2-Лемма. Әрбір үшін -ға тиісті квадрат түбір бар болады және .
Дәлелдеуі. Егер болса, онда матрицасы -дің квадрат түбірі болады, себебі, . Енді матрицасы теңдігін қанағаттандырады дейік. Егер болса, онда және . Олай болса, , бұдан және осыған ұқсас, . функцисы -де инъективті және болғандықтан, теңдігін аламыз. Сонымен, . Бұл квадрат түбірдің біреу ғана болатынын көрсетеді. 2-Лемма дәлелденді.
6-Теореманың дәлелдеуіне қайта оралайық. -нің үздіксіздігі теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық үшін болатындай мәнінің бар екеніне кепіл болады. Енді болсын, бұдан . Онда -ға тиісті және . 2-Лемма бойынша, -дың -ға тиісті бір ғана квадрат түбірі бар және ол -ге тең болады. Сонымен, .
Мұны қайталау арқылы барлық бүтін үшін мынаны аламыз: . Онда барлық бүтін үшін . Бұл түріндегі барлық үшін екенін білдіреді, әрі мұндай -лардың барлығы ℝ-ге тиісті болады. және функцияларының әрқайсысы үздіксіз болғандықтан, барлық нақты үшін орындалады. 6-Теорема дәлелденді.
