Устойчивость  слегка  возмущенного  движения

 
 
187
                                    
.
cos
~
sin
~
,
sin
~
cos
~
t
t
t
t
y
x
y
y
x
x
ω
θ
ω
θ
θ
ω
θ
ω
θ
θ
+
=
−
=
                                                       (9) 
Применяя преобразование (9) к уравнениям (8), легко получим 
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
,
0
~
~
~
2
~
,
0
~
~
~
2
~
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
=
−
−
−
+
+
−
+
+
+
=
−
−
−
+
+
+
+
−
+
+
y
T
p
y
e
x
p
T
y
Т
x
T
p
x
e
y
p
T
x
Т
I
I
mL
I
mL
I
mL
I
I
I
mL
I
mL
I
mL
I
θ
ω
ω
θ
μ
θ
ω
ω
θ
θ
ω
ω
θ
μ
θ
ω
ω
θ
&
&
&&
&
&
&&
         (10) 
где 
 
(
)
T
p
I
I
mL
GL
kl
−
−
−
=
2
2
0
0
ω
  
 
 
 
 
(11)  
– критическая скороcть собственных колебаний ротора. 
Введем  в  эти  уравнения  члены 
x
i
θ
μ
&~
,  и 
y
i
θ
μ
&~ ,  которые  учитывают  силы 
внутреннего трения (
i
μ
-коэффициент внутреннего трения). Тогда после возвращения к 
неподвижной системе координат приходим к уравнениям.  
      
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
,
0
,
0
2
0
2
2
2
0
2
2
=
−
−
−
+
+
+
−
+
=
+
−
−
+
+
+
+
+
y
i
y
T
p
y
i
e
x
p
y
Т
y
i
x
T
p
x
i
e
y
p
x
Т
I
I
mL
I
mL
I
I
I
mL
I
mL
I
ωθ
μ
θ
ω
θ
μ
μ
θ
ω
θ
ωθ
μ
θ
ω
θ
μ
μ
θ
ω
θ
&
&
&&
&
&
&&
  
(12) 
Поскольку  обе  координаты  (
x
θ
  и 
y
θ
)  полностью  равноценны,  то  весьма 
целесообразен переход к комплексному представлению угловых  перемещений.  Вводя 
комплексное перемещение 
                                                    
,
y
x
i
θ
θ
θ
+
=
    
 
                   
(13) 
получим вместо (12) одно уравнение 
(
)
(
)
(
)
[
]
0
2
0
2
2
=
−
−
−
+
+
+
−
+
ωθ
μ
θ
ω
θ
μ
μ
θ
ω
θ
i
T
p
i
e
p
Т
i
I
I
mL
iI
mL
I
&
&
&&
        (14) 
Это уравнение имеет решение  
                                                
,
t
i
Ae
λ
θ
=
                          
 
 
 (15) 
где  
λ
 - комплексная частота.  
Вертикальная форма вала устойчива, если 
0
Imл
>
. 
Подставляя (15) в (14) и  принимая  во  внимание,  что  на  границе  области 
неустойчивости 
0
Im
=
λ
, получим два уравнения: 
(
)
(
)
[
]
(
)
.
0
,
0
2
0
2
2
2
=
−
+
=
−
−
−
−
+
ω
μ
λ
μ
μ
ω
λ
ω
λ
i
i
e
T
p
p
T
I
I
mL
I
mL
I
 
Из  первого  уравнения  вытекает,  что  на  границе  области  неустойчивости  колебания 
происходят с частотой  
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
.
2
4
2
2
0
2
2
2
mL
I
I
I
mL
mL
I
I
I
T
T
p
T
p
p
+
−
−
+
+
±
=
ω
ω
ω
λ
 
Подставив ее во второе уравнение, из него находим выражение для критической 
скорости 
                   
(
)
.
1
1
)
1
(
2
2
2
0
mL
I
I
mL
I
I
I
mL
T
p
i
e
T
T
p
i
e
k
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
−
+
=
μ
μ
μ
μ
ω
ω
                                       (16) 

 
 
188
Cогласно  формуле (16), вертикальная  форма  идеально  сбалансированного  ротора 
становится  неустойчивой  при  скорости  вращения,  которая  тем  больше  превышает 
критическую  скорость 
0
ω
,  чем  больше  внешнее  трение  по  сравнению  с  внутренним 
трением.  Качественно  эта  формула  правильно  отражает  стабилизирующую  роль 
внешнего трения.  
Характеристическое уравнение для уравнения (14) будет следующим: 
(
)
(
)
(
)
[
]
0
2
0
2
2
2
=
+
−
−
−
+
−
−
+
ω
μ
ω
λ
μ
μ
ωλ
λ
i
T
p
i
e
p
T
i
I
I
mL
i
I
mL
I
 
Составим следующую матрицу для вывода условий устойчивости решений 
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
ω
μ
μ
μ
ω
ω
ω
μ
μ
μ
ω
ω
i
i
e
T
P
P
T
i
l
e
T
P
P
T
I
I
mL
I
mL
I
I
I
mL
I
mL
I
;
;
0
;
0
;
;
;
0
;
0
;
;
;
0
;
0
;
;
;
2
0
2
2
2
0
2
2
+
−
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
−
+
 
Из  условия  знакочередования  четных  определителей  этой  матрицы  получим  условие 
устойчивости  
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
0
2
2
2
2
0
2
2
2
>
+
−
−
−
+
+
+
i
T
T
P
i
e
i
P
i
e
mL
I
I
I
mL
I
μ
ω
ω
μ
μ
μ
ω
μ
μ
 
или  
(
)
[
]
(
)
.
1
1
2
2
2
0
2
2
ω
μ
μ
ω
μ
μ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
>
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
P
i
e
T
T
P
i
e
I
mL
I
I
I
mL
 
Таким образом, движение устойчиво при 
                            
(
)
2
2
2
0
1
1
1
mL
I
I
mL
I
I
I
mL
T
P
i
e
T
T
P
i
e
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
<
μ
μ
μ
μ
ω
ω
                             (17) 
Установившиеся  колебания. 
Теперь  перейдем  к  исследованию  установившегося 
колебания  неуравновешенного  ротора.  Для  этого  уравнения  движения  ротора 
представим в виде 
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
.
sin
sin
,
cos
cos
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
β
ω
τω
ω
ω
θ
θ
μ
θ
ω
θ
β
ω
τω
ω
ω
θ
θ
μ
θ
ω
θ
+
−
+
+
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
=
−
+
+
+
+
t
I
I
t
Ge
L
me
GL
kl
I
mL
I
t
I
I
t
Ge
L
me
GL
kl
I
mL
I
T
P
y
y
e
x
P
y
T
T
P
x
x
e
y
P
x
T
&
&
&&
&
&
&&
 
  
(18) 
Используя (13) уравнения (18) удобно записать в комплексной форме  
       
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
β
ω
ω
τω
ω
θ
θ
μ
θ
ω
θ
+
−
+
+
=
−
+
+
−
+
t
i
T
P
t
i
e
P
T
e
I
I
е
Ge
L
me
GL
kl
iI
mL
I
2
2
2
0
2
&
&
&&
  
  (19) 
Введя безразмерные параметры по следующим формулам   
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
;
;
1
;
;
;
;
;
;
;
2
2
1
3
2
2
1
3
3
0
2
T
P
P
P
e
T
T
I
I
H
mL
I
I
EmIL
EI
mL
EI
L
G
P
mL
EI
t
t
EI
L
k
K
L
mL
I
I
L
e
−
=
=
=
=
Ω
=
=
=
=
=
=
μ
μ
ω
ε
l
l
                                           (20) 
уравнение (19) приведем к безразмерной форме 
(
)
(
) (
)
(
)
.
1
2
2
2
β
τ
ε
ε
θ
θ
μ
θ
θ
+
Ω
Ω
Ω
+
+
Ω
=
−
+
′
+
′
Ω
−
′′
+
t
i
t
i
p
T
e
H
e
P
P
K
I
i
I
l
 
  
(21) 
Здесь штрихами обозначены производные по безразмерному времени 
t
. 
Для установившейся круговой синхронной прецесси ротора решение уравнения 
(21) ищем в виде 

 
 
189
                                             
(
)
α
θ
−
Ω
=
t
i
e
A
                                              (22) 
Здесь 
A
-  амплитуда  углового  перемещения  диска  ротора,  а 
α -угол  отставания  по 
фазе этого перемещения 
Подставив (22) в (21), найдем формулы для вычисления амплитуды колебаний и сдвига 
фаз: 
 
(
)
[
]
(
)
(
)
,
1
sin
cos
2
2
2
2
2
2
0
2
4
2
2
2
2
2
2
Ω
+
−
Ω
−
Ω
Ω
+
Ω
+
+
Ω
=
μ
β
τ
β
τ
ε
H
H
H
P
A
              
       (23) 
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
( )
.
sin
cos
1
sin
1
cos
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
β
τ
μ
β
τ
ε
β
τ
β
τ
ε
μ
α
Ω
Ω
+
Ω
+
+
Ω
−
Ω
−
Ω
Ω
−
Ω
−
Ω
−
Ω
+
+
Ω
Ω
=
H
H
P
H
H
H
H
P
arctg
   
(24) 
Здесь  
2
1
2
0
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
Ω
H
P
kl
    
 
 
 
 
(25)  
– безразмерная критическая скорость бездемпферного ротора. График зависимости (25) 
приведен на рисунок 2. Отсюда видно, что диск чем тоньше, тем больше критическая 
скорость ротора, но диск не может быть тоньше размера равного 
1
=
Н
 или 
2
mL  и еще 
можно заметить, что  
(
)
(
)
1
1
0
0
>
Ω
<
<
Ω
H
H
. 
  Зависимости (23) и (24) для  тонкого 
1
,
0
+
=
Н
  и  толстого 
1
,
0
−
=
Н
  диска 
представлены  графически  на  рисунках 3 и 4. Эксцентриситет  массы,  угол  перекоса  и 
вес  диска  всюду  приняты  равными 01
,
0
=
ε
; 02
,
0
=
τ
  и 02
,
0
P
=
.коэффициент 
демпфирования 
μ
  задан  равным 01
,
0
=
μ
.  чтобы  сгладить  кривые  и  сделать 
зависимости от 
Ω  более наглядными.    
Рассмотрим  предельные  варианты  геометрии  ротора.  На  низких  частотах 
вращения  ротор  имеет  первоначальное  отклонение,  соответствующее  статическому 
равновесию: 
                                          
(
)
.
1
2
2
0
P
k
P
H
P
A
−
=
−
Ω
=
l
ε
ε
                                      (26) 
При этом остаточный фазовый угол тангажного перемещения диска 
0
0
0
=
=
→
Ω
α
α
im
l
. 
 
Для  тонкого  диска  угловое  перемещение  при 
0
90
+
=
β
по  фазе  отстает  от 
углового  перемещения  при 
,
180
,
0
0
0
=
β
а  при 
0
90
−
=
β
  опережает  (рисунок 3). В 
случае толстого диска наоборот (рисунок 4).                                     
В  случае,  когда  скорость  вращения  вала  достигнет  резонансной  частоты 
0
`Ω , 
выражения амплитуды и фазы колебаний  примут вид 
           
(
)
[
]
(
)
,
sin
cos
/
1
2
2
2
0
0
β
τ
β
τ
ε
μ
H
H
P
A
+
+
Ω
+
Ω
=
                             
 
(27) 
   
(
)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ω
+
+
=
β
ε
τ
β
α
sin
/
1
2
0
H
P
ctg
arctg
                              
                (28) 
Рассмотрим частные случай формул (27) и (28) 
При  

 
 
190
β=0
0
 
(
)
( )
[
]
τ
ε
μ
H
P
A
+
Ω
+
Ω
=
2
0
0
/
1
 
 
    (29), 
 
если H>0, то 
;
max
A
A
=
 
если H<0, то 
;
A
A
min
=
 
                                                          
2
π
α
=
                                               
(30) 
При 
0
90
+
=
β
(
)
( )
2
2
2
2
0
0
/
1
τ
ε
μ
H
P
A
+
Ω
+
Ω
=
 (31), 
;
max
min
A
A
A
<
<
 
(
)
,
/
1
2
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ω
+
±
=
ε
τ
α
H
P
arctg
 
 
 
 
          (32)
 
при 
0
180
=
β
 
(
)
( )
[
]
τ
ε
μ
H
P
A
−
Ω
+
Ω
=
2
0
0
/
1
 
 
 
 
 
 
 
(33),  
если H>0, то 
;
min
A
A
=
 
если H<0, то 
;
max
A
A
=
 
                                                     
2
π
α
=                                                       (34) 
 
Рисунок 2 – Критическая скорость недемпфированного ротора. 
 
Таким  образом,  при  критической  скорости  вращения,  при  совпадении  линий 
действия  двух  дисбалансов,  т.е.  при 
0
0
180
,
0
=
β
,  амплитуда  колебаний  будет    иметь 
либо  наибольшее    значение,  либо  наименьшее  значение    в  зависимости  от  значения 
толщины  диска Н, при ортогональности линий действия дисбалансов, m.е. при β=±90
0
, 
амплитуда  вибрации  будет    принимать  промежуточные  значения  (рисунках 3 и 4). 
Можно  также    заметить  усиление  действия  дисбаланса  массы  под  влиянием 

 
 
191
первоначального  статического    отклонения    и  демпфирование  колебаний  ротора  но 
гиперболическому закону (рисунок  5, рисунок 6).       
 
 
 
 
 
Рисунок 3 – Амплитудно – и  фазово -  частотные  характеристики  ротора  для 
тонкого диска при 
1
,
0
+
=
Н
; 01
,
0
=
ε
; 02
,
0
=
τ
; 02
,
0
P
=
; 37
,
1
0
=
Ω
. 
 
Амплитуда
 |А
| 
Фазовый
 уго
л 
α 

 
 
192
 
Рисунок 4 – Амплитудно – и  фазово - частотные  характеристики  ротора  для 
толстого диска при 
1
,
0
−
=
Н
; 01
,
0
=
ε
; 02
,
0
=
τ
; 02
,
0
P
=
; 24
,
1
0
=
Ω
.
 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: