Функцияның анықталу облысын табыңдар

Функцияның анықталу облысын табыңдар:

• Шешуі:

• Түбірдің астындағы таңба теріс болмауы керек :

• Жауабы: жарты жазықтық

• у

• x

• y =

• Мысалы:

Функцияның анықталу облысын табыңдар және оның суретін салып көрсетіңдер:

• Шешуі:

• Түбірдің астындағы таңба теріс болмауы керек:

• және , бөлгіш нөлге тең болмайтынын ескере отырып, теңсіздік қатаң болып табылады:

• теңдеуі шеңбер болып табылады. Радиусы , координаталық жазықтықты екі бөлікке бөледі– «ішкі» және «сыртқы» шеңберге.
• Теңсіздік қатаң болғандықтан, шеңбердің өзі функцияның анықталу облысына кірмейді және сондықтан оны үзік сызықтармен сызу қажет.

• Мысалы:

• y

• x

• -

• -

• Жауабы: шеңбердің сыртқы бөлігі

• Оху жазықтығының G облысында анықталған және Охуz тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі.

• функциясын қарастырайық,

• х

• у

• z

• z=f(x,y)

• P

• O

• х

• у

• G

• Нәтижесінде кеңістікте Р нүктесін және х, у, z = f(x, y) координаталарын аламыз.

• Көп айнымалы функцияның геометриялық кескіні

• Анықтама. Р нүктесінің геометриялық орны функциясының теңдеуінің координаталарын қанағаттандыратын болса, онда ол екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні деп аталады.

• Айналу параболоиды

• Екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні (графигі) Oxyz кеңістігіндегі бет болып табылады.

• r

• M0(x0,y0)

• x

• y

• O

• M(x,y)

• Анықтама. M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r маңайы деп, координаталары мына теңсіздікті қанағаттандыратын жазықтықтың барлық М (х,у) нүктелерінің жиынын айтады, яғни бұл нүктелер центрі M0(x0, y0) нүктесінде радусы r болатын шеңберге тиісті нүктелер.
• Енді Oxy жазықтығының G облысында анықталған z=(х,у) функциясы берілсін және M0(x0, y0) нүктесі осы G облысының ішкі немесе шекаралық нүктесі болсын.

• Көп айнымалы функцияның шегі мен үзіліссіздігі

• Ескерту: Бұл жерде екі айнымалыдан функцияның шегі М(х,у) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне қалай (қандай сызықтың бойымен) ұмтылуынан тәуелсіз болатынын ескеруіміз керек.

• Анықтама. A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0) нүктесіндегі шегі деп аталады, егер әрбір ε > 0 саны үшін r > 0 саны табылып, M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r -ге тең маңайына тиісті барлық М(x,y)нүктелері үшін келесі теңсіздік орындалса:
• Егер A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0) нүктесіндегі шегі болса (М(х,у)) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне ұмтылғандағы шегі , онда ол былай жазылады:

• Анықтама. M0(x0, y0) нүктесі f(x, y) функциясының анықталу облысына тиісті болсын. Егер келесі теңдік
• орындалса, онда z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде үзіліссіз деп аталады және М(х,у) нүктесі M0(x0, y0) функцияның анықталу облысында қала отырып, кез-келген жолмен ұмтылады.

• Осы анықтамадан функция нүктеде үзіліссіз болу үшін келесі
• шарттардың орындалуы қажет екендігі шығады:
• z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде анықталған;
• шегі бар;
• Функцияның шегі оның сол нүктедегі мәніне тең:

• Функцияның үзіліс нүктесін есепте:

• Шешуі: (0; 2) нүктесі функциясында анықталады, олай болса функцияның осы нүктелеріндегі мәнін есептеуге болады. Онда функцияны шешуге мына теңсіздікті қолданамыз:
• Сонда:

• Жауабы:

• Мысалы:

• Функцияның үзіліс нүктесін есепте:

• Шешуі: (0; 3) нүктелері функцияның анықталу облысына кірмейді , онда х = 0 болғанда 0/0 анықталмағандығына келеді. Сондықтан алымында, бөлімінде у-ке көбейтіп бөлеміз және u = xy ауыстыруын жасаймыз.
• Сонда:

• Жауабы:

• Мысалы: