Атырау облысы Жылыой ауданы «№23 жалпы орта білім беретін мектеп» мемлекеттік мекемесі. Математикалық индукция және теңсіздіктерді дәлелдеу



бет2/8
Дата31.10.2022
өлшемі0,56 Mb.
#46426
1   2   3   4   5   6   7   8
Байланысты:
Математикадан олимпиадалық есептерді шығару

9-сынып.
1.Кез-келген n натурал саны үшін n(n2-1)(5n+2) өрнегінің 24-ке бөлінетіндігін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: 5n+2=(5n+10)-8 теңдігін ескеріп өрнекті түрлендіріп жазайық:
n(n2-1)(5n+2)=5n(n2-1)(n+2)-8n(n2-1)= 5(n-1)n * (n+1)(n+2) -8 (n-1)n(n+1). (n-1)n(n+1)(n+2) өрнегі төрт тізбектес натурал санның көбейтіндісі болғандықтан , әрі 3-ке бөлінеді, әрі 8-ге бөлінеді. 8 бен 3 өзара жай сан болғандықтан бұл өрнек 24-ке бөлінеді.
8(n-1)n(n+1) өрнегі де 24-ке бөлінеді , себебі (n-1)n(n+1) көбейтіндісі 3-ке бөлінеді.
10-сынып.
1. а мен в сандары х2-6х+1=0 теңдеуінің түбірлері.Кез-келген натурал саны үшін аnn өрнегінің бүтін сан болатындығын және 5-ке бөлінбейтіндігін дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі:
Математикалық индукция тәсілін қолданайық. Виет теоремасына сүйеніп жазайық:
ав=1 Сонымен n=1 болғанда аnn өрнегі бүтін және 5-ке
а+в=6 бөлінбейді n=k болғанда
аkk өрнегі бүтін болып 5-ке бөлінбейтін болсын n=k+1 болғанда ak+1 k+1 өрнегінің бүтін болып және 5-ке бөлінбейтінін дәлелдейік.
(akk)(а+в) = ak+1+авk+ ваk+ в k+1= (ak+1k+1 )+ав (вk-1+ ak-1)
Осыдан мынадай өрнекке келеміз.
ak+1k+1=(akk)(а+в)- ав (вk-1+ ak-1)
Индукция болжамы бойынша akk єZ; вk-1+ ak-1є z және ав=1 , а+в =6. Олай болса , ak+1 k+1 өрнегі бүтін және 5-ке бөлінбейді. Онда математикалық индукция принципі бойынша аnn өрнегінде кез-келген n натурал саны үшін бүтін болады және 5-ке бөлінбейді.
Республикалық олимпиада есептері:


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет