Алматы 2017 январь

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

445 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

  3. Стационарные временные  ряды.  Пусть случайный процесс  определяется как семейство 

случайных  величин 

 





,  

x t

t

T



,  что  для  каждого  набора 

1

,

,

n

t

t



  значений 

t

T



  имеется 

совместная функция распределения случайных величин 

 

 

1

,

,

n

x t

x t



.  

  Будем представлять себе переменную 

t

 временем, 

T

  считать подмножеством вещественной 

оси.  Так,  в  некоторых  случаях 

T

  может  состоять  из  точек  арифметической  прогрессии.  В  этих 

случаях можно выбрать единицу времени таким образом, чтобы 

, 1,  0,   1,

T 









. Эти выборки 

образованы  значениями 

 

x t

  в  моменты 

1,

, n



  как 

,  

1,

,  

1

n h n h

n



 





.  Для  нашей  задачи 

произвольный случайный процесс  

 





,  

x t

t

T



  оказывается  слишком  общим  объектом, чтобы  его 

можно  было  достаточно  хорошо  изучать.  Мы  ограничимся  стационарными  процессами  или 

стационарными временными рядами. Имеется два важных, для нашей задачи, типа таких процессов.  

Стационарный в узком смысле процесс определяется тем свойством, что случайная величина  

 

   

 

 

 





1

,

,

n

x t

x t



                                                                 (4) 

 

при любых 

1

,

,

n

t

t



 и произвольном

h

 распределена одинаково с величиной  

 













1

,

,

n

x t

h

x t

h







.                                                            (5) 

 

Следовательно, распределение величины (4) зависит только от разностей 

 

2

1

3

2

1

,  

,  

 ,  

n

n

t

t

t

t

t

t











.                                                          (6) 

 

Справедливо  

Утверждение 1. Если 

 





,  

x t

t

T



 – стационарный в узком смысле процесс и 

 





x t

 

E

, 

то 

 





const

x t



E

при всех 

t

.  

Некоторые  из  наиболее  полезных  результатов  о  временных  рядах  верны  без  предположения  о 

стационарности процесса в узком смысле при следующих более слабых условиях: 1) 

 





0

x t



E

; 2) 

матрица ковариаций величин (5) не зависит от 

h

. Процессы

 





,  

x t

t

T



удовлетворяющие эти двум 

условиям,  называются  стационарными  в  широком  смысле.Это  означает,  что  матрица  ковариаций 

зависит только от разностей (6) и, следовательно, ковариация 





x t

h



 и 

 

x t

 (считать 

 





0

x t



E

)  

оказывается функцией только 

h

:  

 

 



  





 

 

x t

h x t

h







E

.                                                       (7) 

 

Рассматриваемая  как  функция 

h

, 

 

h



  называется  функцией  ковариаций  процесса 

 





,  

x t

t

T



; 

иногда 

её 

называют 

ковариацией 

с 

запаздыванием 

аргумента 

или 

автоковариацией  с  запаздыванием.  Коэффициент  корреляции  между 





x t

h



  и 

 

x t

  равен 

 

 

 

/

0

h

h









. 

Рассматриваемый 

как 

функция 

h

, 

 

h



называется 

сериальным 

коэффициентом корреляции процесса.Справедливо  

Утверждение  2.  Стационарный  в  узком  смысле  процесс  с  конечной  матрицей  ковариаций 

стационарен также в широком смысле.  

 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

446 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

4 Спектральная функция стационарного процесса 

4.1 Частный случай. Если рассматривать только два первых момента стационарного процесса, 

то  для  описания  процесса  достаточно  функции  ковариаций 

 

h



.  Покажем,  что  сама  функция 

ковариаций может быть выражена через спектральную функцию процесса. Рассмотрим сначала связь 

между функцией ковариаций и спектральной функцией для стационарного (вещественного) процесса:  

 

 

 





1

cos

,   

,   1,  0,   1,

,

r

p

p

p

p

x t

a

t

u

t





















                                      (8) 

 

где 

1

,  

,  

r

a

a



  –  вещественные  постоянные, 

1

,  

,  

r







  –  числа  из  интервала 





,  









, 

которые  можно  считать  упорядоченными: 

1

r











, 

1

,  

,  

r

u

u



  –  независимые  случайные 

величины,  каждая  из  которых  равномерно  распределена  на 





,  









.  Легко  доказать,  что 

совместное распределение величин  

 

 





1

,

,

n

x t

x t



 такое же, как 













1

,

,

n

x t

h

x t

h







, то есть 

процесс (8) стационарен в узком смысле. Также легко проверяется что при всех 

t

 для процесса (8)  

 

   

 









1

cos

r

p

p

p

p

x t

a

t

u











E

E

.                                                     (9) 

 

Для функции ковариаций  

 



  





 

h

x t

h x t







E

 имеем 

 

 

















, 

1

cos

  cos

r

p

q

p

p

q

q

p q

t

s

a a

s

u

t

u



















E

.                                 (10) 

 

Но 













cos

  cos

0,   

p

p

q

q

s

u

t

u

q

p













E

. Пользуясь тем, что при

q

p



 

























1

1

cos

cos

cos

2

cos

2

2

p

p

q

q

p

p

p

s

u

t

u

s t

u

s t























 находим  

 





















1

cos

  cos

cos

2

p

p

p

p

p

s

u

t

u

s t















E

.  

Следовательно, полагая 

t

s

h

 

, будем иметь 

 

 

 









 

2

1

1

cos

cos

2

r

p

p

p

h

a

h

h

dF



























,                                    (11) 

 

где 

 

F



 – неубывающая ступенчатая функция на





,  









, определяемая как  

 

 

 

2

1

2

p

p

F

a













.                                                                (12) 

 

В  конечных  точках  интервала 





,  













0

F







  и 





 

0

F









. 

 

F



  –  называется 

спектральной  функцией,  отвечающей  функции  ковариаций 

 

h



  из  (11).  Выражение 

 





 

cos

h

h

dF



















 называется также спектральным представлением 

 

h



.  

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

447 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

4. 2 Общий случай. Пусть теперь  

 

 

 

,  

,   1,  0,  1,  

x t

t 









  –                                                     (13) 

 

произвольный  вещественный  стационарный  процесс  с 

 





0

x t



E

  и  функцией  ковариаций 

 

h



. Для такого процесса 





 

h

h









. Теперь для этого случая определим функцию ковариаций 

 

h



.  Для любого целого 

M

определим функцию 

 

M

F



на





,  









 следующим образом:  

 

 

 





2

1

1 cos( )

cos( )

M

F

x

x M

d

M



























E



 









, 

1

1

(

) cos

cos

M

p q

p

q

p

q

d

M



























                                               (14) 





































 





1

1

sin

sin

sin

cos

0

1

(0)

2

2

2

2

M

M

p q

p

p

q

p q

p

p

M

p q

M

p

q

p q

p















 



 





























































 Функция 

 

M

F



  не  убывает  на





,  









, 





0

M

F







  и 





 

0

M

F









.  При 

M  

 

M

F



 

сходится к неубывающей функции 

 

F



 с  





0

F







 и 





 

0

F









. 

  Так  как 





 

h

h









,  достаточно  рассматривать  только  неотрицательные  значения 

h

  и, 

легко показать, что при

0,  1,  2,  

h 



 

 

 





 

cos

h

h

dF



















.                                                         (15) 

 

Используя  симметричность  приращений 

 

F



и  функции 





cos h



относительно 

0

 

,  (15) 

можно записать в виде  

 

 





 

0

2

cos

h

h

dF















.                                                       (16) 

 

 

F



называется 

спектральной 

функцией 

стационарного 

процесса 

 

x t

. 

Если 

 

F



абсолютно  непрерывна  и 

 

f



  –  её  производная,  то 

 

f



называют  спектральной 

плотностью процесса. Из полученного результата следует 

Утверждение  3.  Если

 

,  

,   1,  0,  1,  

x t

t 









–  вещественный  стационарный  процесс  с 

 





0

x t



жүктеу/скачать 28,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: