Дәлелдеуі. Алдымен комплекс сандар функциясына қатысты келесі лемманы дәлелейік.
1-Лемма. Келесі комплекс функция – центрі бірлік шеңбердегі анықталған аналитикалық функция:
. (7)
теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық үшін .
теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық үшін
және .
Дәлелдеуі. Әдеттегі нақты және оң сандар үшін анықталған логарифм барлық үшін
қасиетін қанағаттандырады. Мүшелеп интегралдап, мынаны аламыз:
.
Енді деп есептеп ( сонда болады), соңғы теңдіктен мынаны аламыз:
.
Бұл қатардың жинақтылық радиусы 1-ге тең және интервалындағы нақты үшін анықталған әдеттегі логарифммен сәйкес келетін жиынындағы комплекс аналитикалық функцияны анықтайды.
Кезкелген нақты үшін белгілі теңдігі аналитикалық қасиет бойынша комплекс жиынына дейін жалғастырылады (дәлірек айтқанда, ) және функцияларының екеуі де комплекс аналитикалық функциялар және олар интервалвнда үйлеседі, олай болса, олар дискісінде де үйлесуі тиіс).
Екінші жағынан, егер болса, онда
.
теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық нақты үшін орындалатын теңдігі, аналитикалық қасиет бойынша, теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық комплекс үшін жалғастырылады. 1-Лемма дәлелденді.
Енді 3-Теореманың дәлелдеуін жалғастырайық. теңсіздігіне сәйкес (6) матрицалық қатар теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық үшін абсолют жинақты болады, себебі (7) қатардың жинақталу радиусы 1-ге тең. Логарифмдік функцияның үздіксіздігі экспоненциал функциядағыдай дәлелденеді.
теңсіздігін қанағаттандыратын кезкелген -ретті квадрат матрица үшін теңдігінің орындалатынын көрсетейік. Екі түрлі жағдайды қарастырамыз.
1-жағдай. – диагоналданатын матрица.
болсын, мұндағы –диагонал матрица. Онда
.
Бұдан,
,
мұндағы – матрицасының меншікті мәндері.
Егер болса, онда матрицасының әрбір меншікті мәні теңсіздігін қанағаттандыратындыруы тиіс. Сонымен,
және 1-Лемма бойынша,
.
2-жағдай. – диагоналданбайтын матрица. Егер диагоналданбайтын матрица болса, онда матрицасы шегі болатын диагоналданатын матрицалар тізбегін табуға болады. Онда, егер болса, онда барлық жеткілікті үлкен үшін . Бұған 1-жағдайды пайдалансақ, болады. Олай болса, және функцияларының үздіксіздігнен теңдігін аламыз.
Комплекс жағдайдағы пайымдауларға (1-Леммадағы) ұқсас, егер болса, онда теңсіздігінің орындалатындығын және кезкелген осындай үшін теңдігінің орындалатындығын оңай көрсетуге болады. 3-Теорема дәлелденді.
Достарыңызбен бөлісу: |