Алматы 2017 январь

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

440 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

 

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,

00

0,

04

0,

08

0,

12

0,

16

0,

20

0,

24

0,

28

0,

32

0,

36

0,

40

0,

44

0,

48

0,

52

0,

56

0,

60

0,

64

0,

68

0,

72

0,

76

0,

80

0,

84

0,

88

0,

92

0,

96

1,

00

time t

y

-v

a

lu

e

s

Solution

Exact values

 

 

Рис. 2. 

0.0005

 

, 

Ошибка по 

0.247



H

, 

50





, 

2

p 

. 

 

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,

00

0,

04

0,

08

0,

12

0,

16

0,

20

0,

24

0,

28

0,

32

0,

36

0,

40

0,

44

0,

48

0,

52

0,

56

0,

60

0,

64

0,

68

0,

72

0,

76

0,

80

0,

84

0,

88

0,

92

0,

96

1,

00

time t

y

-v

a

lu

e

s

Solution

Exact values

 

 

Рис. 3. 

0.0004

 

, 

Ошибка по 

0.319



H

, 

1





, 

200

M 

. 

 

  Вывод 1. Как видно, степень нелинейности  отвечает за точность получаемого решения за те 

значения, где время  близко  к нулю. Слабая сходимость  численного алгоритма рядом с точкой 

0

t 

 

может  быть  легко  объяснимо.  Когда  прямая  задача  (1)    –  (4)  решается  численно,  то  ошибка 

накапливается от 

0

t 

 до 

t

T



и таким образом наихудшее решение мы имеем при 

.

t

T



 Затем мы 

решаем  сопряжённую  задачу  от 

t

T



  до 

0

t 

  и  градиент 

 

( , )

I

y

t L







  имеет  наихудшую 

точность при 

0

t 

. Вот почему мы наблюдаем такую разницу в полученном и точном решении для 

значений близких к 

0

t 

. Скачок, наблюдаемы при 

t T



, возникающий межу численным и точным 

решением,  был  рассмотрен  в  работах  [10],  [11],  [12],  [13].Следует  отметить,  что  если  временной 

интервал  возрастает,  то  это  имеет  отрицательный  эффект  на  получаемом  решении.  Следующие 

эксперименты подтверждают этот факт.  

 

Эксперимент  2.  Для  всех  следующих  рисунков,  которые  представляют  численные  решения  в 

сравнении с точным решением, значение 

T

 установлено как  

10

T 

.  

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

441 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,

00

0,

40

0,

80

1,

20

1,

60

2,

00

2,

40

2,

80

3,

20

3,

60

4,

00

4,

40

4,

80

5,

20

5,

60

6,

00

6,

40

6,

80

7,

20

7,

60

8,

00

8,

40

8,

80

9,

20

9,

60

10

,0

0

time t

y

-v

a

lu

e

s

Solution

Exact values

 

 

Рис. 4. 

0.6

 

, 

Ошибка по 

1.368



H

, 

0.01





, 

1/ 2

p 

. 

 

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,

00

0,

40

0,

80

1,

20

1,

60

2,

00

2,

40

2,

80

3,

20

3,

60

4,

00

4,

40

4,

80

5,

20

5,

60

6,

00

6,

40

6,

80

7,

20

7,

60

8,

00

8,

40

8,

80

9,

20

9,

60

10

,0

0

time t

y

-v

a

lu

e

s

Solution

Exact values

 

 

Рис. 5. 

0.015

 

, 

Ошибка по 

0.470



H

, 

0.005





, 

2

p 

. 

 

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,

00

0,

40

0,

80

1,

20

1,

60

2,

00

2,

40

2,

80

3,

20

3,

60

4,

00

4,

40

4,

80

5,

20

5,

60

6,

00

6,

40

6,

80

7,

20

7,

60

8,

00

8,

40

8,

80

9,

20

9,

60

10

,0

0

time t

y

-v

a

lu

e

s

Solution

Exact values

 

 

Рис

. 6. 

0.4

 

, 

Ошибка по 

1.783



H

, 

0.1





, 

4

p 

, 

200

M 

. 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

442 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

  Вывод  2.  Как  мы  и  ожидали,  при  значениях,  близких  к 

0

t 

  численное  решение  имеет 

низкую  точность.  Мы  не  обращаем  на  низкую  точность  полученного  численного  решения  при 

значениях  времени,  близких  к 

t

T



,  так  этот  феномен  имеет  совсем  другую  природу,  описанную  в 

работах  [10],  [11],  [12].Также  мы  обращаем  внимание  на  тот  факт,  что  использовали 

200

M 

 

(количество  интервалов,  на  которые  делится  отрезок  времени)  для  эксперимента,  описанного  на 

последнем рисунке. Всё потому, что если бы мы взяли 

100

M 

, то алгоритм бы расходился. 

Большую трудность составляет выбор параметров 



 и 



. Неустранимая ошибка в численных 

алгоритмах не гарантирует то, что при высоких степенях нелинейности выбор меньшего значения 



 

приводит  к  более  точным  результатам.  Если  же  значение  параметра 



  слишком  мало  или  велико 

алгоритм может сходиться крайне медленно или вовсе расходиться.   

 

Эксперимент 3. 

Плохая сходимость, описанная на Рисунке 6, может быть улучена  при больших значениях 

M

.  

 

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,

00

0,

40

0,

80

1,

20

1,

60

2,

00

2,

40

2,

80

3,

20

3,

60

4,

00

4,

40

4,

80

5,

20

5,

60

6,

00

6,

40

6,

80

7,

20

7,

60

8,

00

8,

40

8,

80

9,

20

9,

60

10

,0

0

time t

y

-v

a

lue

s

Solution

Exact values

 

 

Рис.7. 

0.01

 

, 

Ошибка по 

0.686



H

, 

0.1





, 

4

p 

, 

500

M 

. 

 

Вывод  3.  Рисунок  7  подтверждает  все  предыдущие  заключения.  Скачок  при  финальных 

значениях  времени  в  смысле  нормы 

H

  уменьшается.  Увеличение  числа 

M

  (число  отрезков  на 

которые  делится  интервал  времени  в  численном  алгоритме)  приводит  к  тому,  что  ошибка 

накапливается в меньшей степени при 

0

t 

.  

Основные выводы. 

  1.  Высокие  степени  нелинейности  уравнения  (1)  вызывают  большие  ошибки  в  полученном 

численном решении. Для компенсирования ошибок в некоторой степени можно увеличивать частоту 

дробления  интервала  времени  в  численном  алгоритме.  При  этом  накопленные  ошибки  вызывают 

наибольшие отклонения между точным и полученным решением при начальных значениях времени.  

  2.  Выбор  параметров 



  и 



  вызывает  сложности.  Ошибка  в  численных  алгоритмах  не 

гарантирует более точные результаты при выборе меньшего значения 



. Если же значение параметра 



 слишком мало или велико алгоритм может сходиться крайне медленно или вовсе расходится.   

Замечание.  В  последнее  время  при  использовании  градиентных  методов  в  задачах 

оптимального  управления  и  обратных  задачах  математической  физики  с  целью  повышения 

эффективности  алгоритма  часто  сначала  проводится  дискретизация  системы,  а  уже  потом  ищется 

градиент  функционала  [15].

 

Эти  вопросы  рассматривались  также  автором [13]в  комплексе  с 

обсуждаемыми  проблемами,  но  для  линейного  случая.  Можно  ожидать,  что  в  задаче  со  степенной 

нелинейностью на большом интервале времени эта методика окажется достаточно эффективной. 

 

 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

443 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

ЛИТЕРАТУРА 

[1]

Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи.–Новосибирск: Сибирское Научное 

Издательство, 2009. –  454 с. 

[2]

Demir A., Hasanov A.  Identification of the unknown diffusion coefficient in a linear parabolic equation by 

the semigroup approach // J. Math.  Anal. Appl.– 2008. – V. 340. –N 1. – Р. 5-15. 

[3]

Vabishevich P.N. Numerical solution of determining the right side of parabolic equation //  ИзвестияВузов. 

Математика. –  2003. – № 1. –  С. 30-38.

 

[4] 

Самарский  А.А.,  Вабищевич  П.Н.  Численные  методы  решения  обратных  задач  математической 

физики. –Издание третье. – М.: Издательство ЛКИ, 2009. – 480 с. 

[5]

  Лионс  Ж.-Л.  Оптимальное  управление  системами,  описываемыми  уравнениями  с  частными 

производными. – М.: Мир, 1972. – 416 с. 

[6]

Кабанихин  С.И., Бектемисов  М.А., Нурсеитова  А.Т.  Итерационные  методы  решения  обратных  и 

некорректных  задач  с  данными  на  части  границы. –  Алматы-Новосибирск:  ОФ  «Международный  фонд 

обратных задач», 2006. – 432 с. 

[7]

Neittaanmaki  P.,  Tiba  D.  Optimal  control  of  nonlinear  parabolic  systems. Theory,  Algorithms  and 

Applications.  – New York: Marcel Dekker, 1994. – 400 p. 

[8] 

Фурсиков А.В.  Оптимальное  управление  распределенными  системами.  Теория и приложения.  

– Новосибирск: Научная книга. – 1999. – 352 с. 

[9]

 Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. –Boston:Academic Press,1993. –435 p. 

[10] 

Шакенов  И.К.  Обратные  задачи  для  параболических  уравнений  с  неограниченным  временем  // 

Вестник КазНУ, серия математика, механика, информатика. – 2011. – № 3 (70). – С. 36-48. 

[11] Shakenov I. Two Approximation Methods of the Functional Gradient for a Distributed Optimization Control 

Problem  //  Applied  and  Numerical  Harmonic  Analysis.  Methods  of  Fourier  Analysis  and  Approximation  Theory  © 

Springer International Publishing Switzerland. Birkhäuser.  2016.  – P. 225-235. 

[12]  Shakenov  I.    Comparing  different  degrees  of  nonlinearity  for  inverse  problem  for  parabolic  equation  // 

Bulletin  Al-Farabi  Kazakh  National  University,  Mathematics,  Mechanics,  Computer  Science  Series.  –  2014.  –  №  4 

(83). – P. 3-11.

 

[13]

Shakenov I. Different degrees of nonlinearity for inverse problem for parabolic equation // V International 

Conference on Optimization Methods and Applications “OPTIMIZATION AND APPLICATIONS (OPTIMA-2014)”, 

Petrovac, Montenegro, September 2014. ABSTRACTS. –Moscow, 2014. – P. 167-168. 

[14] Самарский  А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983. – 550 с. 

[15], Албу А.Ф., Зубов В.И.  Вычисление градиента функционала в одной задаче оптимального 

управления, связанной с кристаллизацией металла // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2009.  –Т. 49. 

– № 1. –С. 51-75.

 

 

 

Шакенов И.Қ.  

Шексіз  уақытты  параболалық  теңдеулер  үшін  сызықты  емес  шекаралық    кері  есебін  сандық 

зерттеу 

Түйіндеме.   Бұл  мақалада  шексіз  уақытты  параболалық  теңдеулер  үшін  сызықты  емес  шекаралық  кері 

есептері  сандық  зерттеледі.  Сандық  зерттеу  барысында  уақыт  айнымалысы  өскен  сайын  сандық  шешімі 

орнықсызданатыны  анақталады.    Сонымен  қатар  сызықсыздықтың  дәрежесі  сандық  шешімдеріне  қалай 

ықпалын  тигізетіні  және  уақыт  интервалы  өшемдерінің  сандық  алгоритміне  әсерінің  эффектілігі  көрсетілген.  

Осы есепті бұрандары ешкім сандық әдістерімен зерттемеген.  

 

Негізгі  сөздер: шекаралық  кері  есебі,  параболалық  теңдеу,сызықсыздық,  шектелмегендік,  тиімділік 

есебі, сандық шешім, алгорит. 

 

Shakenov I. K.  

Numerical  analysis  of  solution  the  nonlinear  boundary  inverse  problem  for  parabolic  equations  with 

infinite horizon of time 

Summary.  The work describes the boundary inverse problems for nonlinear parabolic equations on unbounded 

time interval. Numerical solution shows instability  while time interval grows. Also shown degree  of nonlinearity and 

size of time interval influences on effectiveness of algorithm.  

Key words: boundary inverse problem, parabolic equation, nonlinearity, unboundedness, optimization problem, 

numerical solution, algorithm.

 

 

 

 

 

 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

444 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

УДК 519.218 

 

К.К. Шакенов 

1

, О.Б. Кенжалиев

2 

(

1

 

Казахский национальный университет имени аль-Фараби,  

2 

ИЛ «Суперкомпьютерные технологии и программное обеспечение»,  АО «КБТУ», 

 Алматы, Республика Казахстан) 

 

РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ  

 

Аннотация. В  статье  рассматривается  общая  задача  прогноза,  задача  линейного  прогнозирования, 

стационарные  временные  ряды,  спектральные  функции  стационарных  процессов,  оценки  спектральных 

функций,  задача  линейного  прогнозирования  стационарных  процессов  и  экстраполяция  функции.  Решается 

конкретный  пример  –  прогноз  цены  на  нефть  сорта  Brentна  Лондонской  международной  нефтяной  бирже 

стохастическим методом линейного прогнозирования стационарных процессов и экстраполяцией. 

 

Ключевые  слова: прогноз,  линейное  прогнозирование,  стационарный  временной  ряд,  функция 

ковариаций, 

спектральная 

плотность 

распределения, 

математическое 

ожидание, 

экстраполяция, 

интерполяционный полином Ньютона.  

 

Общая задача прогноза 

1.  Прогнозирование.  Предположим,  что  стационарный  в  широком  смысле  процесс 

 





,  

x t

t

T



 

наблюдается 

в 

моменты 

времени 

0

t

T



, 

где 





0

0

:  

T

t

T

t

t







 

либо 





0

0

0

:  

,  

0

T

t

T

t

h

t

t

h





  



.  Требуется  на  основе  этих  наблюдений  дать  наилучший 

среднеквадратичный прогноз этого процесса в некоторый будущий момент 

0

 (

0)

t

t

 









, то есть 

требуется найти такой функционал 

 

 





0

,  

t

y t

g

x t

t

T









 от значений процесса 

 

x t

 в моменты 

0

t

T



, чтобы  

 

 

 

 

2

2

1

x t

y t

x t

y t















E

E

,                                                (1) 

 

где 

 

1

y t



 – любой другой функционал от значений процесса 

 

x t

 в моменты 

0

t

T



.   

2.  Линейное  прогнозирование.  Пусть  функционал 

 

y t



  ищется  в  классе  линейных 

функционалов от значений процесса 

 





,  

x t

t

T



 в моменты времени 

0

t

T



, то есть  

 

 

0

( ) ( )

s T

y t

C s x s









  (дискретное время)                                          (2) 

либо       

 

0

( ) ( )

T

y t

C s x s ds







  (непрерывное время).                                     (3) 

  В случае непрерывного времени даже для сравнительно простых классов процессов функция 

( )

C s

 в (3) оказывается обобщенной.  

Задача линейного прогнозирования допускает простую геометрическую интерпретацию.  Пусть 

x

жүктеу/скачать 28,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: