Алматы 2017 январь

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

448 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 



  

 

0,    

0,

cos

0 ,  

0.

h

h

f

d

h























 









                                       (17) 

 

Если  функция 

 

f



симметрична  относительно 

0

 

и  может  быть  представлена  рядом 

Фурье 

 





0

1

2

cos

cos 2

...

b

b

b











,  то 



  





2

cos

cos

h

h

f

d

b

h

d











 

 















и  левая  часть 

обращается  в  нуль  при

0

h 

,  следовательно, 

0

h

b 

  для 

0

h 

.  Отсюда 

 

0

f

b

 

  и  из  того,  что 

 

 

0

f

d





 











  получаем 

 

0

0

2

b







.  Таким  образом,  на  интервале   





,  









  имеем 

 

 

0

2

f









. 

 

Утверждение  4.    Если  вещественный  стационарный  процесс 

 

,  

,   1,  0,  1,  

x t

t 









, 

имеет 

симметричную 

спектральную 

плотность 

 

f



, 

представимую 

рядом 

Фурье

 





0

1

2

cos

cos 2

...

b

b

b











, то необходимым и достаточным условием обращения в нуль 

функции 

ковариаций 

 

h



при 

0

h 

является 

постоянство 

 

f



. 

В 

этом 

случае

 

 

0

2

f









,





,  







 



.  

5.  Оценка  спектральной  функции.    Пусть  стационарный  процесс 

 

,  

..., 1, 0, 1,...

x t

t 





, 

имеет 

среднее 

(математическое 

ожидание) 



 

и 

спектральную 

плотность 

 

f



 

(неизвестна).Рассмотрим задачу оценивания

 

f



по выборке 

 

 





1 ,...,

x

x n

считая 



известным.  

Решение.    Если  вспомнить  определение 

 

F



как  предела  последовательности  функций 

 

M

F



,  определенных  в  (14),  при

M  

,  то  в  качестве  оценки 

 

f



по  выборке 

 

 





1 ,...,

x

x n

можно брать выражение 

 

 

 

 





 









2

1

1 cos

2 cos 2

...

cos

n

f

y

y

y n

n

n



















,                  (18) 

где 

 

 

y t

x t







. Для него получим  

 

 

 













 

sin

cos

1

1

0 1

2

sin

n

n

n

f

n















































E

 

 

 





















 

1

1

sin

cos

1

2

1

cos

sin

n

i

n i

n

i

i

h

n

n

























































.                      (19)  

 

Устремляя 

n

к 

бесконечности 

и 

используя 

ряд 

Фурье 

 

 

 

 









1

0

2

1 cos

2

2 cos 2

...

2



















функции 

 

f



, 

найдем, 

что 

для 

всех 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

449 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 





,  







 



,  кроме

0

 

, 

 

 

lim

n

n

f

f









E

,  а   

 

 

lim

0

2

0

n

n

f

f





E

.  Таким  образом, 

 

n

f



 

оказывается асимптотически несмещенной оценкой

 

f



для 





,  







 



, 

0

 

. 

6Линейное прогнозирование стационарных процессов 

Пусть  нам  известны  значения  процесса 

 





x t

в  моменты 

..., 2, 1, 0

t 

 

,  и  мы  хотим 

предсказать 

 

1

x

  с  помощью  линейной  комбинации  значений 

 

 

 

...,  

2 ,  

1 ,  

0

x

x

x





, 

воспользовавшись  методом  наименьших  квадратов.  Постановка  задачи.При  каких  условиях  на 

процесс  среднее  значение  квадрата  ошибки  предиктора  (прогноза)  положительно  и  при  каких 

условиях оно равно нулю? Ответ на этот вопрос был дан А.Н. Колмогоровым в 1941 году, [1], и, Н. 

Винером в 1949 году, [2].  

Решение. 

Обозначим 

через 

 

1

n

x

предиктор 

для

 

1

x

, 

построенный 

по 





 

 

,  ... ,  

1 ,  

0

x

n

x

x





. Тогда  

 

 

0

1

in

n

i

n

x

a x i







,                                                                (20) 

 

где коэффициенты 

in

a

,  

,..., 1, 0

i

n

 



, минимизируют относительно 

in

a

 выражение  

 

 

 

2

0

1

min

in

i

n

x

a x i





















E

.                                                     (21) 

Отсюда находим, что  

 





0

1

ij

in

j

n

a

j

 









,                                                                 (22)  

 

где 

1

ij

ij















  





 и 

ij











 – матрица размера 



 



1

1

n

n







 

 

 

 

 

 

 

 





 

0    

1     ...  

1    

0     ...  

. . . . . . . . . . . . . . . . .  

   

1   ...  

0

n

n

n

n

















































,                                                          (23)  

образованная числами       

 







  

cos

h

h

h

f

d

























,                                                      (24)  

где 

 

f



–  спектральная  плотность  и 

 

h



–  функция  ковариации.  Как  и  раньше,  напомним, 

что 

для 

произвольного 

вещественного 

стационарного 

процесса 

 

x t

,  

..., 2, 1, 0, 1,...

t 

 



с

 





0

x t



E

 справедливо 





 

h

h









,  и для 





,  







 



 

 

 





 

0

2 cos

h

h

dF













.                                                         (25) 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

450 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

 

F



 

называется 

спектральной 

функцией 

стационарного 

процесса 

 

x t

. 

Если 

 

F



абсолютно  непрерывнаи 

 

 

F

f









,  то 

 

f



называют  спектральной  плотностью 

процесса.  

Пусть теперь 

 

,  

..., 1, 0, 1,...

x t

t 





–стационарный процесс, спектральная плотность которого 

равна 

 





2

1

,   

f























 

. Тогда функция ковариаций имеет вид  

 

2

1,             

0,

2

,  если   нечетно,

0,          если   четно. 

h

h

h

h

h















 













 

Решение.  Оценим

 

f



по выборке 

 

 





1 ,...,

x

x n

. Она имеет вид  (18), то есть 

 

 

 

 





 









2

1

1 cos

2 cos 2

...

cos

n

f

y

y

y n

n

n



















, 

где 

 

 

y t

x t







.  

Как  и  раньше,  эта  оценка 

 

n

f



  является  асимптотически  несмещенной  оценкой 

 

f



для





,  







 



, 

0

 

. 

 

Далее, 

по 

выборке 

 

 





1 ,...,

x

x n

оценим 

среднее 

(математическое  ожидание) 



,  то  есть 

 

1

1

n

i

x i

n









.  И  по  формуле  (18)  определим

 

n

f



. 

Заменяем 

 

f



 на 

 

n

f



и вычислим по формуле (24): 

 







  

cos

n

h

h

h

f

d

























. 

Далее, по формуле (22) находим  





0

1

ij

in

j

n

a

j

 









, 

затем по формуле (20) построим предиктор (прогноз), то есть 

 

 

0

1

in

n

i

n

x

a x i







. 

Задача прогнозирование является стохастической задачей. [3], [4].                                                                   

 

Экстраполирование функции 

Постановка  задачи.  Как  первая,  так  и  вторая  интерполяционные  формулы  Ньютона  могут 

быть  использованы  для  экстраполирования  функции,  то  есть  для  нахождения  значений  функции 

 

y x

 для значений аргументов 

x

, лежащих вне пределов таблицы. Если 

0

x

x



 и 

x

 близко к

0

x

, то 

выгодно применить первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда  

0

0

x

x

q

h







. 

Если же 

n

x

x



 и 

x

 близко к 

n

x

, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой 

Ньютона, причем  

0

n

x

x

q

h







. 

 

●

жүктеу/скачать 28,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: