Ҕазаҕстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі «Ҧлттыҕ аҕпараттандыру орталығы» АҔ

случайным экспериментом. До эксперимента, как правило, невозможно точно 
сказать, произойдет данное событие, или не произойдет – это выясняется лишь 
после его завершения. Но неспроста мы сделали оговорку «как правило»: в 
теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со 
случайным экспериментом, в том числе: 

224 
 
невозможные, которые никогда не могут произойти; 
достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте. 
 
             
 
 
 
 
 

225 
 
 
 
 
 
 
 
 
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление 
только одного из них. События называются совместными, если в данных 
условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого 
при том же испытании (В урне два шара – белый и черный, появление черного 
шара не исключает появление белого при том же испытании). События 
называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь 
единственными его исходами, несовместны. Вероятность события 

226 
 
рассматривается как мера объективной возможности появления случайного 
события.  
 
Теоремы сложения вероятностей. 
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. 
 Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий,  
безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:  
 
P(A+B)=P(A)+P(B); 
 P(+ +…+=P(+P+…+P().  
 
Теорема сложения вероятностей совместных событий.  
 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна 
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:  
 
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 
 
Для трех совместных событий имеет место формула: 
 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 
 
Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), 
обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 
единице: P(A)+P()=1  
 
Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что 
событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при 
условии B и обозначается (A) или P(A/B). 
 Если A и B – независимые события, то  
 P(B)-(B)=(B).  
 
События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность 
каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других 
событий по отдельности или в любой их комбинации.  
 
Теоремы умножения вероятностей. 
Теорема умножения вероятностей независимых событий.  
 Вероятность совместного появления двух независимых событий равна 
произведению вероятностей этих событий: 
 P(AB)=P(A)•P(B)  
 
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, 
вычисляется по формуле: 
 P()=P()•P()… P(). 
 

227 
 
Теорема умножения вероятностей зависимых событий.  
 Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна 
произведению одного из них на условную вероятность второго: 
 P(AB)=P(A)• (B)=P(B)•(A) 
 
IV. Применение знаний при решении типовых задач 
Задача 1. 
 
 
                       Задача 2. 
 
 
 
 
 
 
 

228 
 
 
 Задача 3. 
                       
Задача 4. 
                        
 
 Самостоятельное применение знаний, умений и навыков. 
Вариант 1. 
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 
является кратным 6? 
Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет 
гербом к верху? 
 
Вариант 2. 

229 
 
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 
(включительно)  является делителем числа 30? 
В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, 
а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник 
не знает ни одного иностранного языка? 
 
VI. Подведение итогов занятия. 
 
VII.     Домашнее задание: тестовые вопросы к ЦОРу № 1513 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

230 
 
 
Тема урока : «Дифференцирование показательной и логарифмической 
функций» 
Цели урока:  ввести понятие натурального логарифма; формировать умение 
построения функции ; формировать умение выявления свойств функции ;  
формировать умение вывода формулы нахождения производной функции ; 
формировать умение построения касательной к графику функции  в точке . 
 
Ход урока:   
 
Организационный момент. 
Приветствие, сообщение темы и задач урока 
 
Проверочная работа. 
1. Найдите производную функции: 
 
2. Напишите уравнение касательной к графику функции: 

231 
 
 
 
 
3. Выполните задание 
 
 
Объяснение нового материала. 
Объяснение нового материала с использованием ЦОР№1494 
 
 

232 
 
 
 
 
                       
 
 
 
 

233 
 
             
 
 
 
 
 
Закрепление нового материала. 
Решить задания из интерактивных заданий к ЦОРу 1494