Функцияның анықталу облысын табыңдар және оның суретін салып көрсетіңдер:
Шешуі:
Түбірдің астындағы таңба теріс болмауы керек:
және , бөлгіш нөлге тең болмайтынын ескере отырып, теңсіздік қатаң болып табылады:
теңдеуі шеңбер болып табылады. Радиусы , координаталық жазықтықты екі бөлікке бөледі– «ішкі» және «сыртқы» шеңберге.
Теңсіздік қатаң болғандықтан, шеңбердің өзі функцияның анықталу облысына кірмейді және сондықтан оны үзік сызықтармен сызу қажет.
Мысалы:
y
x
-
-
Жауабы: шеңбердің сыртқы бөлігі
Оху жазықтығының G облысында анықталған және Охуz тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі.
функциясын қарастырайық,
х
у
z
z=f(x,y)
P
O
х
у
G
Нәтижесінде кеңістікте Р нүктесін және х, у, z = f(x, y) координаталарын аламыз.
Көп айнымалы функцияның геометриялық кескіні
Анықтама. Р нүктесінің геометриялық орны функциясының теңдеуінің координаталарын қанағаттандыратын болса, онда ол екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні деп аталады.
Айналу параболоиды
Екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні (графигі) Oxyz кеңістігіндегі бет болып табылады.
r
M0(x0,y0)
x
y
O
M(x,y)
Анықтама. M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r маңайы деп, координаталары мына теңсіздікті қанағаттандыратын жазықтықтың барлық М (х,у) нүктелерінің жиынын айтады, яғни бұл нүктелер центрі M0(x0, y0) нүктесінде радусы r болатын шеңберге тиісті нүктелер.
Енді Oxy жазықтығының G облысында анықталған z=(х,у) функциясы берілсін және M0(x0, y0) нүктесі осы G облысының ішкі немесе шекаралық нүктесі болсын.
Көп айнымалы функцияның шегі мен үзіліссіздігі
Ескерту: Бұл жерде екі айнымалыдан функцияның шегі М(х,у) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне қалай (қандай сызықтың бойымен) ұмтылуынан тәуелсіз болатынын ескеруіміз керек.
Анықтама. A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0) нүктесіндегі шегі деп аталады, егер әрбір ε > 0 саны үшін r > 0 саны табылып, M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r -ге тең маңайына тиісті барлық М(x,y)нүктелері үшін келесі теңсіздік орындалса:
Егер A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0) нүктесіндегі шегі болса (М(х,у)) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне ұмтылғандағы шегі , онда ол былай жазылады:
Анықтама. M0(x0, y0) нүктесі f(x, y) функциясының анықталу облысына тиісті болсын. Егер келесі теңдік
орындалса, онда z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде үзіліссіз деп аталады және М(х,у) нүктесі M0(x0, y0) функцияның анықталу облысында қала отырып, кез-келген жолмен ұмтылады.
Осы анықтамадан функция нүктеде үзіліссіз болу үшін келесі
шарттардың орындалуы қажет екендігі шығады:
z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде анықталған;
шегі бар;
Функцияның шегі оның сол нүктедегі мәніне тең:
Функцияның үзіліс нүктесін есепте:
Шешуі: (0; 2) нүктесі функциясында анықталады, олай болса функцияның осы нүктелеріндегі мәнін есептеуге болады. Онда функцияны шешуге мына теңсіздікті қолданамыз:
Сонда:
Жауабы:
Мысалы:
Функцияның үзіліс нүктесін есепте:
Шешуі: (0; 3) нүктелері функцияның анықталу облысына кірмейді , онда х = 0 болғанда 0/0 анықталмағандығына келеді. Сондықтан алымында, бөлімінде у-ке көбейтіп бөлеміз және u = xy ауыстыруын жасаймыз.
