Абай атындағы

 
 
179
 
 
 
 
Параметры  регуляризации  δ  и  τ  были  приняты  равными 0,001м  и 0,1с 
соответственно. Согласно полученному неравенству (21) параметр регуляризации τ  
должен  быть  меньше 0, 24с.  Неравенство (21) выполнено.  Из  графиков  рисунка 4 
следует,  что  уменьшая  размеры  расчетной  области  τ , можно  добиться  сколь  угодно 
высокой точности ΔT приближения решения граничной ОЗТ к модельной измеренной 
температуре поверхности контакта электрод- деталь.. 
 
 
1.  Чижов  В.Н.,  Болтенков  А.А.,Телгожаева  Ф.С.,  Селиверстов  М.В.  Математическое 
моделирование  тепловых  процессов  в  системе  «Электрод-деталь-теплоотводящая 
масса»  при  ремонте  деталей. // Вестник  Алтайского  Государственного  Университета 
№12.- Барнаул, 2009.-С.80-84.  
2.  Султангазин У.М., Мацевитый Ю.М., Шерышев В.П. Об одной псевдообратной задаче 
теплопроводности // Тр. 2-ой  Международной  конф. «Идентификация  динамических 
систем и обратные задачи». - Т. 2. - Санкт-Петербург, 1994.-С. В-15-1 – В-15-5. 
3.  Бажанов А.А., Чижов В.Н., Шерышев В.П. Метод термически тонкого слоя в задачах 
моделирования и идентификации тепловых процессов.- Алматы: Эверо, 2005.- 186с. 
4.  Теплофизические  свойства  веществ. - Справочник.  Под  ред.  Н.Б.Варгафтика. - 
Ленинград: Государственное энергетическое издательство. 1956. - 367 с. 
 
 
 
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
5,00E-02
0,1
0,15
Время,с
Т
ем
п
ер
ат
ура
,С
τ
ΔT 
1
2 
Рисунок  4
    Результат  восстановления  искомой  температуры  поверхности  электрод - 
деталь: 1– результат имитационного моделирования; 2 – восстановленная температура 

 
 
180
УДК 539.21; 539.12.04 
Б.А. Тронин, К.С. Шадинова, Ж.А. Кутелова, А. Кулпаш   
 
О ПРИМЕНЕНИИ ЯВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННОЙ 
АННИГИЛЯЦИИ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ДЕФЕКТНОЙ СТРУКТУРЫ 
МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ (обзор) 
 
(
г. Алматы, КазНПУ имени Абая) 
 
Позитрондардың  қатты  дене  құрылымдық  ақауларымен  əсерлесуі  жан-жақты 
талданады.  Аннигиляция  құбылысының  негізгі  көрсеткіштеріне  əсер  етуші 
факторлар  нақты  мысалдармен  дəлелденеді.  Сондай  факторларға  ақаулардың 
төңірегіндегі электрондардың тығыздығының өзгерісі, позитрондар мен электронның 
толқындық  функцияларының  байланысу  дəрежесінің  өзгерісі  жəне  еркін 
электрондарға  тəн  Ферми-деңгейінің  жадағайлануы  сияқты  құбылыстардың 
жатқызылу себебі ашылып көрсетілді. 
Discussed are not sufficiently well-known problems of interaction of positrons with 
defects in the structure of solids. A concrete example of the typical factors that have a 
major impact on changing the parameters of annihilation. These factors include changes in 
the electron density in the vicinity of defects, change the degree of overlap of the wave 
functions of the positron and the electron Fermi level of free electrons. 
 
До  середины 60-х  годов  прошлого  века  о  возможности  изучения  структурных 
нарушений  кристаллов  методами  электронно-позитронной  аннигиляции  ЭПА  и  не 
предполагали, допуская, что параметры аннигиляции практически не чувствительны к 
этим  изменениям.  Первые  эксперименты,  посвященные  изучению  дефектной 
структуры  в Ni и  его  сплавах  с Fe, созданной  пластической  деформацией,  показали 
перспективность  использования  явления  аннигиляции  для  этой  цели [1, 2]. При  этом 
предполагалось,  что  вакансионные  и  дислокационные  дефекты,  возникающие  в 
металлах,  обладают  избыточным  отрицательным  зарядом,  которые,  благодаря 
обеднению  ионами  представляют  для  позитронов  глубокие  потенциальные  ямы. 
Впервые идея локализации позитрона в такого рода дефектах была высказана авторами 
работ [3, 4] и  в  последующем  она  нашла  свое  теоретическое  и  экспериментальное 
подтверждение. Безусловно, приоритет решения этой проблемы при этом принадлежит 
Дехтяру  И.Я.  и  его  сотрудникам [1, 2]. В  качестве  принципиальных  факторов, 
приводящих  к  изменению  формы  углового  распределения  аннигляционных  фотонов 
УРАФ  и  спектра  времени  жизни  позитрона,  можно  отметить  следующие:  изменение 
плотности электронов в дефектах; изменение перекрытия волновых функций электрона 
и позитрона; размытие Ферми-уровня электронов. 
Открытие  явления  локализации  позитрона  в  области  структурных  нарушений 
вызвало резкое повышение интереса исследователей к этому методу. Спустя некоторое 
время после первых опытов с деформацией, Маккензи с сотрудниками, изучая влияние 
нагрева металлических материалов на характеристики УРАФ, обнаружил аналогичные 
их  изменения.  Расчеты  показали, что  изменение  формы  кривой  при  этом  значительно 
превосходит возможный вклад от термического расширения кристаллической решетки 
[5].  Позже  это  явление  тоже  нашло  свое  объяснение,  как  локализация  и  аннигиляция 
позитронов  в  термических  вакансиях [6], когда  удалось  исключить  влияние 
термического расширения решетки путем закалки с высокой температуры. При этом в 
металлах сохраняется повышенная концентрация вакансии при комнатной температуре. 

 
 
181
Главным  результатом  подобных  температурных  исследований  явилась  возможность 
определения энергии образования вакансии Е
V
 в металлах [6, 7]: 
)
exp(
0
kT
E
С
h
h
h
h
V
С
С
C
д
C
−
=
=
−
−
λ
ν
λ
ν
, 
 
где  h
c
,  h,  h
∂   
–  параметры  аннигиляции,  соответственно,  для  случаев  аннигиляции 
позитрона из свободного, частично и полностью захваченного состояний;
  ν
- удельная 
скорость  захвата  позитронов; 
λ
С 
–  скорость  аннигиляции  свободного  позитрона;  C
0 
– 
константа перед экспонентой; k- постоянная Больцмана; T - абсолютная температура. 
К  настоящему  времени  методом  ЭПА  с  большой  точностью  и  в  широком 
интервале  температур  определены  энергии  образования  вакансии  для  большинства 
металлов.  В  этих  условиях  естественно  было  предположить  возможность  изучения 
возврата  дефектной  структуры  к  исходному  состоянию  методами  ЭПА  путем 
последовательного  нагрева  материала  и  измерения  параметров  позитронной 
аннигиляции.  Первые  эксперименты  в  этом  направлении  были  выполнены  так  же  на 
сплавах никеля [8]. Отжиг деформированного на 
ε
 
= 85% сплава до 973 К в течение 1 
часа  привел  к  полному  возврату  формы  спектра  углового  распределения  к 
первоначальной.  Одновременно    было  установлено,  что  низкая  температура  отжига 
снижает  эффект  от  деформации  лишь  частично.  Следовательно,  полный  возврат 
возможен  лишь  при  температурах  выше  температуры  рекристаллизации  металла. 
Разделить вклад вакансионных и дислокационных дефектов в параметры позитронной 
аннигиляции  методом  последовательного  изохронального  отжига  дефектного 
материала и путем тщательного сопоставления различных спектров, как по форме, так 
и  в  количественном  отношении  и  одновременно  сделать  определенные  выводы  о 
природе III и IV стадии  возврата  удалось  автором  работы [9]. Эти  и  последующие 
эксперименты  в  этом  направлении  окончательно  подтвердили  обратимый  характер 
изменения формы угловых и временных распределений аннигиляционного излучения, 
вызванной дефектной структурой материала. 
Изучение  кинетических  процессов,  связанных  с  температурными  изменениями 
структуры,  лучше  всего  проводить  методом  измерения  допплерского  уширения 
аннигляционной линии  ДУАЛ, обеспечивающего хорошую статическую точность при 
высокой экспресности. Примером эффективного использования этого метода является 
работа [10], в  которой  исследовался  процесс  рекристаллизации  ультрадисперсных 
порошков  Мо.  Было  обнаружено  постоянство  аннигиляционного  параметра  S
Р
/S
0
  при 
нагреве  до 850
°С  и  последующее  резкое  возрастание  его  в  интервале  до 1000°С, 
свидетельствующее  о  происходящих  структурных  перестройках  в  материале, 
вызванных генерацией неравновесных вакансий и, возможно, процессом спекания (где 
S
P
 – параболическая компонента спектра; S
0
 – полная площадь спекра). 
На  сегодняшний  день  с  достаточной  полнотой,  как  в  экспериментальном,  так  и 
теоретическом плане изучены процессы взаимодействия позитрона с вакансиями и их 
скоплениями.  В  ходе  этих  исследований  была  установлена  нелинейная  зависимость 
вероятности  захвата  позитронов  дефектами  от  концентрации  вакансии.  Так  в  работе 
[11]  методами  ЭПА  и  просвечивающей  электронной  микроскопии  (ПЭМ)  выполнена 
идентификация  размеров  вакансионных  кластеров  и  времени  жизни  позитронов  для 
разных  металлов.  Было  установлено,  что  насыщение  в  изменениях  времени  жизни 
наступает  при 50 вакансиях  в  кластере,  достигая  значения 500 пс  (рис. 1.). Такую 
величину  среднего  времени  жизни  можно  получить  при  аннигиляции  позитронов  на 
плоской поверхности тела [12, 13]. 
 

 
 
182
 
Рисунок 1. Среднее время жизни 
позитронов в Fe (1) и Mo (2) в 
зависимости от размера кластера 
[12] 
Получение  необходимой  информации  о  дефектной  структуре  твердого  тела 
непосредственно  связано  с  изучением  его  электронной  структуры,  определяющей 
многие  физические  свойства  материала.  Теоретические  расчеты  процессов 
взаимодействия позитронов с дефектами с учетом электронной структуры и геометрии 
его окружения достаточно сложны. Несмотря на это, главным результатом работы [14] 
является установление того факта, что энергия связи позитрона с дефектом оказывается 
более чувствительной к перераспределению заряда, чем его время жизни. Например, в 
случае  Мо  переход  из  электронной  конфигурации 4d
5
5s
1
  в  конфигурацию 4d
4
5s
2
 
приводит  к  уменьшению  времени  жизни  всего  на 3 пс,  тогда  как  энергия  связи 
возрастает от 3.6 до 5.2 эВ. Следовательно, полноценная информация об электронной 
структуре  переходных  металлов  нужна  прежде  всего  для  понимания  природы 
межатомной  связи  элементов  с  недостроенными  внутренними  оболочками.  Поэтому 
совершенно  небезразлично,  в  каком  состоянии  находятся  электроны  незаполненной 
оболочки - коллективизированы и равномерно распределены по объему кристалла, или 
же  локализованы  возле  ядер  и  имеют  ярко  выраженную  направленность  в 
распределении электронной плотности в кристалле. Современный уровень электронной 
теории  вещества  еще  не  позволяет  описать  всю  совокупность  строения  дефектной 
области,  под  которым  понимают  структуру,  взаимное  расположение  и  атомное 
окружение,  чтобы  по  этим  данным  можно  было  построить  универсальную  теорию 
конденсированного  состояния.  Последнее  необходимо  для  безошибочного  выбора 
направления  поиска  новых  композиций,  имеющих  первостепенное  значение  для 
современной науки и техники. 
Как было отмечено выше, метод ЭПА, будучи практически не чувствительным к 
межузельным  атомам,  предоставляет  возможность  выявлять  и  избирательно  изучать 
поведение  вакансионных  дефектов,  а  также  исследовать  процесс  их  кластеризации  с 
образованием комплексов. Последнее легко устанавливается из результатов измерения 
времени  жизни,  численное  значение  которого  дает  представление  о  размерах,  а 
интенсивность - о  концентрации  кластеров.  Например,  в  облученном  электронами  с 
Е=3 МэВ ниобие кластеризация вакансии начинается уже при Т
≥200К и продолжается 
до 380 К [15]. Наличие примесей водорода приводит к смещению ее границы в сторону 
более  высоких  температур  из-за  образования  связанного  состояния  вакансия-водород. 
Следовательно, если вблизи или внутри дефектной области находится примесный атом, 
меняется  его  электронное  строение,  что  приводит  к  соответствующему  изменению 
скорости аннигиляции позитрона. Образование комплекса вакансия - примесь вызывает 
уменьшение  скорости  захвата  позитрона  практически  до  полного  экранирования 
вакансии.  Распад  таких  комплексов  происходит  при  более  высоких  температурах  и 
всегда  сопровождается  появлением  долгоживущих  компонентов  в  спектре  временных 
распределений.  
Приведенный  краткий  анализ  различных  сторон  приложения  методов  ЭПА  к 
исследованию  структурных  нарушений  твердого  тела  свидетельствует  о  широких, 

 
 
183
иногда  до  сих  пор  еще  не  востребованных,  ее  возможностях.  Тем  не  менее,  они  не 
будут  полными,  если  не  коснуться  проблем,  связанных  с  изучением  полиморфных, 
магнитных,  мартенситных  и  других  превращений,  сопровождающих  изменение 
структуры  металлов  и  сплавов  на  их  основе  при  различных  внешних  воздействиях, 
вызванных  пластической  деформацией,  ионизирующим  и  лазерным  излучениями, 
сложной  химико-термической  обработкой,  в  том  числе,  в  высокотемпературной  и 
жидкометаллической  среде,  кристалличности  и  ультрадисперсности,  а  так  же 
предысторией  материалов.  Несмотря  на  значительные  сложности,  связанные  с 
решением  и  реализацией  данной  проблемы,  она  все  же  является  достижимой  и 
представляет предмет обсуждения последующих работ. При этом, в отличие от других 
методов,  в  том  числе  измерения  удельной  теплоемкости  или  парамагнитной 
восприимчивости,  которые  также  дают  сведения  о  плотности  электронных  состояний 
на  уровне  Ферми,  изучение  аннигиляционных  характеристик  позволяет  исследовать 
весь энергетический спектр электронов металлических материалов, а в случае сплавов - 
раздельно  электронную  структуру  каждой  из  компонент,  что  не  может  быть 
осуществлено ни одним из известных физических методов, кроме, разве что, изучения 
распределения интенсивностей в рентгеновских эмиссионных спектрах. Не секрет, что 
экспериментальные  исследования  конденсированного  состояния  далеко  опередили 
теоретические  изыскания.  Последнее  обстоятельство  иногда  является  причиной 
неоднозначного  трактования  полученных  результатов,  что  создает  ощущение 
недостоверности  последних.  В  этих  случаях  с  целью  дополнения,  иногда 
подтверждения  первоначальных  данных,  по - возможности  привлекают  и  другие 
экспериментальные  методы  или  моделируют  сам  физический  процесс,  используя  для 
этой  цели  какой - либо  математический  аппарат.  Решение  задачи  о  поведении 
позитрона  в  конденсированной  среде  со  структурными  нарушениями  фактически 
является  частным  случаем  приложения  квантовой  теории  твердого  тела  и 
моделирование  процесса  захвата  и  аннигиляции  позитронов,  локализованных  в 
дефектных областях среды, и по сути своей, соответствует ее духу.  
Работа выполнена под руководством профессора К.М. Мукашева при поддержке 
грантов ПФИ МОН РК (1.12.1-185 ФИ) и ректора КазНПУ им. Абая. 
 
 
1.  Дехтяр И.Я., Левина Д.А., Михаленков В.С. Аннигиляция позитронов с электронами 
в пластически деформированных металлах // ДАН СССР. 1964. - Т.156, N4. - С. 795 - 
798. 
2.  Дехтяр  И.Я.,Левина  Д.А.,Михаленков  В.С.  Влияние  пластической  деформации  на 
спектры  аннигиляции  позитронов  в  металлах // Вопросы  физики  металлов  и 
металловедение. – 1964, N19. - С. 127 - 131. 
3.  Berko S.,  Erskine J.C. Angular distribution of annihilation radiation from placticaly 
deformed aluminium // Phys. Rev.Lett.1967.- Vol.19,N6.-P.307- 309. 
4.  Адаменко  А.А.,  Дехтяр  И.Я.,Михаленков  В.С.  Аннигиляция  позитронов  в 
деформированных сплавах на основе никеля // ДАН СССР. 1968. - Т.181, N1. - С. 68 - 
71. 
5.  Mackenzie I.K., Langstroth  G.F.D., Mckee B.T.A., Wnite C.C. Some temperature effects 
on positron annihilation in metals // Can. Jour. Phys.-1964.-Vol. 42, N10, - P. 1837 - 1846. 
6.  Konnors D.S., West R.N. Positron annihilation and defects in the crystals// Phys. Lett. - 
1969. - Vol. 30A,  N1. - P. 24 - 25. 
7.  Konnors D.S., West R.N. Positron annihilation and defects in the crystals // Phys. Lett. - 
1969. - Vol. 30A,  N1. - P. 24 - 25. 
8.  Henderson B. Stacking – fault probabilities in copper –nickel alloys // Jour.Inst. Metals. - 
1963. Vol. 92,  N2. - P. 55 - 56. 

 
 
184
9.  Dlubek G., Brummer O., Sickert P. Study of nature of processe occuring in the recovery 
stages III and IV of plasticaly deformed Ni of different purity by means of positron 
annihilation method // Phys. Stat. Solidi (a). - 1977. - Vol.39, N2. - P.401 - 410. 
10. Лаповок  В.Н.,  Новиков  В.И.,Свирида  С.В.  и  др.  Образование  неравновесных 
вакансий  при  рекристаллизации  ультрадисперсных  порошков // ФТТ- 1983. - Т.25, 
N6, - С.1846 - 1848. 
11. Trane N., Petersen K., Evans J.H. The relationship between void size and positron lifetime 
in neutron irradiated molybdenium // IV Int. Conf. on Positron. 19 Annihilation. Denmark. 
Helsinor. – 1976. - P.67 - 74. 
12. Hautojarvi P., Heino J.S., Manninen M. The effect of microvoid size on positron 
annihilation characteristics and reridual resistivity in metals // Phil. Mag.-1977. - Vol. 35, 
N4. - P.973 - 981. 
13. Eldrup M., Petersen K., Evans J.H. Positron Lifetime in hight dose neutron irradiated 
molybdenium and TZM // Proc. of the 6 th Int. Conf. Of Positron Annihilation. The Univ. 
Of Texas of Arlington. 1982. - P. 443 - 445. 
14. Puska M.J., Nieminen R.M. Defect spectroscopy with positrons: a general calculational 
Method // J. Phys. F.: Metal. Phys. – 1983. Vol.13.- P.333 - 346. 
15. Hautojarvi P., Huomo H., Saariaho P. et al. Vacancy Recovery in irradiated niobium. 
Report 107, Helsink University of Technology. - 1982. 30 p. 
 
 
 
УДК 62 – 251 : 531. 768. 5 8 
А.К. Тулешов, Ж. Искаков, А.К. Калыбаева  
 
ДИНАМИКА ВЕРТИКАЛЬНОГО ГИРОСКОПИЧЕСКОГО РОТОРА С 
ПЕРЕКОСОМ ДИСКА И  ДИСБАЛАНСОМ МАССЫ 
 
(г. Алматы, КазНУ  имени ал-Фараби, Алматинский институт энергетики и связи, 
г. Кызылорда, Кызылординский Государственный университет  им. Коркыт Ата) 
 
Еңкіш  дискілі  жəне  массалық  дисбалансы  бар  тік  гироскопиялық  ротор 
қарастырылады. Сыртқы жəне ішкі үйкеліс ескеріліп ротордың сындық жылдамдығы 
жəне онан кейінгі орнықсыздық аумағы табылады. Ротордың мəжбүр тербелістерінің 
комплекстік  жəне  өлшемсіз  күйге  келтірілген  теңдеулерін  шешу  арқылы  тербелістің 
ампитудасының жəне фазасының өрнектері анықталады, диск қалыңдығының сындық 
жылдамдыққа  жəне  де  дискінің  инерция  моменттерінің  айырмасының,  дисбаланстар 
сызықтары арасындағы бұрыштың, сыртқы демпферлеудің машинаның амплитудалық 
–  жиіліктік,  фазалық  -жиіліктік  сипаттамаларына  əсері  зерттеледі,  ақырында  ротор 
геометриясының шектік варианттары түбегейлі қарастырылады. 
In this work a vertical gyro rotor with tilting disc and mass imbalance was 
considered. It is critical speed of the rotor, taking into account the external and internal 
friction, followed by a zone of instability. By solving the above into a comprehensive and 
non-dimensional form of equations of forced vibrations of the rotor, are determined by the 
expression and phase fluctuations, we investigate the effect of disk thickness on the critical 
speed, as well as the impact of the difference between the moments of inertia of the disc, the 
angle between the lines of the imbalances, the external damping on the amplitude - and 
phase - frequency characteristics machines and finally detail the options for limiting the 
geometry of the rotor. 
 
В предлагаемой   работе исследуются установившиеся колебания и устойчивость 
вертикального  жесткого  гироскопического  ротора  с  перекосом  диска  и 
неуравновешенностью  массы.  Геометрическая  схема  данного  ротора  типична  для 

 
 
185
многих  высокоскоростных  роторных  машин;  поэтому  неудивительно,  что  она 
изучается  уже  давно.  Например,  в  работе [1] исследуются  влияния  вязкого  трения  и 
сухого  трения  в  опоре,  жесткостей  упругой  опоры  в  различных  направлениях  на 
амплитудно-  частотные  характеристики  вынужденных  колебаний  жесткого 
вертикального  гироскопического  ротора.  В  работе [2] изучается  влияние  двух 
обобщенного  дисбаланса  на  амплитуды  и  фазы  установившегося  колебания 
консольного  ротора,  при  этом  силы  внешнего  трения  вводятся  только  в  уравнения 
поступательного  перемещения.  В  работе [3] построены  амплитудно-частотные  и 
фазово-частотные  характеристики  двух  опорного  консольного  ротора  с  массовым  и 
угловым  дисбалансами,  изучаются  влияния  на  них  внешнего  трения,  степени 
консольности вала, толщины диска, а также влияния угла между линиями дисбаланса 
массы и максимального перекоса диска.  
Постановка задачи. 
На рисунке 1 представлена геометрическая схема ротора. 
Вал  с  длиной  L   и  жесткостью 
EI
  установлен  вертикально  с  помощью  нижней 
шарнирной  и  отстоящей  от  нее  на  расстояние   
0
l
  верхней  упругой  опоры.  На 
свободном конце вала закреплен диск, имеющий массу 
m
, полярный момент инерции 
p
I  и поперечный момент инерции 
Т
I
, одинаковый для любого направления. Скорость 
вращения  вала 
ω
  настолько  большая,  что  ротор  можно  рассматривать  как  гироскоп, 
неподвижной  точкой  которого  является  нижняя  опора  вала.  Положение 
геометрического центра диска 
S
определяется координатами 
x
, 
y
, а положение вала 
и  в  целом  ротора  в  пространстве  углами 
x
θ
, 
y
θ
    и  углом  поворота   
t
ω
ϕ
=
.  Далее 
обозначим  координаты  центра  масс  диска  M   через 
M
x
  и 
M
y
.  Положение  оси 
симметрии  диска 
SZ
  определяется  углами 
x
~
θ
,
y
~
θ
 
и 
ϕ
.  Предпологаем  также,  что 
линейный  эксцентриситет 
e
  лежит  на  оси 
SX
  и  отстает  от  плоскости  углового 
эксцентриситета 
τ   на  угол 
β
.  Ограничимся  малыми  отклонениями  оси  ротора, 
поэтому  будем  учитывать  в  вычислениях  члены  линейные  относительно  малых 
величин 
M
M
y
x
y
x
y
,
x
,
~
,
~
,
,
,
,
e
θ
θ
θ
θ
τ
. 
Рисунок 1-  Геометрия  ротора 
 

 
 
186
Учитывая изложенное выше проекции угловой скорости на координатных осях 
подвижной системы запишем в виде  
y
x
z
y
x
y
x
y
x
θ
θ
ω
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
~
~
,
~
~
,
~
~
⋅
+
≈
−
≈
+
−
≈
&
&
&
 ,                                  (1) 
а кинетическую энергию системы,  
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
m
m
I
I
I
y
x
m
T
ω
ω
ω
+
+
+
+
=
&
&
, 
учитывая, что 
p
z
Т
y
x
I
I
,
I
I
I
=
=
=
 и (1), получим в форме   
(
)
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
•
•
•
•
•
y
x
p
y
x
y
x
Т
m
m
I
I
y
x
m
T
θ
θ
ω
ω
θ
θ
θ
θ
ω
θ
θ
~
2
~
~
2
~
~
2
1
2
1
2
x
y
2
2
2
2
&
&
,         (2) 
где  
        
(
)
(
)
β
ω
τ
θ
θ
β
ω
τ
θ
θ
ω
θ
ϕ
ω
θ
ϕ
+
−
=
+
−
=
+
=
+
=
+
=
+
=
t
sin
~
,
t
cos
~
t
sin
e
L
sin
e
y
y
,
t
cos
e
L
cos
e
x
x
y
y
x
x
y
M
x
M
       
   (3) 
Потенциальная энергия системы имеет вид 
                          
(
)
,
2
1
2
2
2
1
2
y
x
k
k
l
V
θ
θ
&
& +
=
                                              (4) 
где  к
1
 
и  к
2
 – коэффициенты  жесткости  опоры  во  взаимо  перпендикулярных 
направлениях. 
 Моменты внешних сил имеют вид 
     
(
)
(
)
,
sin
,
cos
G
t
e
L
M
G
t
e
L
M
y
y
x
x
ω
θ
ω
θ
+
=
+
=
                           (5) 
где 
G
– вес диска.  
Учтем диссипативныe силы, заданные в виде  
                 
(
)
,
2
1
2
2
2
1
y
e
x
e
Ф
θ
μ
θ
μ
&
& +
=
                                                       (6) 
где
2
e
1
e
,
μ
μ
 - коэффициенты внешнего демпфирования. 
Уравнения Лагранжа второго рода для роторной системы представим в виде  
.           
i
i
i
i
i
Q
q
Ф
q
V
q
T
q
T
dt
d
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
&
&
                                              (7) 
Здесь 
y
x
i
,
:
q
θ
θ
- обобщенные координаты; 
y
x
i
M
,
M
:
Q
 - обобщенные силы. 
Подставляя  выражения (2) – (6) в (7), получим  следующие  уравнения  движения 
вертикального жесткого ротора 
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
.
sin
sin
,
cos
cos
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
1
1
2
β
ω
τω
ω
ω
θ
θ
μ
θ
ω
θ
β
ω
τω
ω
ω
θ
θ
μ
θ
ω
θ
+
−
+
+
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
=
−
+
+
+
+
t
I
I
t
Ge
L
me
GL
l
k
I
mL
I
t
I
I
t
Ge
L
me
GL
l
k
I
mL
I
T
p
y
y
e
x
p
y
Т
T
p
x
x
e
y
p
x
Т
&
&
&&
&
&
&&
        (8) 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: