Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі


Дәлелдеуі. Алдымен комплекс сандар функциясына қатысты келесі лемманы дәлелейік. 1-Лемма



бет90/159
Дата27.04.2022
өлшемі473,85 Kb.
#32528
1   ...   86   87   88   89   90   91   92   93   ...   159
Байланысты:
umkd

Дәлелдеуі. Алдымен комплекс сандар функциясына қатысты келесі лемманы дәлелейік.

1-Лемма. Келесі комплекс функция – центрі бірлік шеңбердегі анықталған аналитикалық функция:

. (7)

теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық үшін .

теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық үшін

және .

Дәлелдеуі. Әдеттегі нақты және оң сандар үшін анықталған логарифм барлық үшін

қасиетін қанағаттандырады. Мүшелеп интегралдап, мынаны аламыз:
.

Енді деп есептеп ( сонда болады), соңғы теңдіктен мынаны аламыз:


.

Бұл қатардың жинақтылық радиусы 1-ге тең және интервалындағы нақты үшін анықталған әдеттегі логарифммен сәйкес келетін жиынындағы комплекс аналитикалық функцияны анықтайды.



Кезкелген нақты үшін белгілі теңдігі аналитикалық қасиет бойынша комплекс жиынына дейін жалғастырылады (дәлірек айтқанда, ) және функцияларының екеуі де комплекс аналитикалық функциялар және олар интервалвнда үйлеседі, олай болса, олар дискісінде де үйлесуі тиіс).

Екінші жағынан, егер болса, онда


.

теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық нақты үшін орындалатын теңдігі, аналитикалық қасиет бойынша, теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық комплекс үшін жалғастырылады. 1-Лемма дәлелденді.

Енді 3-Теореманың дәлелдеуін жалғастырайық. теңсіздігіне сәйкес (6) матрицалық қатар теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық үшін абсолют жинақты болады, себебі (7) қатардың жинақталу радиусы 1-ге тең. Логарифмдік функцияның үздіксіздігі экспоненциал функциядағыдай дәлелденеді.

теңсіздігін қанағаттандыратын кезкелген -ретті квадрат матрица үшін теңдігінің орындалатынын көрсетейік. Екі түрлі жағдайды қарастырамыз.

1-жағдай. – диагоналданатын матрица.

болсын, мұндағы –диагонал матрица. Онда
.

Бұдан,
,

мұндағы – матрицасының меншікті мәндері.



Егер болса, онда матрицасының әрбір меншікті мәні теңсіздігін қанағаттандыратындыруы тиіс. Сонымен,

және 1-Лемма бойынша,
.

2-жағдай. – диагоналданбайтын матрица. Егер диагоналданбайтын матрица болса, онда матрицасы шегі болатын диагоналданатын матрицалар тізбегін табуға болады. Онда, егер болса, онда барлық жеткілікті үлкен үшін . Бұған 1-жағдайды пайдалансақ, болады. Олай болса, және функцияларының үздіксіздігнен теңдігін аламыз.

Комплекс жағдайдағы пайымдауларға (1-Леммадағы) ұқсас, егер болса, онда теңсіздігінің орындалатындығын және кезкелген осындай үшін теңдігінің орындалатындығын оңай көрсетуге болады. 3-Теорема дәлелденді.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   86   87   88   89   90   91   92   93   ...   159




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет