9-сынып. №1.(1+√2)1981санының а+ втүрінде өрнектелетінін дәлелдеңдер, мұндағы a мен в өзара жай сандар Шешуі: Индукция бойынша дәлелдейміз. Айталық, (1+)n=a+в мұндағы а және в – өзара жай сандар. n=1 бұл тура болсын. Сонда (1+)n+1= (a+в) ∙(1+)= (a+2в)+(а+в) а+2в=а1және а+в=в1сандары өзара жай, өйткені олай болмаса а=2 в1- а1 , в=а1-в1сандарының да ортақ d>1 бөлгіші бар болар еді. Сонымен, есеп қортындысы кез-келген натурал n үшін тура , демек n=1981 үшін де тура.
№2.Екі бала мынандай ойын ойнайды. Бастаушы бірінші жүрісімен берілген n≥2 тастан тұратын үймені өзінің қалауынша 2 немесе 3 үймеге бөледі. Ары қарай кезектесіп жүреді және әрқайсысы өз жүріс кезеңінде кез-келген үймені таңдап алып, өз қалауынша оны 2 немесе 3 үймеге бөледі. Соңғы мүмкін жүрісті жасаған бала ұтады. Дұрыс ойнаса кім ұтады. Шешуі:Дұрыс ойнаса әрқашанда бастаушы ұтады. Ол үшін ұту стратегиясын көрсетейік. Екі жағдайды қарастырамыз.
1)n- жұп сан. Бірінші жүрісімен бастаушы тастарды тең 2 үймеге бөледі. Сонан соң өз кезегінде қарсыласының жүрісіне симметриялы жүріс жасап отырады.
2)n=2m+1-тақ сан. Бірінші жүрісімен бастаушы тастарының саны m, m және 1 болатын үш үймеге бөледі. Бір тастан тұратын үймені қарастырмасақ та болады. Әры қарай «Симметриялық» әдісті қолданады.
Халықаралық олимпиада есептері: 11-сынып. №1. Кез-келген n натурал сан үшін теңдеуді шешіңіздер: cosnx-sinnx=1 Шешуі:Үш жағдай қарастырамыз:
1)n жұп болсын, яғни n=2m.Онда cos2mx=1+sin2mx , cos2mx≤1≤1+sin2mx болғандықтан sinx=0 және cosx=±1, яғни x=kπ , kєZ.
2) n-тақ , яғни n=2m+1(m≥1). Онда cos2m+1x-sin2m+1x=1.Бұл жағдайда теңдеудің шешімі мынадай түрде жазылады: x=2kπ, не x=2 kπ-,kєZ 3) n=1. Бұл жағдайда теңдеу cosx-sinx=1түріндежазылады, немесе cos(x+)=. Бұл жағдайдағы шешім екінші жағдайдағымен бірдей болады.
