Ќазаќстан республикасы білім жјне єылым министрлігі

Хабаршы №3-2015ж.
59 
деп есептейік. Сонымен қатар, 


(
1 )
1
2
1
n
n
n
n
lim
lim



 
 



екенін байқауға 
болады. Қарастырылып жатқан (4) интегралдық теңдеуде 
n


нің мәндері 
үшін әрдайым шешімдерін табуға болатынын көрсетейік.
1) 
0
n

де (4) интегралдық теңдеу келесі 
1 / 2
0
( ,
)
( ,
)
( ) ,
(
)
t
y s
y t
d s
f t
t
s








(5) 
көрінісіне келеді. Осы (5) теңдеудегі 
t
айнымалыны 

айнымалыға 
алмастырып, 
1 / 2
1
(
)
t


-ға көбейткеннен кейін 0-ден 
t
-ға дейін 

айнымалы 
бойынша интегралдаймыз:
1 / 2
1 / 2
1 / 2
1 / 2
0
0
0
0
( ,
)
1
( ,
)
( )
.
(
)
(
)
(
)
(
)
t
t
t
y
y s
f
d
d
d s
d
t
t
s
t

 



























(6) 
Мұнда,
2
1 / 2
1 / 2
0
0
0
1
( ,
)
(1 / 2 )
( ,
)
,
(
)
(
)
t
t
y s
d s
d
Г
y s
d s
t
s


















екенін ескеріп, (6) теңдіктегі интегралдау айнымалысын бірдей 
айнымалы бойынша жазсақ, 
1 / 2
1 / 2
0
0
0
( ,
)
1
1
1
( )
(
,
)
( ,
)
(
)
2
2
(
)
t
t
t
y s
f s d s
d s
B
y s
d s
t
s
t
s





 






(7) 
теңдігін аламыз. Осы (7) теңдіктің оң жағын (5) теңдікке қойсақ келесі 
сызықты дифференциалдық теңдеуді аламыз 
2
2
2
1 / 2
0
0
0
1
1
1
( )
( ,
)
(
,
)
( ,
)
( )
.
2
2
(
)
t
t
t
f
s d s
y s
d s
B
y s
d s
f t
t
s



























(8) 
(8) теңдеуде 
2
1
1
2
1 / 2
2
0
1
( )
1
1
( )
( ) ,
(
,
)
(
)
2
2
t
f s d s
f t
f
t
B
t
s











белгілеуін 
енгізіп, интегралдасақ төмендегідей теңдікті аламыз:
1
1
1
0
0
( ,
)
( )
.
t
t
t
s
y s
d s
e
f
s e
d s
C














(9) 
(9) теңдеудің екі жағын 
t
бойынша дифференциалдасақ,
1
1
1
1
1
0
( ,
)
( )
( ) ,
t
t
s
y t
e
f
s e
d s
f
t








(10) 
түріндегі (5) интегралдық теңдеудің шешімін аламыз. Алғашқы 
белгілеулерді орнына қойып, соңғы шешімді төмендегідей жазамыз, яғни

Хабаршы №3-2015ж.
60 
2
2
1 / 2
1 / 2
2
2
2
1 / 2
2
2
1 / 2
0
0
2
1 / 2
0
1
( )
( ,
)
( )
(
)
1
( )
( )
.
(
)
t
s
B
t
B
s
t
f
d
y t
B
e
f
s
e
d s
s
f
s d s
f
t
t
s

































(11) 
Maple 
компьютерлік 
бағдарламасында 
(11) 
функциясының 
( )
1,
,
1
f t
 


мәндерінде 
2
t

нүктеде 
(5) 
теңдеуді 
қанағаттандыратынын көруге болады (2-сурет). 
2) 
1
n

болсын. Онда (4) интегралдық теңдеу келесі
3 / 4
0
( ,
)
( ,
)
( )
(
)
t
y s
y t
d s
f t
t
s








(12) 
көрінісіне келеді. Сонымен қатар (12) интегралдық теңдеуде 
0
t

де 
( 0 ,
)
( 0 )
y
f

 
шартының орындалатынын байқаймыз. Осы (12) теңдеудегі 
t
айнымалыны 

ға алмастырып, 
3 / 4
1
(
)
t


-ке көбейткеннен кейін 0-ден 
t
-ға 
дейін 

айнымалы бойынша интегралдаймыз: 
3 / 4
3 / 4
3 / 4
3 / 4
0
0
0
0
( ,
)
1
( ,
)
( )
.
(
)
(
)
(
)
(
)
t
t
t
y
y s
f
d
d
d s
d
t
t
s
t

 



























(13) 
Мұнда,
3 / 4
3 / 4
1 / 2
0
0
0
1
( ,
)
( ,
)
(1 / 4 , 1 / 4 )
,
(
)
(
)
(
)
t
t
y s
y s
d s
d s
d
B
t
s
t
s



















екенін ескеріп, (13) теңдіктегі интегралдау айнымалысын бірдей 
айнымалыға келтіріп жазсақ, 
3 / 4
1 / 2
3 / 4
0
0
0
( ,
)
(1 / 4 , 1 / 4 )
( ,
)
1
( )
(
)
(
)
(
)
t
t
t
y s
B
y s
d s
f s d s
d s
t
s
t
s
t
s





 







(14) 
теңдігін аламыз. (14) теңдіктің оң жағын (13) теңдікке қойсақ
2
1 / 2
3 / 4
0
0
(1 / 4 , 1 / 4 )
( ,
)
( )
( ,
)
( )
(
)
(
)
t
t
B
y s
d s
f s d s
y t
f t
t
s
t
s















(15) 
теңдеуін 
аламыз. 
(15) 
теңдеуде 
2
2
2
3 / 4
0
(1 / 4 , 1 / 4 )
( )
,
( )
( )
(
)
t
B
f s d s
f t
f
t
t
s











белгілеуін 
енгізсек, 
(5) 
теңдеуге эквивалент
2
2
1 / 2
0
( ,
)
( ,
)
( )
(
)
t
y s
y t
d s
f
t
t
s








(16) 

Хабаршы №3-2015ж.
61 
теңдеуді табамыз. (16) теңдеудің шешімін 
2
2
2
2
1 / 2
1 / 2
2
2
2
2
2
2
2
1 / 2
2
2
1 / 2
0
0
2
2
2
2
1 / 2
0
( )
( )
( ,
)
(
)
( )
( )
(
)
t
s
B
t
B
s
t
f
s
f
d
y t
B
e
e
d s
t
f
t
f
s d s
t
s

































(17) 
көрінісінде анықтауға болады. 
Осы алгоритмнен пайдалана отырып, 
2 , 3 , ...,
n

мәндеріне сәйкес 
шешімдер тізбегін табуға болатынын, сонымен шешімдер тізбегінің ядролары 
n

нің үлкен мәндерінде 
1
( , )
(
)
n
n
l i m K
t s
t
s

 


ядросына ұмтылуын 
дәлелдесе болады. 
Maple компьютерлік бағдарламасында (17) функциясының 
( )
1,
f t

,
1
  
болған жағдайда 
2
t

нүктедегі мәні (12) теңдеуді 
қанағаттандыруың көру мүмкін (3-сурет). Компьютерлік есептеу барысында 
функциялар мен оларға қолданылатын амалдардың күрделілігі мен көлемі 
ұлғайған сайын қателіктің де жоғары болатынын ескерген жөн [2]. 
2-сурет 3-сурет 
(4) интегралдық теңдеуге сәйкес 
0
( ,
)
( ,
)
( )
(
)
n
t
y s
y t
d s
f t
t
s







интегралдық теңдеу үшін 
( 0 ; 1)
интервалда 
n

рационал және кез 
келген нақты сан болғандағы шешімдері әдебиеттерде келтірілген. [3-5] 
Қорытындылай келе интегралдық теңдеулердің шешімдерін оқытуға 
қатысты келесідей тұжырымдама жасауға болады: интегралдық теңдеулердің 
аналитикалық шешімін құру барысында айнымалыларды дұрыс өрнектеу 
маңызды 
рөл 
ойнайды; 
аналитикалық 
шешімнің 
компьтерлік 
бағдарламаларды қолдану нәтижесінде құрылған графиктері оның 
сипатамалық мінездездемесін жан-жақты зерттеуде, қажетті қорытынды 
жасауда үлкен қызмет атқарады; интегралдық 
теңдеулер 
пәнін 

Хабаршы №3-2015ж.
62 
толыққанды игеруге үлкен әсер етеді; пәнаралық байланыстарын дамытуға, 
сонымен 
болашақ 
математик 
бакалаврлардың 
математикалық 
дүниетанымының кеңейуіне өз септігін тигізеді. 

жүктеу/скачать 4,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: