Ќазаќстан республикасы білім жјне єылым министрлігі
жүктеу/скачать 4,09 Mb. Pdf көрінісі
|
| y t
A t y h t y y t T (1) здесь малая вязкость в гидродинамике, а для математика – малый безразмерный параметр; ( , ) y t искомая вектор-функция; матрица-функция - оператор ( ) A t и вектор-функция ( ) h t заданы, т.е. известны. Задачу необходимо изучить при 0 . В чем трудность таких задач? В качестве иллюстрации рассмотрим начальную задачу для скалярного уравнение: 2 0 + , ( 0 , ) = , t t y e y e y y (2) точным решением которого будет следующая функция: 1 1 0 0 . ( , ) = - 1 + + - - 1 + - ( , ) + ( ) , t t e e t t y t e y e e y e v t w t e (3) Функция 1 ) / } { ( t e e x p не существует в точке 0 , о таких функциях говорят, что они зависят от сингулярно, а в квадратных скобках и далее вошло регулярно. Таким образом, решение задачи (2) зависит от двойственно: регулярно и сингулярно. Это вызвано тем, что для уравнения (2), как и для уравнения (1), точка 0 является особой: коэффициент при главной части уравнения (при производной) обращается в нуль. Именно, наличие особой точки усложняет понимание бакалаврами задач, называемых сингулярно возмущенными. Здесь необходимо акцентировать внимание бакалавров на то, что для построения решения следует привлечь идеи асимптотических методов, в которых при их применении достигается синтез простаты и точности за счет локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность. В решении (3) первое слагаемое 0 , 1 ) / 1 ) / } ( 1 ) ( { ( t t t e e y e x p называют функцией пограничного слоя, так как оно в граничной точке ( 0 ) t принимает конечное значение 0 ( 0 ) , y а при 0 и при 0 t быстро стремится к нулю: 0 ; 0 1 ) / } 0 . { ( t t l i m e e x p При этом некоторые студенты стали среагировать на возможность оценки экспоненциальной функции. В теории пограничного слоя изучают именно свойства таких функций, как их выделить из уравнения (2); как приближенно описать, - ведь они неизвестны в сложных задачах; как численно сосчитать. Например, сингулярно возмущенные уравнения Навье-Стокса нелинейны. Для Хабаршы №3-2015ж. 28 простейших частных случаев известны точные решения уравнений Навье- Стокса. Однако, этих случаев так мало, что информация, даваемая ими, была явно недостаточной для развития математической теории решения таких задач. Для приближенного описания решений сингулярно возмущенных задач математиками, физиками, механиками и исследователями других дисциплин разработаны различные асимптотические методы такие, как метод усреднения, метод сращиваемых разложений, ВКБ - метод, метод Вишика- Люстерника, метод погранфункций, метод Маслова и другие. Для приближенного описания решений задач типа задачи (1) каждый из этих методов предлагает строить аппроксимации вида 0 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , n n n y t y t y t y t (4) и, если эти аппроксимации вместе с точным решением ( , ) y t задачи (1) удовлетворяют оценке 1 ( , ) ( ) n n n y t y t c (5) (для 0 0 ; n c не зависит от , но зависит от n ), то функцию (4) называют асимптотическими решением задачи (1). А если неравенство (5) выполнено для всех , n N то функцию (4) называют частичной суммой асимптотического ряда для решения ( , ) y t задачи (1) при 0 . Как было отмечено выше решение сингулярно возмущенной задачи зависит от двояким образом. Поэтому целесообразно предлагать к сведению студентов математиков следующее уточнение понятие асимптотического ряда. жүктеу/скачать 4,09 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|