30.2Матрицалық Ли группаларының Ли алгебраларының көріністеріне мысалдар Кейбір маңызды матрицалық Ли группаларының Ли алгебраларының көріністерін есептейік.
1) группасының Ли алгебрасының кейбір көріністері. Дәрежесі -ге тең екі айнымалыдан біртекті көпмүшеліктердің сызықты кеңістігіндегі группасының формуласы арқылы берілген көрінісіне сәйкес келетін Ли алгебрасының көрінісін есептейік: 2-Теорема бойынша,
.
кеңістігіндегі болатындай қарастырайық. Оны , мұндағы , түрінде жазуға болады. Онда
.
болғандықтан, үшін мынаны аламыз:
. (6)
Бұл формула Ли алгебрасының кеңістігіндегі көрінісін анықтайды.
Ли алгебрасы үшін базисін таңдап алсақ, онда көрінісі үшін осы базистік векторлардың көрініс операторлары (6) бойынша төмендегідей болады:
(7)
(8)
(9)
2) группасының Ли алгебрасының унитар көріністері. квадратура арқылы интегралданатын функциялар кеңістігіндегі , үшін
формуласымен анықталған көрінісіне сәйкес келетін Ли алгебрасының унитар көрінісі, алдыңғы 4) мысалдағыдай оңай есептеледі. Нәтижесін келтірейік:
. (10)
матрицасы үшін бұл формуланы мына түрде жазуға болады:
. (11)
Ли алгебрасы үшін базисін таңдап алсақ, онда көрінісі үшін осы базистік векторлардың көрініс операторлары (11) бойынша төмендегідей болады:
Дәл осыған ұқсас, , үшін
формуласымен анықталған көрінісіне сәйкес келетін Ли алгебрасының унитар көрінісі де (10) немесе (11) формулалар түрінде жазылады.
3) Нақты сандардың абельдік Ли алгебрасының унитар көрінісі. Гильберт кеңістігінде Әрбір үшін
формуласымен анықталған нақты сандардың аддитивті Ли группасының унитар көрінісіне сәйкесті абельдік Ли алгебрасының (ол векторлық кеңістік ретінде -ге изоморфты) көрінісі 2-Теорема бойынша,
