Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

170
Сонымен, функциялар 
1
1
,
y
x
теңдеулер жүйесінің шешімдері 
екен. Дəл осылайша 
2
2
,
y
x
функцияларын тексереміз:
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dx
dy
e
t
t
e
t
t
dt
dt
x
t
t
t y
e
t
t
t
t e
t
e
t
t
t
t
e
t
t
t
t x
y
t
t
t e
t e
t
t
e
t
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
(cos
sin ),
(sin
cos ),
cos
(1 sin cos )
cos cos
(1 sin cos ) sin
(cos
sin
sin cos )
(cos
sin ),
(1 sin cos )
sin
(1 sin cos ) cos
sin sin
(cos
=
−
=
+
− −
=
⋅
− −
⋅
=
=
−
+
=
−
+
+
= +
+
⋅
=
=
+
t
t
t
t
e
t
t
2
3
sin cos
sin )
(cos
sin ).
+
=
+
Берілген функциялар 
x t y t
x t y t
1
1
2
2
( ( ), ( )); ( ( ), ( ))
теңдеулер 
жү
йе 
сінің шешімдері екен, енді Вронский анықтауышын 
құ ра мыз:
0
)
cos
sin
(
sin
cos
cos
sin
)
(
2
2
≠
−
=
−
−
=
−
=
t
t
t
t
e
t
t
e
t
e
t
t
e
t
t
W
Кез келген 
t
мəнінде 
0
)
(
≠
t
W
болғандықтан, шешімдер 
сызықты тəуелсіз, фундаменталды жүйе. Онда теңдеулер жүйе-
сінің жалпы шешімі:
.
sin
cos
)
(
)
(
)
(
,
cos
sin
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
t
e
C
t
C
t
y
C
t
y
C
t
y
t
e
C
t
C
t
x
C
t
x
C
t
x
t
t
+
=
+
=
+
−
=
+
=
2-мысал
. Теңдеулер жүйесінің
dx
dy
y
x
dt
dt
,
= −
=
бір шешімі
.
cos
,
sin
1
1
t
y
t
x
=
−
=
Жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Жүйенің шешімі 
( ),
( )
x
t
y
t
ϕ
ψ
=
=
келесі 
0
)
0
(
,
1
)
0
(
=
=
ψ
ϕ
шарт тарын қанағаттандырады деп, Лиувилль-
Остроградский формуласы бойынша
,
1
1
0
0
1
cos
)
(
sin
)
(
0
0
=
∫
=
−
⋅
t
d
e
t
t
t
t
τ
ψ
ϕ

171
немесе 
x
t
y
t
( ),
( )
ϕ
ψ
=
=
теңдігін аламыз. Онда 
.
sin
)
(
,
cos
)
(
t
t
t
t
=
=
ψ
ϕ
Енді шешімдер жүйесінің 
)
cos
,
sin
(
),
sin
,
(cos
t
t
t
t
−
сы зық-
ты тəуелсіздігін Вронский анықтауышымен тексереміз:
,
1
sin
cos
cos
sin
sin
cos
)
(
2
2
=
+
=
−
=
t
t
t
t
t
t
t
W
Кез-келген 
t
үшін шешімдер сызықты тəуелсіз, жалпы шешім:
.
cos
sin
)
(
,
sin
cos
)
(
2
1
2
1
t
C
t
C
t
y
t
C
t
C
t
x
+
=
−
=
6-теорема.
Егер 
x
сызықты біртекті емес 
[ ]
F
X
L
=
(3) 
жүйенің, ал 
0
X
тиісті біртекті 
[ ]
0
=
X
L
жүйесінің шешімдері 
болса, онда шешімдердің қосындысы 
X
X
+
0
біртекті емес
[ ]
F
X
L
=
жүйенің шешімі.
Дəлелдеуі.
Берілгені
[ ]
F
X
L
≡
жəне
[ ]
.
0
≡
X
L
[
]
F
X
X
L
≡
+
0
екендігін дəлелдеу керек.
Оператордың
L
қасиеті бойынша 
[
]
[ ]
[ ]
.
0
0
F
X
L
X
L
X
X
L
≡
+
≡
+
Теорема дəлелденді.
7-Теорема. 
Коэффиценттері
)
(
t
a
ij
жəне оң жағындағы функ-
циялары 
)
(
t
f
i
кесіндіде 
b
t
a
≤
≤
үздіксіз, біртекті емес (3) 
жүйенің жалпы шешімі, осы жүйеге тиісті біртекті (4) жүйенің 
∑
=
n
i
i
i
X
C
1
жалпы шешімі мен біртекті емес жүйенің бір 
X
ше-
шімінің қосындысына тең: 
∑
=
+
=
n
i
i
i
X
X
C
t
X
1
)
(
.
Дəлелдеуі. 
Шешім бар жəне жалғыз болуы туралы теорема 
шарттары орындалатындықтан, теорема дəлелденеді, егер кез 
келген бастапқы шартта 
n
x
x
X t
x
10
20
0
0
( )
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
матрицалық теңдеудің 

172
∑
=
=
+
n
i
i
i
X
t
X
t
X
C
1
0
0
0
)
(
)
(
немесе теңдеулер жүйесінің 
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i ni
n
n
i
C x t
x t
x
C x t
x t
x
C x t
x t
x
1
0
1 0
10
1
2
0
2 0
20
1
0
0
0
1
( )
( )
,
( )
( )
,
. . . . . . . . . .
( )
( )
=
=
=
⎫
+
=
⎪
⎪
⎪
+
=
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
+
=
⎪
⎭
∑
∑
∑
шешімдері 
n
C
C
C
,...,
,
2
1
бар екендігін көрсетсек. Бұл айқын, 
себебі теңдеулер жүйесінің анықтауышы, 
0
]
[
=
x
L
жүйесінің 
сызықты тəуелсіз 
n
X
X
X
,...,
,
2
1
шешімдерінің 
0
t
нүктесіндегі 
Вронский анықтауышы, нөлге тең емес. Теорема дəлелденді.
8-теорема.
m
i
F
X
L
i
,
1
,
]
[
=
=
теңдеулерінің 
i
X
шешімдерінің 
қосындысы
∑
=
m
i
i
X
1
теңдеулер жүйесінің 
∑
=
=
m
i
i
F
x
L
1
,
]
[
i
i
i
mi
f t
f t
F
f
t
1
2
( )
( )
( )
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
шешімі болады.
Дəлелдеуі.
Берілгені 
.
,
1
,
]
[
m
i
F
X
L
i
i
=
≡
∑
∑
=
=
≡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
i
i
m
i
i
F
X
L
1
1
екендігін дəлелдеу керек.
L 
операторының қасиеті бойынша
[ ]
∑
∑
∑
=
=
=
≡
≡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
i
i
m
i
i
m
i
i
F
X
L
X
L
1
1
1
.
Теорема дəлелденді.
Ескерту. Теорема тұжырымы 
∞
→
m
жағдайда орынды, егер 
∑
∞
=
1
i
i
X
қатары жəне оның туындысы жинақты болса.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: