§12. Сызықтық біртекті емес (біртексіз) теңдеулер

83
Егер
( )
f x
жəне
1
( )
,
i
p x
i
n
=
функциялары кесіндіде
b
x
a
≤
≤
үзіліссіз болса, онда теңдеудің (1) бастапқы шарттарды
1
,
1
,
)
(
)
(
0
0
)
(
−
=
=
n
k
y
x
y
k
k
қанағаттандыратын жалғыз шешімі 
бар.
Шындығында, 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
x
f
y
x
p
y
x
p
y
x
p
y
n
n
n
n
+
−
−
−
−
=
−
−
(1׳)
теңдігінің оң жағындағы функция, бастапқы шарт нүктесінің 
төңірегінде шешім бар жəне жалғыз болуы туралы теорема 
шарттарын орындайды:
1) оң жағы барлық аргументтері бойынша үзіліссіз;
2) барлық
1
,
0
)
(
−
=
n
k
y
k
бойынша шектеулі туындылы.
Сызықтық оператордың негізгі қасиеттерінен
[ ]
[ ] [
]
[ ] [ ]
1
2
1
2
,
L Cy
CL y
L y
y
L y
L y
=
+
=
+
тікелей туындай тын 
келесі тұжырымдарды келтірейік:
1) Біртексіз теңдеудің шешімі 
y
~
жəне біртекті теңдеудің 
шешімі 
0
y
қосындысы 
,
~
0
y
y
+
біртексіз теңдеудің шешімі, яғни
[ ]
[ ]
0
0
( ),
L y
f x
L y
≡
≡
болса, онда 
[
]
0
( );
L y
y
f x
+
≡
2) Егер 
[ ]
)
(
x
f
y
L
i
i
≡
болса, 
1
1
( );
m
m
i
i
i
i
i
i
L
y
f x
α
α
=
=
⎡
⎤ ≡
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
3) Егер 
[
]
( )
( )
( )
( )
L u x
i
x
U x
iV x
ϑ
+
≡
+
болса, онда 
[
]
( )
L u x
≡
[
]
( ),
( )
( ).
U x
L
x
V x
ϑ
≡
Теорема. Біртексіз теңдеудің 
[ ]
)
(
x
f
y
L
=
жалпы шешімі, осы
теңдеуге тиісті біртекті теңдеудің
[ ]
0
=
y
L
жалпы шешімі 
∑
=
n
i
i
i
y
C
1
мен біртексіз теңдеудің 
[ ]
)
(
x
f
y
L
=
əйтеуір бір шешімінің 
y
қосындысына тең.
Дəлелдеуі.
,
1
∑
=
+
=
n
i
i
i
y
y
C
y
(2)

84
i
C
- кез келген тұрақтылар, 
i
y
- біртекті теңдеудің сызықты 
тəуелсіз шешімдері, жалпы шешім екендігі дəлелденеді, егер
кез келген бастапқы шарттарды
1
,
0
,
)
(
)
(
0
0
)
(
−
=
=
n
k
y
x
y
k
k
(3)
қанағаттандыратындай
i
C
- тұрақтыларын таңдай алатын болсақ,
.
0
b
x
a
≤
≤
Шешімнің (2) бастапқы шарттарды (3) қанағаттандыруын 
талап етсек,
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
(
)
(
)
(
)
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
,
. . . . . . . . . .
( )
( )
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
C y x
y x
y
C y x
y x
y
C y x
y x
y
C y
x
y
x
y
=
=
=
−
−
−
=
+
=
+
=
′
′
′
+
=
′′
′′
′′
+
=
∑
∑
∑
∑
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
(4)
теңдеулер жүйесі шығады. Бұл 
i
C
-лер бойынша сызықты 
теңдеулер жүйесінің анықтауышы Вронский анықтауышы 
[
]
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
W
…
аралықтың 
b
x
a
≤
≤
0
бірде-бір нүктесінде 
жəне 
[ ]
b
a
x
,
0
∈
нүктесінде нөлге айналмайды, яғни оң жағын-
дағы кез келген мəндерде 
)
,
1
(
n
i
C
i
=
бойынша жалғыз шешімді 
береді. Теорема дəлелденді.
Сонымен, сызықтық біртексіз теңдеуді шешу, осы теңдеудің 
бір дербес шешімін анықтауға жəне тиісті біртекті теңдеуді ин-
тегралдауға келтіріледі.
1-мысал.
x
e
y
y
=
+
′′
.
Шешуі. Теңдеудің бір дербес шешім 
,
2
1
x
e
y
=
тиісті біртекті 
теңдеудің жалпы шешімі
.
sin
cos
2
1
x
C
x
C
y
+
=
Онда біртексіз 
теңдеудің жалпы шешімі 
.
2
1
sin
cos
2
1
x
e
x
C
x
C
y
+
+
=

85
Біртексіз теңдеуге тиісті біртекті теңдеудің жалпы шешімі 
белгілі болса, біртексіз теңдеуді тұрақтыларды вариациялау əді-
сімен интегралдауға болады.
Бұл əдісте біртексіз теңдеудің шешімі
∑
=
=
n
i
i
i
y
x
C
y
1
)
(
(5)
түрінде іздестіріледі. Функцияның 
y
туындыларының түрі, 
i
C
-лерді тұрақты деп қарастырғандағыдай болсын деп талап етсек,
∑
∑
=
=
′
+
′
=
′
n
i
i
n
i
i
i
i
x
y
x
C
x
y
x
C
y
1
1
,
)
(
)
(
)
(
)
(
∑
=
=
′
n
i
i
i
x
y
x
C
1
,
0
)
(
)
(
1
1
( ) ( )
( ) ( ),
n
n
i
i
i
i
i
i
y
C x y x
C x y x
=
=
=
+
′′
′′
′
′
∑
∑
∑
=
=
′
′
n
i
i
i
x
y
x
C
1
,
0
)
(
)
(
туындыларды есептеуді, осылайша 
)
1
(
−
n
ретке дейін жалғас ты-
рамыз, əрбіреуінде
∑
=
−
=
=
′
n
i
k
i
i
n
k
x
y
x
C
1
)
(
)
2
,
0
(
0
)
(
)
(
(6)
делінеді, онда:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
′
+
=
=
′′
=
′′
′
=
′
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
−
=
=
−
−
=
=
=
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
n
i
n
i
i
n
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
y
x
C
y
x
C
y
y
x
C
y
y
x
C
y
y
x
C
y
y
x
C
y
1
)
1
(
1
)
(
1
)
1
(
)
1
(
1
1
1
.
)
(
)
(
,
)
(
.
.
.
.
.
.
.
,
)
(
,
)
(
,
)
(
(7)

86
Соңғы теңдікте 
1
1
0
(
)
n
n
i
i
i
C y
−
=
=
′
∑
дей алмаймыз, себебі 
)
(
x
C
i
-тер
)
1
(
−
n
шартты орындап тұр жəне теңдеуді (1) де қанағаттандыруы 
керек. Өрнектерді (7) теңдеуге (1) қойып, жетпей тұрған соңғы 
шартты аламыз.
Сонымен, функциялар 
)
(
x
C
i
n
i
,
1
=
келесі 
n
сызықты тең-
деулер жүйесінен анықталады:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
′
=
′
=
′′
′
=
′
′
=
′
∑
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−
=
=
=
.
)
(
)
(
,
0
)
(
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
1
)
1
(
1
)
2
(
1
1
1
x
f
y
x
C
y
x
C
y
x
C
y
x
C
y
x
C
n
i
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
(8)
Бұл жүйенің анықтауышы теңдеудің 
[ ]
0
=
y
L
сызықты тə-
уелсіз шешімдерінің Вронский анықтауышы болғандықтан, 
ешбір нүктеде
[ ]
b
a
x
,
∈
нөлге айналмайды, демек,
)
(
)
(
x
x
C
i
i
ϕ
=
′
шешімдері бар. Интегралдасақ 
( )
( )
i
i
i
C x
x dx
C
ϕ
=
+
∫
шығады. 
Ал бұларды (5)-ке қойсақ, біртексіз теңдеудің жалпы шешімі 
табылады:
1
1
( )
( )
( )
n
n
i
i
i
i
i
i
y
C y x
y x
x dx
ϕ
=
=
=
+
∑
∑
∫
. (9)
2-мысал.
x
y
y
cos
1
=
+
′′
Шешуі. Тиісті біртекті теңдеудің 
0
=
+
′′
y
y
жалпы шешімі
.
sin
cos
2
1
x
C
x
C
y
+
=
Тұрақтыларды 
2
1
,
C
C
вариациялаймыз

87
( )
( )
.
sin
cos
2
1
x
x
C
x
x
C
y
+
=
( )
x
C
1
жəне 
( )
x
C
2
:
( )
( )
( )
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
′
+
′
−
=
′
+
′
x
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
x
C
cos
1
cos
sin
,
0
sin
cos
2
1
2
1
1
1
1
sin
( )
,
( ) ln cos
,
cos
x
C x
C x
x
C
x
= −
=
+
′
,
1
)
(
2
=
′
x
C
2
2
)
(
C
x
x
C
+
=
теңдеулер жүйесінен (8) анықталады. Онда бастапқы біртексіз 
теңдеудің жалпы шешімі:
.
sin
cos
ln
cos
sin
cos
2
1
x
x
x
x
x
C
x
C
y
+
+
+
=
Біртексіз теңдеудің (1) дербес шешімі Коши əдісімен де 
құрылады. Бұл əдіс бойынша теңдеудің (1) нөлдік бастапқы 
шарттарды
)
(
0
)
(
)
(
)
(
0
0
)
1
(
0
0
0
I
x
x
y
x
y
x
y
n
∈
=
=
=
′
=
−
(10)
қанағаттандыратын дербес шешімі Коши формуласымен
0
( , ) ( )
x
x
y
K x s f s ds
=
∫
)
,
(
0
I
x
x
∈
(11)
анықталады; мұндағы,
)
,
(
s
x
K
Коши функциясы, параметрдің
I
s
∈
əрбір мəнінде біртекті теңдеудің
[ ]
0
=
y
L
келесі шарттарды
1
)
,
(
,
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
1
(
)
2
(
=
=
=
=
′
=
−
−
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
s
K
n
n
(12)
орындайтын дербес шешімі.
Теңдеудің 
[ ]
0
=
y
L
фундаменталды шешімдер жүйесі 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
…
арқылы

88
)
(
)
(
)
,
(
1
x
y
s
C
s
x
K
i
n
i
i
∑
=
=
(13) 
Коши функциясы құрылады, коэффициенттері 
n
i
s
C
i
,
1
)
(
=
(12) – шарттың орындалуынан анықталады.
Теңдеудің 
[ ]
0
=
y
L
фундаменталдық шешімдер жүйесі 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
…
I
x
x
∈
=
0
- нүктесінде нормалдық деп аталады,
егер:
,
0
)
(
,
,
0
)
(
,
1
)
(
0
)
1
(
1
0
1
0
1
=
=
′
=
−
x
y
x
y
x
y
n
…
,
0
)
(
,
,
1
)
(
,
0
)
(
0
)
1
(
2
0
2
0
2
=
=
′
=
−
x
y
x
y
x
y
n
…
. . . . . . . . . . . . .
.
1
)
(
,
,
0
)
(
,
0
)
(
0
)
1
(
0
0
=
=
′
=
−
x
y
x
y
x
y
n
n
n
n
…
Егер 
1
2
( ), ( ),
,
( )
n
y x y x
y x
…
теңдеудің 
[ ]
0
=
y
L
нор малдық 
фундаменталдық шешімдер жүйесі бол са, онда бұл теңдеудің 
бастапқы шарттарды
)
1
(
0
0
)
1
(
0
0
0
0
)
(
,
,
)
(
,
)
(
−
−
=
′
=
′
=
n
n
y
x
y
y
x
y
y
x
y
…
орындайтын Ко -
ши есебінің шешімі
.
)
(
)
(
)
(
)
1
(
0
2
0
1
0
x
y
y
x
y
y
x
y
y
y
n
n
−
+
+
′
+
=
(14)
Егер 
[ ]
0
=
y
L
теңдеуінің нормалдық фундаменталдық 
ше шімдер жүйесі 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
…
белгілі болса, онда сы-
зық
ты біртексіз теңдеудің (1) бастапқы шарттарды 
)
1
(
0
0
)
1
(
0
0
0
0
)
(
,
,
)
(
,
)
(
−
−
=
′
=
′
=
n
n
y
x
y
y
x
y
y
x
y
…
орындайтын ше-
шімі
1
0 1
0 2
0
(
)
( )
( )
( )
( ),
n
n
y
y y x
y y x
y
y x
y x
−
=
+
+
+
+
′
(15)
мұндағы, 
)
(
x
y
- теңдеудің (1) Коши əдісімен құрылған дербес 
шешімі.
3-мысал.
)
(
2
x
f
y
a
y
=
+
′′

89
Біртекті теңдеудің жалпы шешімі 
1
2
cos
sin .
y
C
ax
C
ax
=
+
Онда 
1
2
( , )
( )cos
( )sin ,
K x s
C s
ax
C s
ax
=
+
С
1
(
s
) жəне 
С
2
(
s
):
1
2
1
2
cos
sin
0,
sin
cos
1,
C
as
C
as
aC
as
aC
as
+
=
⎧
⎨−
+
=
⎩
1
2
sin
cos
1
,
, ( , )
sin (
)
as
as
C
C
K x s
a x
s
a
a
a
= −
=
=
−
шарттардың орындалуынан табылады. Сонымен, берілген теңдеу-
дің нөлдік бастапқы шарттарды орындайтын шешімі
0
1
( )
sin (
) ( ) .
x
x
y x
a x
s f s ds
a
=
−
∫

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: