Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 27.1 Экспоненциал матрица және оның қасиеттері
- 1-Теорема.
| Лекция 27-28
Тақырыбы: Экспоненциал бейнелеу және матрицалық Ли группаларының Ли алгебрасы. 27.1 Эспоненциал матрица және оның қасиеттері. 27.2 Матрицаның логарифмі. 27.3 Бір параматрлі ішкі группалар. 28.1 Матрицалық Ли группасының Ли алгебрасы туралы түсінік. 28.2 Матрицалық Ли группасының Ли алгебрасына мысалдар. 27.1 Экспоненциал матрица және оның қасиеттері Экспоненциал матрицаның орны Ли группаларының теориясында өте маңызды. Квадрат матрицалар (комплекс немесе нақты) жиынында экспоненциал бейнелеулер матрицалық Ли группалары мен Ли алгебраларының арасындағы байланысты анықтайды. Көптеген есептеулерді жүргізу Ли группаларына қарағанда Ли алгебраларында жеңілірек жүргізіледі. Сондықтан, экспоненциал бейнелеу Ли алгебрасы туралы ақпараттарды сәйкесті матрицалық Ли группасына көшіру механизмі ретінде де қарастырылады. – комплекс немесе нақты -ретті квадрат матрица болсын. матрицасы үшін экспоненциал матрицаны арқылы белгілеп, (1) дәрежелік қатары ретінде анықтаймыз. 1-Теорема. Кезкелген комплекс немесе нақты -ретті квадрат матрицасы үшін (1) қатар жинақты. экспоненциал матрица -тен үздіксіз функция. Дәлелдеуі. Алдымен кейбір қажетті мәліметтерді келтірейік. векторының номасы деп нақты санын айтады. Матрица нормасын анықтау үшін кеңістігін ретінде қарастырамыз: . (2) Бұл норма келесі қасиеттерді қанағаттандырады: кезкелген үшін (3) (4) теңсіздіктері орындалады. Бірінші теңсіздік үшбұрыш теңсіздігі. Екінші теңсіздік Коши-Буняковский теңсіздігінен шығады. Егер – матрицалар тізбегі болса, онда матрицасы тізбегінің шегі болуы үшін ұмтылғанда ұмтылуы қажетті және жеткілікті. (2) теңдігі бойынша енгізілген норма Гильберт-Шмидт нормасы деп аталады. Егер ұмтылғанда ұмтылса, онда матрицалар тізбегі Коши тізбегі деп аталады. -дағы Коши тізбегі жинақты және оның бірмәнді анықталған шегі болады. Келесі матрицалар қатарын қарастырайық: (5) Егер
болса, онда (5) матрицалар қатары абсолют жинақты деп аталады. Егер қатар абсолют жинақты болса, онда оның дербес қосындыларының Коши тізбектері болатынын оңай көрсетуге болады, ал Коши тізбектері жинақты болғандықтан қатар жинақты болады. Сонымен, абсолют жинақты әрбір қатар жинақты болады (кері тұжырым орынды емес, абсолют жинақты емес қатардың жинақты болуы мүмкін). Енді 1-Теореманы дәлелдейік. (4) бойынша , сондықтан . Сонымен, (1) қатар абсолют жинақты, олай болса, ол жинақты болады. функциясының үздіксіздігін көрсету үшін функциясының -тен үздіксіз екенін пайдаланамыз. (1) қатар түріндегі әрбір жиында бірқалыпты жинақты болғандықтан, қосынды да жинақты болады. 1-Теорема дәлелденді. Экспоненциал матрицалардың келесі қасиеттерін дәлелдемесіз келтіреміз: 1) ; 2) ; 3) қайтымды және ; 4) барлық үшін ; 5) егер болса, онда ; 6) егер қайтымды болса, онда ; 7) . Жалпы жағдайда, теңдігі орындалмайды. 2-Теорема. Егер – -ретті квадрат комплекс матрица болса, онда – -дағы тегіс функция және . Дербес жағдайда, . жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|