Ќазаќстан республикасы білім жјне єылым министрлігі
жүктеу/скачать 4,09 Mb. Pdf көрінісі
|
| Ключевые слова: математическое мышление, формирования математических
мышлений студентов, возмущение, итерационная задача, дифференциальные уравнения, пограничный слой. Хабаршы №3-2015ж. 25 Определенный вклад в развитие творческой личности математиков бакалавров естественнонаучных направлений вузов вносит обучение курса сингулярно возмущенные уравнения, содержание которого формируется на основе теории сингулярных возмущений — одной из современных направлений прикладной математики. Обычно в основе получаемых дифференциальных уравнений, при исследовании какого-либо реального процесса или явления, лежат физические законы, которые позволяют сформулировать общий вид дифференциальных соотношений. Как правило, в них часто присутствует малые параметры при старшей производной – это значение малой вязкости в теории пограничного слоя, интенсивность электромагнитных взаимодействий в квантовой электродинамике, отношение массы планеты к массе Солнца в небесной механике и т.д., т.е. параметры, определяющие свойства физической среды. Если малый параметр обращается в нуль, то классические теоремы существования решений для дифференциальных уравнений в таких уравнениях не применимы. Теория сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений на равне с дифференциальными уравнениями широко применяется в различных областях науки. Решение уравнений с малым параметром при старшей производной можно проиллюстрировать моделями, описывающими динамику развития взаимодействующих биологических популяций (например, модель Вольтерра - Лотка), течения несжимаемой жидкости с малой вязкостью и т.д. Изучение сингулярно возмущенных уравнений на примерах из приложений внесет разнообразие в занятия, даст почву для развития воображения и мышления, покажет математикам бакалавром, что абстрактность сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений является средством изучения явлений природы с помощью математических моделей. Курс сингулярно возмущенные уравнения играет большую роль в фундаментальной подготовке будущего математика бакалавра в плане формирования научного мировоззрения, определенного уровня математической культуры, методической культуры, особенно по таким компонентам, как понимание сущности прикладной и практической направленности обучения математике, овладение методом математического моделирования, умение осуществлять в обучении межпредметные связи. К числу компонентов гуманитарного потенциала курса дифференциальных уравнений, кроме вышеперечисленных, мы относим также профессионально- педагогическую направленность этого курса в сочетании сингулярно возмущенным уравнениям, причем, по сравнению с другими разделами математического анализа, здесь скрыты наибольшие возможности для полноценной реализации профессионально-педагогической направленности обучения, поскольку будущий математик бакалавр подходит к изучению курса сингулярно возмущенные уравнения уже изучив, в основном, курс методики преподавания математики, пройдя педагогическую практику. Это налагает на преподавателя курса особые обязанности по реализации в курсе Хабаршы №3-2015ж. 26 принципа двойственности - наиболее адекватного соединения собственно математической (общенаучной) и методической линий. Основы теории и практики исследования сингулярно возмущенных задач заложены и развиты фундаментальными работами Н.Н. Боголюбова, В.Ф. Бутузова, В. Вазова, А.Б. Васильевой, М.И. Вишика, М.И. Иманалиева, К.А. Касымова, Дж. Коэль, Р. Лангера, Ж. Лиувилля, С.А. Ломова, В.П. Маслова, Ю.А. Митропольского, Н.Н. Моисеева, О.А. Олейник, Л.С. Понтрягина, В.Ф. Сафонова, А.Н. Тихонова, В.А. Треногина, С.Ф. Фещенко, Н.И. Шкиль, М.В. Федорюка, Л. Шлезингера и др. При этом следует отметить, что до настоящего времени не проводились исследования в области педагогики и методики обучения математике, нацеленных на обоснование общекультурной и общеобразовательной ценности обучения сингулярно возмущенным уравнениям. Любая математическая модель, адекватно описывающая реальность, непременно включает в себе и различные параметры, причем в типичной ситуации их значения известно лишь приближенно, с той или иной точности. Поэтому вопрос о характере поведения решений дифференциального уравнения при малом изменении величины входящего в уравнение параметра представляет принципиальный интерес. «Малый множитель при старшей производной породил большую теорию» - эта фраза из математического фольклора довольно колоритно характеризует ту обширную ветвь теории дифференциальных уравнений – теории сингулярных возмущений [1]. Развитие теории асимптотических разложений, которая служит в качестве мощного инструмента методов возмущения, является одним из наиболее важных достижений в области прикладной математике, приобретает широкую популярность у теоретиков и прикладников и с каждым днем более глубоко проникает в системе общематематических достижений современных бакалавров математиков. В процессе формирования математических мышлений будущих бакалавров математиков необходимо учитывать специфику механизма образования математических абстракций. Поэтому большинство авторы пытаются включить идеи теории возмущений в содержание учебников и учебных пособий, после освоения которого, будущие специалисты приобретают глубокое понимание основных идей и разрабатывают соответствующие практические навыки в применении асимптотических методов для анализа прикладных проблем с малыми или большими параметрами [2 - 4]. Различные способы формирования и развития математического мышления у бакалавров-математиков педагогической направленности требует особого подхода обучения сингулярно возмущенных уравнений с целью обеспечения их правильной освоении основных идей, применение в решении задач и овладении навыками анализировать поведения решения вокруг особой точки, в котором входящей параметр обращается в нуль или принимает бесконечно большое значение. Поэтому асимптотический анализ решений таких задач оказывает неоценимую услугу при их физическом истолковании и развитие математического мышления бакалавров. Сингулярно возмущенные уравнения, с одной стороны, весьма абстрактен, со своей спецификой, со своей терминологией, со своими Хабаршы №3-2015ж. 27 моделями. Изучая этот курс, бакалавр часто теряет ориентиры, не понимает, для чего все это нужно будущему бакалавру математики. С другой стороны, сингулярно возмущенные уравнения - один из самых универсальных в деле осознания будущим математикам бакалаврам сущности математики, ее прикладной направленности, отсутствием систем обучения сингулярно возмущенным уравнениям, способствующих формированию у бакалавров прикладной математической культуры мышления. Рассматривается математическая модель задач пограничного слоя: 0 ( , ) ( ) = ( ) , ( 0 , ) = , [ 0 , ] , жүктеу/скачать 4,09 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|