительной деятельности студентов в высшей школе. — Киев: Вища шк., 1979. — 174 с. 
5.  Типовая учебная программа по математике. — Астана: МЗ РК, 2003. — 16 с. 
 
 
 
 
 
С.Т.Каргин, У.И.Копжасарова  
Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова 

жүктеу/скачать 3,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: