Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
Матрицалық Ли группаларының көріністері
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
umkd
| 29.2 Матрицалық Ли группаларының көріністері
1) Стандарт көрініс. Анықтама бойынша, матрицалық Ли группасы – қандайда бір группасының ішкі жиыны. -дің -ға енуі ( бейнелеуі) -дің көрінісі болады, оны -дің стандарт көрінісі дейді. Мысала, группасының стандарт көрінісі -дің кеңістігіндегі әдеттегі әсері, ал группасының стандарт көрінісі -нің кеңістігіндегі әдеттегі әсері арқылы анықталады. 2) Тривиаль көрініс. Бір өлшемді сызықты кеңістігін қарастырайық. Кезкелген үшін теңдігімен берілген матрицалық Ли группасының көрінісі тривиаль көрініс деп аталады. Бұл – келтірілмейтін көрініс. 3) Біріктірілген көрініс. – матрицалық Ли группасының, ал – оның Ли алгебрасы болсын. Алдыңғы пункттегі 7-Теореманың 2) тұжырымы бойынша, әрбір үшін болғандықтан, , формуласы арқылы түрлендіруін анықтауға болады. Онда , формуласы арқылы берілген бейнелеу матрицалық Ли группаларының гомоморфизмі болғандықтан группасының кеңістігіндегі көрінісі болып табылады, оны группасының біріктірілген көрінісі деп атайды. группасы үшін стандарт көрініс пен біріктірілген көріністердің екеуі де үш өлшемді және олар изоморфты. 4) группасының кейбір көріністері. Дәрежесі -ге тең екі айнымалыдан біртекті көпмүшеліктердің сызықты кеңістігін қарастырайық. Ол (3) мұндағы , түріндегі функциялардан тұрады және -өлшемді комплекс сызықты кеңістік болып табылады. Анықтама бойынша, группасының элементі кеңістігінің сызықты түрлендіруі ретінде қарастыруға болады. Егер болса, онда кеңістігіндегі түрлендіруін (4) формуласы арқылы анықтауға болады. (3) түріндегі үшін (4) формуланы мына түрде жаза аламыз: . Бұл формуланың оң жақ бөлігіндегі жақшаларды ашып, содан соң ықшамдасақ, нәтижесінде -дәрежелі көпмүшелік шығады, олай болса, . есептеулері бейнелеуінің группасының кеңістігіндегі көрінісі екенін көрсетеді. 5) группасының унитар көріністері. – кеңістігіндегі квадратура арқылы интегралданатын функциялардың кеңістігі блсын. Әрбір үшін кеңістігіндегі операторын формуласы арқылы анықтайық. Лебег өлшемі бұруларға қатысты инвариантты болғандықтан, әрбір үшін унитар оператор болады. Алдыңғы мысалдағыға ұқсас есептеулер бейнелеуінің группасынан (-тағы унитар операторлар) группасына гомоморфизм екенін көрсетеді. Бұл бейнелеу қатаң үздіксіз, сондықтан, группасының унитар көрінісін анықтайды. Енді беттік өлшемі анықталған бірлік сферасын қарастырайық. Кезкелген элементі сферасын -нің өз ішіне көшіреді. Әрбір элементі үшін кеңістігінде әсер етуші операторын келесі формула арқылы берейік: . Онда – группасының унитар көрінісі. Осы анықталған және унитар көріністерінің екеуі де келтірілетін көріністер. жағдайында кеңістігі үшін ол ақырлы өлшемді инвариантты ішкі кеңістіктердің тік қосындысына тұратындай керемет жіктелу бар болады. Бұл жіктелу физикада сфералық гормоника теориясының негізі болып табылады. 6) Нақты сандардың унитар көрінісі. Гильберт кеңістігін қарастырайық. Әрбір үшін түрлендіруін формуласы арқылы берейік. Әрбір үшін -ның унитар оператор екені анық. Сонымен бірге, кезкелген үшін болғандықтан, . Олай болса, бейнелеуінің қатаң үздіксіздігінен оның группасының кеңістігіндегі унитар көрінісі екенін көреміз. Фурье түрлендірулері теориясынан бұл көріністің кеңістігінің барлық инвариантты тұйық ішкі кеңістіктерін анықтайтыны шығады. 7) Гейзенберг группасының униатар көріністері. Гейзенберг группасын қарастырайық: . Нольден өзгеше нақты тұрақтыны қарастырып, оны тарихи қалыптасқан дәстүр бойынша арқылы белгілейік. Әрбір үшін кеңістігінің операторын (5) формуласы арқылы анықтайық. (5) формуланың оң жақ бөлігінің нормасы -тің нормасымен сәйкес келеді. Олай болса, – унитар оператор. Есептеулер жүргізейік: . Бұдан, бейнелеуінің Гейзенберг группасынан группасының ішіне гомоморфизм екенін көреміз. Ол қатаң үздіксіз, сондықтан гомоморфизмі Гейзенберг группасының Гильберт кеңістігіндегі унитар көрінісі болады. жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|