§9.  n -ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

67
Теңдеуді (2) мына түрде жазып
∑
=
−
−
′
Φ
≡
+
−
=
n
i
n
i
n
i
n
y
y
y
x
x
f
y
x
p
y
1
)
1
(
)
(
)
(
,
)
,
,
,
,
(
)
(
)
(
…
(3)
Φ
функциясы дербес туындыларымен
n
i
x
p
y
i
i
n
,
1
)
(
)
(
=
−
=
∂
Φ
∂
−
кез келген 
[ ]
I
x
⊂
∈
β
α
,
жəне 
)
1
(
,
,
,
−
′
n
y
y
y
…
мəндерінде үзіліссіз 
десек, онда (2) теңдеудің оң жағы шешім бар жəне жалғыз болу 
туралы теорема шарттарын орындайды.
Теңдеудің сызықтылығы жəне біртектілігі, айнымалыны 
)
(
t
x
ϕ
=
үзіліссіз 
n
рет туындыланатын функциямен алмас тыр-
ғанда да сақталады, 
.
,
0
)
(
t
t
∀
≠
′
ϕ
Шындығында да, 
1
,
( )
dy
dy
dx
dt
t
ϕ
=
′
2
2
2
2
2
3
1
( ) ,
( )
( )
d y
d y
dy
t
dx
dt
t
dt
t
ϕ
ϕ
ϕ
′′
=
−
′
′
. . . . . . . . . . .
кез келген 
k
k
d y
dx
туындысы
2
2
,
,
,
,
k
k
dy d y
d y
dt
dt
dt
…
…
туындылары-
ның сызықтық біртекті функциясы болғандықтан, бұларды тең-
деуге (2) қойғанда да аталған қасиеттер сақталады.
Бұл қасиеттер 
)
(
)
(
)
(
x
z
x
x
y
α
=
сызықтық біртекті алмас ты-
руында да сақталып қалады.
Егер 
L
- сызықтық 
n
ретті дифференциалдық операторын 
енгізсек, теңдеуді (2) қысқаша 
[ ]
)
(
x
f
y
L
=
түрінде жазуға 
болады: мұндағы, 
.
)
(
)
(
)
(
]
[
1
)
1
(
1
)
(
y
x
p
y
x
p
y
x
p
y
y
L
n
n
n
n
+
′
+
+
+
≡
−
−
…
Сызықтық дифференциалдық оператордың негізгі екі қа сиеті 
бар:
1) тұрақты көбейткіш сызықтық оператор таңбасының сыр-
тына шығарылады:
[ ]
[ ]
.
L Cy
CL
y
≡

68
Шыңдығында
1
1
( )
(
)
( )
( )( )
( )
n
n
n
Cy
p x Cy
p x Cy
−
+
+
+
≡
1
1
( )
(
)
( )
( ) .
n
n
n
C y
p x y
p x
−
⎡
⎤
≡
+
+
+
⎣
⎦
2) Оператордың 
)
(
1
x
y
жəне 
)
(
2
x
y
функцияларының қо-
сындысына əсері, бұл функцияларға жеке-жеке əсерлерінің қо-
сындысына тең:
[
]
[ ] [ ]
.
2
1
2
1
y
L
y
L
y
y
L
+
≡
+
Шындығында,
1
1
2
1
1
2
1
2
( )
(
)
(
)
( )(
)
( )(
)
n
n
n
y
y
p x y
y
p x y
y
−
+
+
+
+
+
+
≡
…
1
1
1
1
1
( )
(
)
( )
( )
n
n
n
y
p x y
p x y
−
⎡
⎤
+
+
+
+
⎣
⎦
1
2
1
2
2
( )
(
)
( )
( )
n
n
n
y
p x y
p x y
−
⎡
⎤
+
+
+
+
⎣
⎦
Оператордың қасиеттерінен 1) жəне 2) келесі теңдік алынады:
[ ]
.
1
1
i
m
i
i
m
i
i
i
y
L
C
y
C
L
∑
∑
=
=
≡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
§10. Сызықтық біртекті теңдеулер
n
ретті сызықтық біртекті теңдеудің
[ ]
1
2
1
2
( )
(
)
(
)
( )
( )
n
n
n
L y
y
p x y
p x y
−
−
≡
+
+
+
+
1
0
( )
( )
,
n
n
p
x y
p x y
−
+
+
=
′
(1)
)
(
x
p
i
функциялары 
1
( , ),
,
I
a b
i
n
=
=
аралығында үзіліс сіз, 
шешімдеріне қатысты кейбір тұжырымдарды қарастырайық.
1-теорема.
Егер 
m
y
y
y
,
,
,
2
1
…
-дер теңдеудің (1) шешімдері 
болса, онда олардың кез келген сызықтық комбинациясы да
∑
=
m
i
i
i
y
C
1
теңдеудің (1) шешімі.

69
Дəлелдеу. 
[ ]
0
1
,
,
i
L y
i
m
≡
=
болғандықтан,
[ ]
∑
∑
=
=
≡
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
i
i
i
m
i
i
i
y
L
C
y
C
L
1
1
.
0
Теорема дəлелденді.
2-теорема.
Егер нақты коэффициентті сызықтық біртекті 
теңдеудің (1) комплекс шешімі 
ϑ
i
u
y
+
=
болса, онда бұл 
шешімнің нақты 
Re ,
u
y
=
жорымал 
Im
y
ϑ =
бөліктері де, тең-
деудің шешімдері.
Дəлелдеу. 
[ ]
.
0
≡
y
L
Онда 
[
]
[ ]
[ ]
.
0
≡
+
=
+
ϑ
ϑ
L
i
u
L
i
u
L
Бұл 
тепе-теңдік тек 
[ ]
[ ]
0
,
0
≡
≡
ϑ
L
u
L
болғанда ғана орын дала-
тындықтан, теорема дəлелденді.
Анықтама.
Функциялар 
1
2
( ), ( ),
, ( )
m
y x y x
y x
…
кесіндіде 
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелді деп аталады, егер кемінде біреуі 
0
≠
j
α
, 
m
α
α
α
,
,
,
2
1
…
тұрақтылары табылып (яғни, 
∑
=
>
m
i
1
2
1
0
α
),
осы кесіндіде
0
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
≡
+
+
+
x
y
x
y
x
y
m
m
α
α
α
(2)
орындалса. Егер тепе-теңдік (2) 
0
2
1
=
=
=
=
m
α
α
α
…
мəнде рін- 
де ғана орындалса, онда функциялар 
1
2
( ), ( ),
,
( )
m
y x y x
y x
…
кесіндіде
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелсіз деп аталады.
1-мысал.
Функциялар 
x
x
2
2
sin
,
cos
,
1
кез келген аралықта 
сызықты тəуелді, себебі кез келген
x
-те 
.
0
1
sin
cos
2
2
≡
−
+
x
x
2-мысал.
Функциялар 
n
x
x
x
,
,
,
,
1
2
…
кез келген кесіндіде
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелсіз, себебі
0
1
2
3
2
1
≡
+
+
+
+
+
n
n
x
x
x
α
α
α
α
(3)
тепе-теңдігі барлық 
m
i
i
,
1
,
0
=
=
α
мəндерінде ғана мүмкін. 
Егер əйтеуір бір 
0
≠
i
α
болса, нөлдерінің саны 
n
-нен аспайтын 
көпмүшелік шығады, яғни нөлге 
n
-нен аспайтын нүктелерде 
ғана айналады.
3-мысал.
Функциялар 
j
i
k
k
e
e
e
j
i
x
k
x
k
x
k
n
≠
≠
,
,
,
,
,
2
1
…
кез 
келген кесіндіде 
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелсіз.

70
Функциялар сызықты тəуелді делік
,
0
2
1
2
1
≡
+
+
+
x
k
n
x
k
x
k
n
e
e
e
α
α
α
(4)
мұнда əйтеуір бір 
.
0
≠
i
α
Нақтырақ алсақ, 
0
≠
n
α
болсын. Тепе-
теңдікті 
x
k
e
1
-ке бөлсек жəне дифференциалдасақ,
0
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
2
2
1
1
2
≡
−
+
+
−
−
−
x
k
k
n
n
x
k
k
n
e
k
k
e
k
k
α
α
(5)
шығады, бұл 
1
−
n
көрсеткіштік 
px
e
функциялардың сызықты 
тəуелділігін береді. Тепе-теңдікті (5) 
x
k
k
e
)
(
1
2
−
-ке бөліп, диффе-
ренциалдасақ, 
2
−
n
əртүрлі көрсеткіштік функциялардың сы-
зықты тəуелділігін аламыз. Осылайша əрекеттерді 
1
−
n
рет 
жалғастырсақ,
1
2
1
3
2
1
0
(
)
(
)(
) (
)
n
n
k
k
x
n
n
n
k
k
k
k
k
k
e
α
−
−
−
−
−
−
≡
мүмкін емес тепе-теңдігі шығады, себебі
0
,
,
.
n
i
j
k
k
i
j
α
≠
≠
≠
Қайшылық функциялардың 
n
i
e
x
k
i
,
1
,
=
сызықты тəуелсіз 
екендігін көрсетеді.
4-мысал. 
Функциялар
1
1
1
1
,
,
,
,
k x
k x
n
k x
e
xe
x e
…
2
2
2
2
,
,
,
,
k x
k x
n
k x
e
xe
x e
…
. . . . . . . .
,
,
,
,
p
p
p
p
k x
k x
n
k x
e
xe
x e
…
,
i
j
k
k i
j
≠
≠
мəндерінде кез келген кесіндіде 
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелсіз.
Бұл функциялар сызықты тəуелді делік. Онда:
,
0
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
≡
+
+
+
x
k
p
x
k
x
k
p
e
x
P
e
x
P
e
x
P
(6)
)
(
x
P
i
- дəрежесі 
i
n
ден аспайтын көпмүшелік, сондай-ақ 
кемінде біреуі, мысалы, 
.
0
)
(
≠
x
P
p
Тепе-теңдікті (6) 
x
k
e
1
-ке 
бөліп, 
1
1
+
n
рет дифференциалдасақ, бірінші қосылғышы 

71
жойылады, функция саны алғашқыдан кем функциялардың тə-
уелділігін аламыз:
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
=
+
+
−
−
x
k
k
p
x
k
k
p
e
x
Q
e
x
Q
. (7)
Мұнда көпмүшеліктердің 
)
,
,
3
,
2
(
,
p
i
P
Q
i
i
…
=
дəрежелері 
бірдей, себебі 
0
( ) ,
px
i
P x e
p
≠
функциясын дифференциалдасақ 
[
]
( )
( )
px
i
i
P x p
P x e
+ ′
шығады, көпмүшелік 
)
(
x
P
i
p
-ға ғана 
көбейтіледі, 
)
(
x
P
p
жəне
)
(
x
Q
p
көпмүшеліктерінің дəрежелері 
бірдей, 
.
0
)
(
≠
x
Q
p
Тепе-теңдікті (7) 
x
k
k
e
)
(
1
2
−
-ке бөліп, 
1
2
+
n
рет 
дифференциалдасақ, функциялар саны тағы да кеміген сызықты 
тəуелділік шығады. Осылайша əрекетті 
1
−
p
рет қайталасақ,
0
)
(
)
(
1
≡
−
−
x
k
k
p
p
p
e
x
R
мүмкін емес тепе-теңдігін аламыз. Демек функциялар сызықты 
тəуелсіз.
3-теорема. Егер функциялар
n
y
y
y
,
,
,
2
1
…
кесіндіде
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелді болса, онда бұл кесінді де функциялардың 
Вронский анықтауышы деп аталатын анықтауыш.
[
]
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
2
1
,
,
,
)
(
−
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
′
′
′
=
=
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
W
x
W
…
нөлге тепе-тең.
Дəлелдеуі. Кесіндіде 
b
x
a
≤
≤
кемінде біреуі
0
2
2
1
1
≡
+
+
+
n
n
y
y
y
α
α
α
(8)
берілген. Тепе-теңдікті (8) 
)
1
(
−
n
рет дифференциалдасақ
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
≡
+
+
+
≡
′
+
+
′
+
′
≡
+
+
+
−
−
−
0
,
0
,
0
)
1
(
)
1
(
2
2
)
1
(
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
α
α
α
α
α
α
α
α
α
(9)
жүйені аламыз.

72
Бұл жүйе 
i
α
-лер бойынша кез келген 
[ ]
b
a
x
,
∈
үшін нөл 
емес шешімі бар, біртекті теңдеулер жүйесі болғандықтан, 
анықтауышы 
[
]
.
0
,
,
,
2
1
≡
n
y
y
y
W
…
4-теорема. Егер сызықты 
тəуелсіз функциялар 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
…
теңдеудің (1) шешімдері бол-
са, онда кесіндінің 
b
x
a
≤
≤
ешбір нүктесінде олардың Вронский 
анықтауышы
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
)
(
−
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
′
′
′
=
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
W
нөлге айналмайды.
Дəлелдеуі. 
[ ]
b
a
x
,
0
∈
нүктесінде 
0
)
(
0
=
x
W
делік. Онда ке-
мінде біреуі нөл емес 
n
i
i
,
1
,
=
α
тұрақтыларына тиісті жүйе 
құрылады:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
+
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
′
+
+
′
+
′
=
+
+
+
−
−
−
.
0
)
(
)
(
)
(
,
0
)
(
)
(
)
(
,
0
)
(
)
(
)
(
0
)
1
(
0
)
1
(
2
2
0
)
1
(
1
1
0
0
2
2
0
1
1
0
0
2
2
0
1
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
n
n
n
n
n
n
n
n
n
α
α
α
α
α
α
α
α
α
(10)
i
α
-лерге тиісті сызықты комбинация 
1 1
2 2
( )
( )
y
y x
y x
α
α
=
+
+
( ),
n
n
y x
α
+
+
сызықты біртекті теңдеудің (1) нөлдік бастапқы 
шарттарды қанағаттандыратын
0
)
(
,
,
0
)
(
,
0
)
(
0
)
1
(
0
0
=
=
′
=
−
x
y
x
y
x
y
n
…
(11)
шешімі. Бұл шартты орындайтын бір ғана нөлдік шешім бола тын-
дықтан 
0
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
≡
+
+
+
x
y
x
y
x
y
n
n
α
α
α
жəне 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
…
шешімдері теорема шартына қарамастан сызықты тəуелді.
Кесіндіде 
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелсіз шешімдер
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
…
кесінді ішінде де 
[
] [ ]
b
a
b
a
,
,
1
1
⊂
сызықты 
тəуелсіз.

73
Теңдеудің (1) шешімі емес сызықты тəуелсіз функциялар үшін 
4-теорема
орындала бермейді. Мысалы,
⎩
⎨
⎧
≤
<
≤
≤
−
=
2
1
,
0
1
0
,
)
1
(
)
(
2
1
x
x
x
x
y
,
⎩
⎨
⎧
≤
<
−
≤
≤
=
2
1
,
)
1
(
1
0
,
0
)
(
2
2
x
x
x
x
y
функциялары берілсе (
1-сурет
),
Вронский анықтауышы
.
2
0
0
2
1
2
1
≤
≤
≡
′
′
x
y
y
y
y
6-сурет
Бірақ функциялар 
2
1
,
y
y
кесіндіде 
2
0
≤
≤
x
сызықты тəуелсіз.
Себебі 
:
0
2
2
1
1
≡
+
y
y
α
α
егер 
1
0
≤
≤
x
аралығында қарас-
тырсақ, 
,
0
1
=
α
ал 
2
1
≤
≤
x
аралығында 
0
2
=
α
екендігі шығады.
5-теорема. Сызықты біртекті теңдеудің (1), берілген аралықта 
b
x
a
≤
≤
сызықты тəуелсіз
n
дербес шешімдерінің кез келген 
сызықты комбинациясы
∑
=
=
n
i
i
i
y
C
y
1
,
жалпы шешімін береді.
Дəлелдеу. Шешім 
∑
=
=
n
i
i
i
y
C
y
1
b
x
a
≤
≤
аралығында жалпы 
шешім болады, егер кез келген бастапқы берілімдерді
[ ]
b
a
x
y
x
y
y
x
y
y
x
y
n
n
,
,
)
(
,
,
)
(
,
)
(
0
)
1
(
0
0
)
1
(
0
0
0
0
∈
∀
=
′
=
′
=
−
−
…
орындайтын тұрақтыларды таңдай алатын болсақ.
Қойылған бастапқы шарттарды орындайтын шешімді талап 
ете отырып, 
i
C
-лер бойынша 
)
,
1
(
n
i
=
теңдеулер жүйесін аламыз.

74
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
(
)
(
)
( )
,
( )
,
( )
n
i
i
i
n
i
i
i
n
n
n
i
i
i
C y x
y
C y x
y
C y
x
y
=
=
−
−
=
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
′
′
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
=
⎪⎩
∑
∑
∑
Бұл жүйенің анықтауышы 
n
сызықты тəуелсіз шешімдерге 
құрылған, Вронский анықтауышы 
.
0
)
(
0
≠
x
W
Демек жүйе 
i
C
- 
лер бойынша кез келген 
0
x
мəнінде үйлесімді.
Сызықты біртекті теңдеудің сызықты тəуелсіз шешімдерінің 
максималды саны осы теңдеудің ретіне тең. Сызықты біртекті 
n
ретті теңдеудің кез келген 
n
сызықты тəуелсіз шешімдері, оның 
фундаменталдық шешімдер жүйесі деп аталады. Əрбір сызықты 
біртекті теңдеудің (1) фундаменталдық шешімдер жүйесі бар. 
Фундаменталды шешімдер жүйесін құру үшін 
2
n
сандарды
0
1
0
1
( )
( )
, ;
,
k
i
y
x i
n k
n
=
=
−
анықтауыш
b
x
a
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
n
n
n
n
n
n
≤
≤
≠
′
′
′
−
−
−
0
0
)
1
(
0
)
1
(
2
0
)
1
(
1
0
0
2
0
1
0
0
2
0
1
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
…
…
…
болатындай етіп алады. Онда 
n
i
n
k
x
y
k
i
,
1
;
1
,
0
)
(
0
)
(
=
−
=
бас-
тапқы шарттарымен анықталатын шешімдер 
)
(
x
y
i
фунда мен-
талдық жүйені құрады, себебі олардың Вронский анықтауышы
)
(
x
W
нүктеде 
0
x
x
=
нөл емес, сондықтан (3), (4) теоремалар 
бойынша 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
…
шешімдері сызықты тəуелсіз.
5-мысал.
0
=
−
′′
y
y
Шешуі. Теңдеудің 
0
=
−
′′
y
y
шешімдері 
x
x
e
y
e
y
−
=
=
2
1
,
сы зықты тəуелсіз, жалпы шешімі
.
2
1
x
x
e
C
e
C
y
−
+
=

75
6-мысал.
0
=
′
−
′′′
y
y
.
Шешуі. Теңдеудің 
0
=
′
−
′′′
y
y
шешімі 
1
2
x
y
C e
C chx
=
+
+
3
C shx
+
жалпы шешім емес, себебі 
chx
shx
e
x
,
,
сызықты тəуелді. 
Сызықты тəуелсіз шешімдері 
,
,
,
1
shx
chx
онда жалпы шешімі
.
3
2
1
shx
C
chx
C
C
y
+
+
=
Нөл емес бір дербес
1
y
шешімі белгілі болса, теңдеудің 
0
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
=
+
+
+
−
y
x
p
y
x
p
y
n
n
n
ретін
∫
=
udx
y
y
1
алмасты-
руы мен сызықтық жəне біртектілігін сақтай отырып, бірге тө мен-
детеді.
Алмастыруды 
∫
=
udx
y
y
1
былай етеміз:
z
y
y
1
=
(12) 
жəне 
u
z
=
′
. Онда теңдеу (1):
,
0
)
(
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
0
=
+
+
+
−
z
x
a
z
x
a
z
x
a
n
n
n
(13)
түрге келеді. Мұндағы, 
1
y
y
=
шешіміне 
1
≡
z
сəйкес. Бұл 
шешімді орнына (13) қойсақ, 
,
0
)
(
≡
x
a
n
теңдеу (13): 
,
0
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
)
(
0
=
′
+
+
+
−
−
z
x
a
z
x
a
z
x
a
n
n
n
түрге енеді. 
u
z
=
′
алмастыруы нəтижесінде
.
0
)
(
)
(
)
(
1
)
2
(
1
)
1
(
0
=
+
+
+
−
−
−
u
x
a
u
x
a
u
x
a
n
n
n
Осы алмастырумен 
∫
=
udx
y
y
1
біртексіз теңдеудің 
[ ]
)
(
x
f
y
L
=
де ретін бірге төмендетеді.
Сызықты біртекті теңдеудің 
b
x
a
≤
≤
кесіндісінде 
k
сызық-
ты тəуелсіз шешімдері белгілі болса, ретін 
)
(
k
n
−
-ға дейін тө-
мендете аламыз.
7-мысал.
0
=
+
′
−
′′
y
y
x
y
x
Шешуі. Теңдеудің 
0
=
+
′
−
′′
y
y
x
y
x
бір шешімі 
x
y
=
1
бел-
гілі. 
Ретін
2
,
,
y
x udx y
xu
udx y
xu
u
=
=
+
=
+
′
′′
′
∫
∫
алмасты руы 
мен төмендетіп, 
2
2
0
(
)
x u
x xu
+
−
=
′
теңдеуін аламыз. Бұдан:

76
1
1
2
2
2
2
,
,
.
x
x
du
x
e
e
dx u
C
y
x udx
x C
dx
C
u
x
x
x
⎡
⎤
−
=
=
=
=
+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
Фундаменталды шешімдер жүйесі
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
…
сызықты 
біртекті теңдеуді
0
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
=
+
+
+
−
y
x
p
y
x
p
y
n
n
n
толығымен 
анықтайды, сондықтан берілген фундаменталды шешімдер жүйе-
сі 
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
…
бойынша теңдеуді құру есебін қоюға болады.
Теңдеудің (1) əрбір шешімі 
y
фундаменталды шешімдер жү-
йесіне 
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
…
сызықты тəуелді болғандықтан Вронский 
анықтауышы 
[
]
.
0
,
,
,
2
1
=
n
y
y
y
W
…
Бұл теңдеуді ашып жазсақ,
,
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
=
′
′
′
′
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
…
…
…
…
немесе соңғы баған элементтері бойынша жіктесек,
[
]
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
0
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
, , ,
. . . . . . . . . . .
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
W y y
y y
y
y
y
y
y
y
y
−
−
−
−
′
′
′
−
+
=
…
…
…
…
…
…
(14)
Алынған теңдеу (14) фундаменталдық шешімдер арқылы 
құ рылған сызықты біртекті ізделінді теңдеу. Теңдеуді 
[
]
0
,
,
1
≠
n
y
y
W
…
коэффициентіне бөлсек, (1) түрге келеміз. 
Бұдан:

77
[
]
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
. . . . . . . . . . .
( )
, ,
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
P x
W y y
y
−
−
−
′
′
′
= −
…
…
…
…
…
Бөлшектің алымындағы анықтауыш Вронский анық тауы-
шының туындысы болғандықтан
,
)
(
1
W
W
x
P
′
−
=
ln
W
=
1
1
( )
( )
ln ,
p x dx
p x dx
C W
Ce
−
∫
= −
+
=
∫
немесе 
1
0
( )
.
x
x
p x dx
W
Ce
−
∫
=
(15)
0
x
x
=
десек,
0
( ),
C
W x
=
1
0
0
( )
( )
( )
x
x
p x dx
W x
W x e
−
∫
=
(16)
Формула (15) немесе (16) Остроградский-Лиувилль форму-
ласы деп аталады.
Бұл формула екінші ретті теңдеуді 
0
)
(
)
(
2
1
=
+
′
+
′′
y
x
p
y
x
p
y
(17)
бір шешімі 
1
y
белгілі болғанда интегралдауға қолданылады.
Формула бойынша (17) теңдеудің кез келген шешімі
1
1
1
1
( )
p x dx
y
y
C e
y
y
−
∫
=
′
′
теңдеуінің де шешімі болғандықтан,
1
1
1
1
( )
p x dx
y y
yy
C e
−
∫
−
=
′
′
теңдеуді 
2
1
1
y
=
μ
көбейткішіне көбейтсек,
теңдігі шығады.

78
1
1
2
1
1
( )
,
p x dx
d
y
C
e
dx y
y
−
∫
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1
2
2
1
1
( )
,
p x dx
y
C e
dx
C
y
y
−
∫
=
+
∫
немесе
1
2 1
1 1
2
1
( )
.
p x dx
e
y
C y
C y
dx
y
−
∫
=
+
∫

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: