Алдабергенов а. К. М а т е р и а л д а р к е д е р г

 
101 
 4. Тік  кернеудің  максимал  шамасы  қауыпты  қиманың  қауыпты  нүктесінде  пайда  
болатыны  күмән  тудырмайды.  Олай  болса,  
max
max
max
max
y
I
M
z


                                          
   Арқалықтың  иілудегі  беріктік  шарты  былай  жазылады:  
 
.
max
max
max




z
W
M
                                       
   
  Жанама  кернеу   мына  кейіптемемен  анықталады:
     
b
S
I
Q
кил
z
z



                                            
мұнда   τ – толық  жанама  кернеудің  вертикаль  құраушысы;  Q  – қарастырып  отырған  
қимадағы  жанама  күш;  S
z
қил
  –  қиманың  қиылған  бөлігінің (шабақталған)  z  осьіне  
қарағандағы  статикалық  моменті; z  – қиманың  ауырлық  центрі  арқылы  өтетін  бейтарап  
ось;  b  –  қарастырып  отырған  нүкте  деңгейіндегі  қиманың  ені
. 
   Жанама  кернеу  кейіптемесін  шығарғанда  төмендегідей  жорамалдар  алынған:  тік  
кернеу  таза  иілуде  алынған  (5.1)  кейіптемесімен   анықталады;  жанама  кернеулер  
(вертикаль)  қима  ені  бойынша  біркелкі  таралады;   қиманың  пішіні  мен  өлшемдері  
арқалық  бойында  өзгермейді,  яғни  тұрақты  болады. 
b
S
I
Q
кил
z
z



  
кейіптемесінен  байқаймыз: 
  1. Жанама  күштің  ең  үлкен  шамасы  ең  үлкен  жанама  күш (
max
Q
)  әсер  ететін  қимада  
болады.  Бұл  қиманы  қауыпты  қима  дейді.   Онда    
b
S
I
Q
кил
z
z


max
max

 .                                     
2.  Жанама  кернеудің  ең  үлкен  шамасы  ( 
кил
z
S
/b)
max  
мәні  максимал  болған  нүктеде  пайда  
болады.  Бұл  нүктені  қауыпты  нүкте  дейді.  Осы  қимада  
max
max








b
S
I
Q
кил
z
z

                                   
 3. Жанама  кернеудің  максимал   шамасы  қауыпты  қиманың  қауыпты  нүктесінде  пайда  
болатыны  түсінікті  және  былай  анықталады: 
max
max
max
max








b
S
I
Q
кил
z
z

                               
  Арқалықтың  жанама  кернеу  бойынша  беріктік  шарты  мына  түрде  жазылады:                                                                     
                                         
]
[
max
max
max
max











b
S
I
Q
кил
z
z
                              
Арқалық  иілгенде  деформацияның  екі  түрі  пайда  болады: 
         ν   –  осьтің  иілу  мөлшері;   θ   –  қиманың  бұрылу  бұрышы. 
   Бұл  деформацияларды  анықтағанда  мынандай  жорамалдар  енгізілген: 
арқалық  талшықтары  бірін – бірі  қыспайды;  осьтің  барлық  нүктелері  қатаң  түрде  
вертикаль  бағытта  орын  ауыстырады;   қиманың  барлық  нүктелері  вертикаль  бағытта  
бірдей  шамаға  орын  ауыстырады;  тік  кернеу σ
х ,  
демек
   
бойлық  салыстырмалы  
деформация  ε
х
,  қима  ені  бойынша тұрақты. 
  
        
  Иілу  мөлшері   ν   мен  бұрылу  бұрышы   θ – ның  арасында төмендегідей  
дифференциалдық  байланыс  бар  енені  дәлелденген:           
x
v
dx
dv
,



                                         
  Арқалықтың  иілген  осьі (серпімділік  сызығы)  мына  дифференциальдық  теңдеумен  
өрнектеледі:  
M
v
EI
dx
v
d
EI
xx
z
z



,
2
2
. Бұл  теңдеуінің  оң  жақ  бөліміндегі  таңбалар  у  
осьінің  бағытына  байланысты.  Егер  у  осьін  жоғарыға  бағыттасақ  < + >, ал  төменге  
бағыттасақ  < – >  таңбаларын  алу  керек. Әрі  қарай  осы  теңдеуді  мына  түрде  
қарастырамыз  E I
z
  ν,
xx
  =  – M                                            

 
102 
  Арқалықтың  бекітілген  жерлерінде  θ немесе  ν деформациялары алдын  ала  белгілі  
болады. Олар  есепің  шеткі  шартын  құрайды. Шеткі  шарттың  саны  әрқашан  2  тең. Осы  
шарттар  математика  тілімен  былай  жазылады: 
 1. Арқалықтың  сол  шеті  (х = 0)  қатаң  бекітілген:  а)  х =  0  болғанда, θ  = 0; 
                                                                                           б)  х = 0   болғанда,   ν  = 0.               
 2. Арқалықтың  оң   шеті (х = L) қатаң  бекітілген:  а)  х = L  болғанда,   θ  = 0;                                                 
                                                                                         б)  х = L  болғанда,   ν  = 0.                   
 3. Қос  тіректі  арқалық.: а)  х = 0  болғанда, ν = 0;  б) х = L  болғанда,    ν = 0.                                                                
    Мор  интегралдарының  қысқартылған  түрі:  
z
e
p
l
EI
M
M



dx                                           
    Мұнда    М
р
 – сыртқы  жүктен   пайда  болатын  ию  моменті; М
е
 – бірлік  жүктен  (Р = 1 
немесе   М = 1)  сол  қимасында  пайда  болатын  ию  моменті; 
EI
z
   – иілудегі  арқалық  қатаңдығы;  Δ – арқалық  деформациясы (θ немесе  ν ). 
   Интегралдың  төменгі  және  жоғарғы  шектері  х  аргументінің  аралық  басы  мен  соңы  
координаталарына  сәйкес  мәндерін  көрсетеді.  
  Арқалық  деформацияларын  Мор  интегралы  бойынша  анықтағанда төмендегі  тізбектеуді  
сақтауды  ұсынамыз: 
      1.Арқалықтың    әр   аралығы   үшін    қималарда    сыртқы    жүктерден    пайда   болатын   ию  
моменттерінің М
p
 өрнектері  жазылады ( х  арқылы  өрнектелген).  
      2. Деформация  анықталатын  қимаға бірлік  жүк  түсіріледі: 
          а)  жүк  Р = 1,  егер  иілу  мөлшері  анықталатын  болса; 
          б) момент  М = 1, егер  бұрылу  бұрышы  анықталатын  болса. 
     3.  Арқалықтың    әр    аралығы    үшін    қималарда    бірлік    жүктен    пайда    болатын    ию  
моменттерінің М
е
 өрнектері  жазылады ( бұрынғы  қималарда).  
      4. Арқалықтың  әр  аралығы  үшін  (5.15)  интегралы  жазылады.  Бұл  интегралдарға  1  – 
ші және  2 – ші  баптарда  келтірілген  М
р
  және  М
е
  ию   моменттері  өрнектері  енгізіледі.  
Осы  интегралдарды  есептеп,  нәтижелерін  қосып,  іздеген  деформацияларды  табады. 
 Бұл    әдісті    қолданғанда    есте    ұстайтын    мәселе,    деформациясы    анықталатын    қима  
аралықтардың  бір  шеті  болады. 
Верещагин  әдәс  төмендегі  шарттар  сақталғанда  қолданылады:  а)  арқалық  аралықтары  
түзу  сызықты;  б)  аралықтың  қатаңдығы  тұрақты;  в)  М
р
   немесе   М
е
  моменттері  
эпюраларының  біреуі  түзу     сызықты.   
 Верещагин  әдісін  мына    түрде  жазылады:   

l
М
р
 · М
е
 dx  =  ω  у,                                          
мұнда  ω –  бір эпюраның (қисық  сызықты)  ауданы; у –  бірінші   эпюрасының  ауырлық  
центрі  турасында  жатқан  екінші  момент  эпюрасының  ординатасы.  
     Верещагин  әдісі  қолданғанда  төмендегі  тізбектеуді  сақтауды  ұсынамыз: 
1Сыртқы жүктерден ию моменті  М
р  
эпюрасы тұрғызылады. 2. Деформация  анықталатын  
қимаға  бірлік  жүк  (Р =1 немесе  М = 1) түсіріледі. 3. Осы  бірлік  жүктеуден  тағы  да  ию  
моменті  М
е   
эпюрасы  тұрғызылады.. 4.   1) –ші және 3) -ші  баптарда  тұрғызылған  
эпюралар  бір – бірімен  көбейтіледі.  Көбейту  нәтижесін   EI
z
  – ге    бөлсек,  іздеген  
деформация  табылады. 
  Верещагин  әдісін  қолдану  ыңғайлы,  егер  екі  эпюра  да   сызықты  болса.      
Симпсон    кейіптемесі    былай    жазылады   
)
4
(
6
·
cd
kf
ab
L
M
M
e
p



                              
Мұнда  L – қарастырып  отырған  аралықтың  ұзындығы;  а, b, k, f, c, d – осы  аралықтағы  ию  
моменті  эпюраларының  ординаталары. 
 
        
                                    

 
103 
                                              Күрделі  қарсыласу.  Қиғаш  иілу 
     Элементтердің  бір  уақытта   қарапайым  деформациясының  екі  немесе  одан  да  көп 
түрлеріне  ұшырайтын  жағдайларын  күрделі  қарсыласу  дейді. 
     Тік  кернеулер  шамасы  былай  анықталатыны  белгілі: бойлық  N күшінен – 
A
N



                                                    
ал   ию  моменттерінен   М
z
   и     М
y   
–   
y
I
M
z
z



  
z
I
M
y
y



.    N,  Mz  және  My   ішкі  
күштерінен  қарастырып  отырған  нүктеде  созылу  пайда  болса,  кейіптемеде осы  күш  
алдында  < + >  таңбасы,  ал  сығылу  пайда  болса –  < – > таңбасы  алынады.         
   Элементтің  бір  мезгілде  бір – біріне  перпендикуляр  екі  жазықтықта  иілуін  қиғаш  иілу  
деп  атайды. Бұл  жағдайда  кернеу  тең: 
z
I
M
y
I
M
y
y
z
z




                                            
  Толық  ию  моментіні М  шамасы былай  анықталады: 
2
2
y
z
M
M
M


 
Бейтарап  осьтің  теңдеуі  мына  түрде  өрнектеледі:


tg
I
I
tg
y
z

, мұнда  β –бейтарап  осьпен  
z  осьі  арасындағы  бұрыш,  α – толық  момент  пен  у осьі  арасындағы  бұрыш. 
   Жалпы  жағдайда  (I
z
    пен  Iy  бір – біріне  тең  емес)  β  бұрышы    α  бұрышына  тең  емес,  
яғни  бейтарап  ось  толық  ию  моменті  әсер  ететін  жазықтыққа (толық  моментке) 
перпендикуляр  болмайды.Ол перпендикуляр болады (β = α),  егер I
z
 = Iy (қима дөңгелек, 
квадрат, сақина  тәріздес, дұрыс  көпбұрыш  болса). 
    Тік  кернеудің  ең  үлкен  шамасы  бейтарап  сызықтан  ең алыс жатқан нүктеде  пайда  
болады. Бұл  нүктені  қиманың  қауыпты  нүктесі  дейді. 
    Қиғаш  иілуде  қауыпты  қима  орнын  бірден  анықтау  көп  жағдайда  мүмкін  емес.  Ол  
үшін  бірнеше  қиманың  беріктігін  тексеріп,  содан  кейін  ғана  қауыпты  қиманы  табуға  
болады. 
    Қиғаш  иілуде  элементтің  беріктік  шарты  мына  кейіптеме  түрінде  жазылады:      
]
[
0
0



z
I
M
y
I
M
y
y
z
z
,    y
0
   и  z
0
   – қауыпты  нүкте координаталары. 
Центрден  тыс  созылу (сығылу) 
  Жүк  түсірілген  нүктені  полюс  деп  атайық. Элементтің  кез  келген  х  қимасында  
мынандай  ішкі  күштер  пайда  болады:  бойлық  күш  N =  Р;   ию  моменттері  М
z
   =  Р  у
p
 ;  
Мy  =  Р  z
p
 ,  у
p
   және  z
p 
–    полюс  координаталары. 
  Центрден  тыс  созылуда (сығылуда)  қиманың   кез  келген  нүктесіндегі  тік  кернеу  былай  
анықталады: 
z
I
M
y
I
M
A
N
y
y
z
z





. 
   Бұл  кейіптеменің  бірінші  қосылғышының  алдындағы  таңбаны  центрден  тыс  созылуда 
<  +  >    деп,    ал    центрден    тыс    сығылуда    <  –  >    деп    алу    керек.  Екінші    және    үшінші  
қосылғыштардың  алдындағы  таңбалар  қиғаш  иілудегі  сияқты  алынады. Бұл  кейіптеме  
былай  да  жазылады   












2
2
1
y
p
z
p
i
z
z
i
y
y
A
P

 
Нөлдік (бейтарап)  сызықтың  теңдеуін  келтірейік: 
p
y
z
z
i
a
2


 
p
z
y
y
i
a
2


                              
 а
y
 , а
z 
 –  у және z осьтерінен бейтарап  осьпен  қиып  түсірілген  кесінділер.   
 Осы  өрнектерден  центрден  тыс  созылудағы (сығылудағы) бейтарап  осьтің  төмендегідей  
қасиеттері   шығады:  бейтарап  сызықтың  орыны  Р  жүгінің  шамасы  мен  таңбасына  
тәуелсіз  (кейіптемеде  Р  жүгі  жоқ);  бейтарап  сызық  пен  полюс  қиманың  ауырлық  
центрінің  екі  жағында  жатады  (өрнектің  оң  және  сол  жақтарында  таңбалары  әртүрлі);  
қиманың  ауырлық  центрінен  полюс  алшақтаған  сайын  ( z
p
  және  у
p   
өседі)  бейтарап  
сызық  оған  жақындай  түседі  ( а
z
  және  а
y  
азаяды)   және  керісінше;  егер  полюс  бір  ось  

 
104 
бойында  орналасса,  бейтарап  сызық  осы  оське  перпендикуляр  болады; егер  полюс 
кез  келген  түзу  бойында  орын  ауыстырса, бейтарап  ось  бір нүктенің  төңірегінде  
айналады  (бұл  қасиет  дәлелдегеннен  кейін  алынған). 
    Қимадағы    ең    үлкен    тік    кернеу    оның    бейтарап    осьтен    ең    алыс    жатқан    нүктесінде  
туындайды.    Бұл    нүктені    қауыпты    нүкте    дейді.    Айта    кетелік,    әр    аймақта  (созылған  
немесе  сығылған)  өзіндік  қауыпты  нүктелері  болады. 
   N,  M
z
   және  My  ішкі  күштері  шамалары  қима  орнына  тәуелсіз ( х  жоқ). Сондықтан  
элементтің  кез  келген  қимасы  қауыпты  қима  болады. 
  Центрден  тыс  созылуда (сығылуда)  элементтің  беріктік  шарты  балай  жазылады:  
]
[
1
2
2













y
p
z
p
i
z
z
i
y
y
A
P
.Айта  кетелік, центрден  тыс  созылған  элементті  беріктікке  
есептегенде  1 – дің  алдына  плюс,  ал  екінші  және  үшінші  қосылғыштар  алдына  плюс,  
егер  созылған  аймақ  тексерілсе,  –  минус,  егер  сығылған  аймақ  тексерілсе.      
 Центрден  тыс  сығылуда  беріктікке  есептегенде  1 – дің  алдына  минус,  ал  екінші  және  
үшінші  қосылғыштар  алдына  плюс,  егер  созылған  аймақ  тексерілсе,  минус,  егер  
сығылған  аймақ  тексерілсе.      
 
Стерженьдердің  орнықтылығы 
  Стерженьнің  орнықтылығын  жоғалта  иілуін  бойлық  иілу  дейді. 
  Стерженьнің  түзу  осьін  майыстыратын  ең  кіші сығыушы  күшті  аумалы  күш  деп  атайды  
(бірінші  анықтама). 
  Болмашы  майысқан  стерженьді  сол  майысқан  күйінде  ұстап  тұра  алатын  ең  кіші  
сығыушы  күшті  аумалы  күш  дейді (екінші  анықтама). 
Эйлер 1744  жылы  аумалы  күшті  анықтайтын  төмендегі  кейіптемені  алған: 
2
0
min
2
L
EI
Р
а


.                                                
мұнда  I
min
 –  қиманың  екі  осьтеріне  қарағандағы  инерция  моменттерінің  (I
z
    немесе  I
y
 )  
кішісі;  L
0
  =  μ L – стерженьнің  келтірілген  ұзындығы;  μ –  ұзындықты  келтіру  
коэффициенті. Ол  стержень  шеттерінің  бекіту  түрлеріне  байланысты  және   шамасы  былай  
анықталады: а)  стерженьнің  бір  шеті  қатаң  бекітіліп,  екінші  шеті  бос  болса –  μ  = 2,0;      
б)  стерженьнің  екі  шеті  де  топсалы  тіректермен бекітілген  болса –     μ  = 1,0; 
в) стерженьнің бір шеті  қатаң, ал екінші шеті  топсалы тірекпен  бекітілген  болса  –   μ  =   0.7; 
г) стерженьнің  екі  шеті  де  қатаң  бекітілген  болса  –    μ   = 0.5. 
Стерженьнің  ең  үлкен  иілгіштігі : 
min
0
max
i
L


, 
ал  шекті  иілгіштігі:  
пц
шек
E



2

                                                                                                                                                          
Эйлер  кейіптемесі  қолданылатын  шарт  былай  жазылады:  λmax  ≥ λ шек .Бұл  стерженьді  
үлкен  иілгішті  стержень  дейді.  Сонымен, Эйлер  кейіптемесі  үлкен  иілгішті  стерженьдер  
үшін  қолданылады Стерженьнің  шекті  иілгіштігі  материалға тәуелді. Болат3  үшін  Е = 2,1 · 
10
7
   Н / см
2
  ,   σ
пц
.  = 2 · 10
4
   Н / см.
2
 . Сонда  жоғарыдағы  кейіптемеден  аламыз   λ
шек
  =  100.  
 
 
Егер  стерженьнің  иілгіштігі  мына  шартты:  λ
0
   <   λ  max   <   λ пр  қанағаттандыратын  
болса,  оны  орта  иілгішті  стержень  дейді. λ
0 
– әр  материал  үшін  эксперимент  нәтижесінде  
анықталатын  стержень  иілгіштігі.  Мысалы,  болат3   үшін    λ
0
 =  40.  Бұл  стерженьдер  үшін  
Ф.С.Ясинский эксперимент нәтижелері  негізінде  мынадай  кейіптемені  ұсынған:  
 σ
а
   =  a  –  b  λmax  –  пластикалық  материалдар  үшін;  σ
а
 = a – b  λmax + c  λmax  – морт  
материалдар   үщін.   а,  b  және  c  –-  материалға  тәуелді  коэффициенттер.  Онда  аумалы  
күш  шамасы  мына  кейіптемемен  анықталады: Р
а
   =  А  σ
а
  
Кіші  иілгішті  стерженьдер: λmax   <  λ
0
   үшін  аумалы  кернеулер  шамасы  қауыпты  
кернеулер  шамасына  тең  деп  алынады, яғни  σ
а
  =  σ
қ
  немесе  Р
а
    =  А σ
қ 
. 
  Мұнда  σ
қ
  =  σ
ақ
   
(аққыштық  шегі) –  пластикалық  материалдар  үшін;  σ
қ
  =  σ
б
  (беріктік  шегі) –  морт    
материалдар  үшін. 

 
105 
  Сығылған  стерженьнің  жұмыс  істеуі  сенімді  болуы  үшін  оны  ең  бірінші  мына  
шартпен: 
]
[


A
P
 
беріктікке,
 
одан  кейін  келесі  шартпен  
]
[



A
P
орнықтылаққа  тексереді. 
Мұнда,  φ – бойлық  иілу  коэффициенті.  Оның  шамасы  стерженьнің  материалы  мен  
иілгіштігіне  тәуелді. 
  Ерекше  айта  кетейік,  беріктікке  есептегенде  жергілікті  ауданның  әлсіретілуі  ескеріледі  
(нетто),  ал  орнықтылыққа  есептегенде – жергілікті  ауданның  әлсіретілуі  ескерілмейді  
(брутто).   
 Орнықтылық  шарты  негізінде  үш  түрлі  есеп  шығарылады:: 
  
1. Тексеру  есебі. Қиманың  берілген  өлшемдері  мен  пішініне  қарай  оның  ауданы А - ны, 
ең  кіші  осьтік  инерция  моменті  I
min
 – ді  және  минимал  инерция  радиусы  i
min
 – ді  
анықтайды. Содан  кейін  стержень  шеттерінің  бекітілген  шарттарын  ескеріп,  оның  
иілгіштігін  табады. Әрі  қарай  стержень  иілгіштігі  бойынша  кестеден  бойлық  иілу  
коэффициенті  φ  таңдап  алынады. Сосын  қарастырып  отырған  Р  жүгі  үшін     орнытылық  
шартын  тексереді. 
  2. Мүмкіндік  жүкті  анықтау. Жоғарыда  келтірілген  тексеру  есебіндегідей  бойлық  иілу  
коэффициенті  φ – ді таңдап  алады.  Содан  кейін,   орнықтылық  шартынан  мүмкіндік  жүкті  
былай  табады:  [Р]  =   φ  А [σ].                                               
  3. Қиманы  таңдап  алу.  Берілген  қима  пішіні  белгісіз  а   шамасымен өрнектеледі.  Содан  
кейін  жалпы  түрде  қиманың  ауданы  А – ны,   ең  кіші  осьтік  инерция  моменті  I
min
 – ді  
және    минимал    инерция    радиусы    i
min
  –  ді    анықтайды.  Әрі    қарай    стержень    шеттерінің  
бекітілген    шарттарын    ескеріп,    оның    иілгіштігін    табады.  Есептің    бірнеше    қайта  
шешілетінін  ескеріп,  қиманы  таңдап  алуда  төмендегідей  тізбектеуді  қолдану  ұсынылады: 
   а)  бойлық  иілу  коэффициентінің  мәнін  еркін түрде  алады (0  мен  1 шектері арасында).  
Әдетте,  φ  = 0.50  бастаған  жөн;  б)   (7.15)  орнықтылық  шартынан  көлденең  қиманың  
қажетті  ауданын  Атр анықтайды; в)  қажетті  Атр  ауданы  бойынша,  жалпы  түрде  алынған 
аудан  өрнегін  ескеріп,  а  мәнін  табады; г)  а  мәні  бойынша   жалпы  түрде алынған  
өрнегінен  стерженьнің   λ
max     
иілгіштігін  анықтайды;  д) белгілі  иілгіштігі  бойынша  
кестеден  бойлық  иілу  коэффициенті   φ таңдап  алынады. 
 Есеп,  а)  бабында  алынған  және  д) бабында  кестеден  табылған  бойлық  φ      
коэффициеттері  бір – бірімен  сәйкестенгенше  немесе   5% - ке  дейін  ажырасқанша,  
қайталана  береді. 
Стерженьнің  орнықтылық  қоры  коэффициенті  мына  кейіптемемен  анықта:   
]
[P
P
k
a
a

                                                                                    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
106 
Қосымша 1. 
Қосымша  деректер
 
 

жүктеу/скачать 4 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: