Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 29.1 Ли группасының көрінісі туралы түсінік – матрицалық Ли группасы, ал – нақты немесе комплекс сызықты кеңістік болсын. 1-Анықтама
- 2-Анықтама.
| Лекция 29-30
Тақырыбы: Ли группаларының көріністері. 29.1 Ли группасының көрінісі туралы түсінік. 29.2 Матрицалық Ли группаларының көріністері. 30.1 Матрицалық Ли группаласы мен оның Ли алгебрасының көріністері арасындағы байланыс. 30.2 Матрицалық Ли группаларының Ли алгебраларының көріністеріне мысалдар. 29.1 Ли группасының көрінісі туралы түсінік – матрицалық Ли группасы, ал – нақты немесе комплекс сызықты кеңістік болсын. 1-Анықтама. матрицалық Ли группасының сызықты кеңістігіндегі көрінісі деп группалық гомоморфизмін айтады. Бұл жағдайда сызықты кеңістігі көрініс кеңістігі, – үшін көрініс операторы деп аталады. Егер сызықты бейнелеу болса, онда ол сызықты көрініс, нақты кеңістік немесе комплекс сызықты кеңістік болса – сәйкесінше нақты көрініс немесе комплекс көрініс, ақырлы өлшемді кеңістік немесе ақырсыз сызықты кеңістік болса – сәйкесінше ақырлы өлшемді көрініс немесе ақырсыз көрініс деп аталады. Ақырлы өлшемді көріністерде: 1) – -өлшемді нақты сызықты кеңістік болса, , онда ақырлы өлшемді нақты көрініс түрінде жазылады; 2) – -өлшемді комплекс сызықты кеңістік болса, , онда ақырлы өлшемді нақты көрініс түрінде жазылады. Инъективті көрініс дәл көрініс деп аталады. Ли алгебрасының көрінісіне ұқсас матрицалық Ли группасының көрінісін оның сызықты кеңістікке әсері ретінде де қарастыруға болады (әрбір үшін сызықты кеңістігіне әсер ететін операторы табылады). Бұл жағдайда сызықты кеңістігі -модуль ұғымын енгізуге болады. 2-Анықтама. – матрицалық Ли группасы болсын. -модуль деп барлық үшін теңдігі орындалатындай бейнелеуі анықталған сызықты кеңістігін айтады. 1-Теорема. сызықты кеңістігіндегі -модульдік құрылым матрицалық Ли группасының сызықты кеңістігіндегі көрінісін бірмәнді анықтайды. Дәлелдеуі. – -модуль болсын. бейнелеуін , теңдігімен анықтайық. Одан әрі, ; (1) . (2) сызықты кеңістігіндегі -модуль болғандықтан (1) және (2) теңдіктердің сол жақ бөліктері тең, олай болса олардың оң жақ бөліктері де тең болады: , Бұдан , формуласымен анықталған бейнелеуінің гомоморфизм, олай болса оның матрицалық Ли группасының сызықты кеңістігіндегі көрінісі екенін көреміз. Керісінше, – матрицалық Ли группасының сызықты кеңістігіндегі көрінісі боса, онда сызықты кеңістігіндегі -модульдік құрылымды теңдігі арқылы анықтауға болады. 1-Теорема дәлелденді. Сонымен, матрицалық Ли группасы көрінісінің көрініс кеңістігін -модуль болып табылады екен. 3-Анықтама. – матрицалық Ли группасының сызықты кеңістігіндегі нақты немесе комплекс көрінісі және – -ның ішкі кеңістігі болсын. Егер кезкелген және кезкелген үшін болса, онда шкі кеңістігі көрінісіне қатысты инвариантты ішкі кеңістік деп аталады. және болатындай инвариантты ішкі кеңстігі тривиаль емес инвариантты ішкі кеңістік, ал тривиаль емес инвариантты ішкі кеңістігі жоқ көрініс келтірілмейтін көрініс деп аталады. -модульдер тілінде инвариантты ішкі кеңістік -ішкі модуль, ал келтірілмейтін көрініске сәйкес келетін -модуль жай -модуль деп аталады. 4-Анықтама. және Σ – матрицалық Ли группасының екі көрінісі болсын. Кезкелген және кезкелген үшін теңдігі орындалатындай сызықты бейнелеуі көріністердің байланыстырушы бейнелеуі деп аталады. Көріністердің қайтымды байланыстырушы бейнелеуі көріністер эквиваленсиясы, ал араларында эквиваленсия бар екі көрініс эквивалантті деп аталады. -модульдер тілінде эквивалентті көріністерге сәйкес келетін -модульдер изоморфты -модульдер деп аталады. Кей жағдайларда изоморфтылық көріністер үшін де пайдаланылады. Матрицалық Ли группаларының көріністері эквивалентілікке дейінгі дәлдікпен зерттеледі, яғни эквивалентті көріністер «бірдей» деп есептеледі. Матрицалық Ли группасы мен оның Ли алгебрасының көріністері арасындағы байланыс келесі теорема арқылы анықталады. 2-Теорема. – матрицалық Ли группасы, – оның Ли алгебрасы және – ақырлы өлшемді нақты немесе комплекс көрініс болсын. Онда кезкелген үшін теңдігі орындалатындай Ли алгебрасының бір ғана көрінісі бар болады. көрінісі формуласы арқылы есептеледі және кезкелген және кезкелген үшін теңдігін қанағаттандырады. Дәлелдеуі. Жалпы жағдайда, әрбір Ли группалары гомоморфизміне олардың Ли алгебраларының ассоциацияланған гомоморфизмі бар болатыны белгілі (4-параграфтағы 8-теорема). және деп аламыз. группасының Ли алгебрасы болғандықтан ассоциацияланған Ли алгебралар гомоморфизмі -ді -ға бейнелейді, сондықтан Ли алгебрасының көрінісін анықтайды. көрінісінің қасиеттері 4-параграфтың 8-теоремасындағы -дің сәйкесті қасиеттерінен шығады. 2-Теорема дәлелденді. Байланысқан матрицалық Ли группасының келтірілмейтін көрінісіне оның Ли алгебрасының да келтірілмейтін көрінісі, сол сияқты байланысқан матрицалық Ли группасының эквивалентті көріністеріне оның Ли алгебрасының да эвивалентті көріністері сәйкес келеді. 5-Анықтама. – матрицалық Ли группасы, – Гильберт кеңістігі, – -тағы унитар операторлар группасы болсын. Онда келесі үздіксіздік қасиетті қанағаттандыратын гомоморфизмі группасының унитар көрінісі деп аталады: Егер және болса, онда барлық үшін . Тривиаль емес инвариантты тұйық ішкі кеңістігі жоқ унитар көрініс келтілмейтін унитар көрініс деп аталады. Бұл анықтамадағы үздіксіздік шарты қатаң үздіксіздік деп аталады. жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|