Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
Матрицалық Ли группасының Ли алгебрасына мысалдар
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
| 28.2 Матрицалық Ли группасының Ли алгебрасына мысалдар
Мысалдар қарастырайық. 1) . Экспоненциал матрицалардың 3) қасиеті бойынша кезкелген үшін – қайтымды матрица. Олай болса, группасының Ли алгебрасы барлық -ретті комплекс квадрат матрицалар кеңістігі болып табылады және арқылы белгіленеді, яғни 2) . Экспоненциал матрицалардың 3) қасиеті бойынша кезкелген үшін – қайтымды және нақты матрица. Сонымен қатар, егер барлық нақты үшін нақты болса, онда нақты болады. Олай болса, группасының Ли алгебрасы барлық -ретті нақты квадрат матрицалар кеңістігі болып табылады және арқылы белгіленеді, яғни 3) . 5-Теорема бойынша . Бұдан, егер болса, онда барлық нақты үшін . Сонымен қатар, егер барлық үшін теңдігі орындалатындай -ретті матрица болса, онда барлық үшін . Бұдан -тің барлық үшін -дің бүтін еселіктері екенін көреміз. Ал, бұл тек болған жағдайда мүмкін болады. Сонымен, группасының Ли алгебрасы барлық ізі нольге тең -ретті комплекс квадрат матрицалар кеңістігі болады екен, оны арқылы белгілейді: . 4) 5) ортогональ матрица болу үшін барлық нақты үшін немесе теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұл арада матрицасына экспоненциал матрицаның 3) қасиеті пайдаланылды. Соңғы теңдікті нүктесінде дифференциалдап, мынаны аламыз: . Сонымен, группасының Ли алгебрасы транспонирленгенде қарама-қарсы матрицаға тең болатын барлық -ретті нақты квадрат матрицалар кеңістігі болады екен, оны арқылы белгілейді: . 6) Алдыңғы мысалға ұқсас оңай есептеледі: Бірақ, болғанда болатынын ескерсек 7) ортогональ матрица болу үшін барлық нақты үшін немесе теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұл арада матрицасына экспоненциал матрицаның 3) қасиеті пайдаланылды. Соңғы теңдікті нүктесінде дифференциалдап, мынаны аламыз: . Сонымен, группасының Ли алгебрасы транспонирленгенде қарама-қарсы матрицаға тең болатын барлық -ретті комплекс квадрат матрицалар кеңістігі болады екен, оны арқылы белгілейді: . 8) Алдыңғы мысалға ұқсас оңай есептеледі: Бірақ, болғанда болатынын ескерсек 9) . унитар матрица болу үшін барлық нақты үшін немесе теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұл арада матрицасына экспоненциал матрицаның 2) қасиетін, ал матрицасына 3) қасиетін пайдаландық. Соңғы теңдікті нүктесінде дифференциалдап, мынаны аламыз: . Сонымен, группасының Ли алгебрасы транспонирлеп және барлық элементтерін комплекс түйіндес элементтермен алмастырғанда қарама-қарсы матрицаға тең болатындай барлық -ретті комплекс квадрат матрицалар кеңістігі болады екен, оны арқылы белгілейді: . 10) . Бұл ағдайда группасының Ли алгебрасы транспонирлеп және барлық элементтерін комплекс түйіндес элементтермен алмастырғанда қарама-қарсы матрицаға тең болатындай барлық ізі нольге тең -ретті комплекс квадрат матрицалар кеңістігі болады, оны арқылы белгілейді: . 11) , мұндағы . теңдігін сол жағынан -не, содан соң оқ жағынан -не көбейту арқылы теңдігін оңай алуға болады. екенін ескерсек, теңдігі аламыз. Егер -ретті нақты матрица болса, онда жалпылама ортогональ матрица болу үшін барлық нақты үшін немесе теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұл арада матрицасына экспоненциал матрицаның 6) қасиеті, ал матрицасына 3) қасиетін пайдаланылды. Соңғы теңдікті нүктесінде дифференциалдап, мынаны аламыз: . Сонымен, группасының Ли алгебрасы теңдігін қанағаттандыратын барлық -ретті нақты квадрат матрицалар кеңістігі болады екен, оны арқылы белгілейді: , мұндағы . 12) , мұндағы . болғанда болатынын ескерсек, , мұндағы . Жоғарыдағы есептеулерге ұқсас симплектикалық группалардың да Ли алгебраларын оңай есептеуге болады. Тек нәтижелерін келтіреміз. 13) , мұндағы . Бұл жағдайда , мұндағы . 14) , мұндағы . Бұл жағдайда , мұндағы . 15) . Бұл жағдайда, , мұндағы . 16) Гейзенберг группасы. түріндегі 3-ретті нақты квадрат матрица және кезкелген нақты үшін және екенін оңай көрсетуге болады. Шынында да, және . Олай болса, . және . Сонымен, Гейзенберг группасының Ли алгебрасы барлық 3-ретті қатаң жоғарыүшбұрышты нақты квадрат матрицалардан тұрады екен: . 17) Евклидтік группа: , мұндағы – нольдік нақты матрица (бір жолдан тұратын матрица) – нақты матрицалар (бір бағаннан тұратын матрицалар) жиыны. Егер кезкелген нақты үшін матрицасы -де жататындай матрица болса, онда матрицасы соңғы жолы нольдерден тұратын матрица болуы тиіс, яғни . Есептеулер жүргізу арқылы мыныны аламыз: . Онда
. Бұдан матрицасының -ге тиісті болуы үшін матрицасының -ге тиісті болуының қажетті және жеткілікті екенін көреміз. Олай болса, жоғарыдағы 5) мысал бойынша матрицасының -ге тиісті болуы үшін болуы қажетті және жеткілкті. Сонымен,
= . 18) Пуанкаре группасы: , мұндағы – нольдік нақты матрица (бір жолдан тұратын матрица) – нақты матрицалар (бір бағаннан тұратын матрицалар) жиыны. Алыңғы 17) мысалға ұқсас алынады. Нәтежесі: = , мұндағы Матрицалық Ли группасы емес кезкелген Ли группасы үшін де Ли алгебрасын анықтауға болады. Ол үшін бейнелеуі жалпы түрде анықталады. бейнелеуі ретінде Коши есебінің шешімін алуға болады. жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|