Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

182
1. Біртіндеп жуықтау əдісі
Бастапқы шартпен берілген теңдеулер жүйесінің
i
i
n
dy
f x y y
y
i
n
dx
1
2
( , , , , )
1,
=
=
…
(1)
n
i
y
x
y
i
i
,
1
)
(
0
0
=
=
(2)
оң жағындағы 
i
f
функциялары екінші аргументінен бастап 
барлық аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырса, 
біртіндеп жуықтау əдісімен шешуге болады.
Нөлінші жуықтауы 
)
(
0
x
y
i
еркін таңдалып, қалған жуық-
таулары:
x
i k
i
i
k
k
nk
x
y
x
y
f x y
y
y dx
i
n
0
, 1
0
1
2
( )
( , ,
, ,
)
1,
+
=
+
=
∫
…
(3) 
формуламен есептеледі.
Жуықтауы баяу жинақталатындықтан жəне есептеудің күр-
делілігі, біртекті еместігінен, бұл формула тəжірибеде сирек қол-
данылады.
2. Эйлер əдісі
Жүйенің (1)-(2) интегралдық сызығы Эйлер сызығымен алма-
стырылады.
Шешім есептелінетін аралық 
b
x
x
≤
≤
0
ұзындығы 
h
бө-
ліктерге бөлшектеніп, 
)
(
)
(
)
(
1
k
i
k
i
k
i
x
y
h
x
y
x
y
′
+
=
+
n
i
,
1
=
(4) 
формула қолданылады. Есептеу дəлдігін жоғарылату үшін 
итерациялар қолданылады.
3. Тейлор формуласымен жіктеу
Теңдеулер жүйесінің (1) 
i
f
функциялары 
k
- рет дифферен-
циалданатын деп, шешімдерді Тейлор жіктеулері түрінде жазады:

183
k
k
i
i
i
i
i
x x
x x
y x
y x
y x
x x
y x
y
x
k
2
( )
0
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
( )
( )
( )(
)
( )
( )
,
2!
!
−
−
≈
+
−
+
+ +
′
′′
…
n
i
,
1
=
(5) 
Қателікті бағалау Тейлор формуласындағы қалдықты бағалау 
əдісімен атқарылады:
k
k
ik
i
x x
R
y
x
x x
k
1
( 1)
0
0
0
(
)
[
(
)]
, 0
1.
(
1)!
θ
θ
+
+
−
=
+
−
< <
+
Бұл əдіс
 х
0
нүктесінің аз төңірегінде жақсы нəтиже береді.
4. Штермер əдісі
Аралық 
b
x
x
≤
≤
0
ұзындығы 
h
бөліктерге бөлшектеніп, тең-
деулер жүйесінің (1) шешімі: 
i k
ik
ik
i k
y
y
q
q
, 1
, 1
1
,
2
+
−
=
+
+ Δ
(6)
i k
ik
ik
i k
i k
y
y
q
q
q
2
, 1
, 1
, 2
1
5
,
2
12
+
−
−
=
+
+ Δ
+
Δ
7)
i k
ik
ik
i k
i k
i k
y
y
q
q
q
q
2
3
, 1
, 1
, 2
, 3
1
5
3
,
2
12
8
+
−
−
−
=
+
+ Δ
+
Δ
+ Δ
(8)
. . . . . . . . . . . . .
ik
i
k
k
ik
i
k
i
n
y
y x
x
x
kh
q
y x h
0
1, ,
( ),
,
( ) ,
=
=
=
+
= ′
i k
ik
i k
i k
i k
i k
i k
i k
i k
q
q
q
q
q
q
q
q
q
2
, 1
, 1
, 2
, 1
, 2
3
2
2
, 3
, 2
, 3
,
,
.
−
−
−
−
−
−
−
−
Δ
=
−
Δ
= Δ
− Δ
Δ
= Δ
− Δ
формулалардың бірімен есептеледі.
Штермер формуласы үшін бастапқы жуықтауларды алдыңғы 

184
əдістермен табуға болады. Жіберілген қателік бірінші ретті тең-
деуді шешкендегі əдіспен бағаланады.
5. Рунге əдісі
Сандар есептеліп,
(
)
i
i
k
k
k
nk
n
i
i
k
k
k
nk
m
f x y
y
y
hm
hm
hm
h
m
f x
y
y
y
1
1
2
11
21
1
2
1
2
, ,
, ,
,
,
,
, ,
,
2
2
2
2
=
⎛
⎞
=
+
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
…
…
(
)
n
i
i
k
k
k
nk
i
i
k
k
k
nk
n
hm
hm
hm
h
m
f x
y
y
y
m
f x
h y
hm
y
hm
y
hm
12
22
2
3
1
2
4
1
13
2
23
3
,
,
, ,
,
2
2
2
2
,
,
, ,
,
⎛
⎞
=
+
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
+
+
+
+
…
…
формула қолданылады.
(
)
n
i
m
m
m
m
h
y
y
i
i
i
i
ik
k
i
,
1
2
2
6
4
3
2
1
1
,
=
+
+
+
+
=
+
(9) 
Қадам
h
дұрыс таңдалғанда айырымдар
…
,
2
,
ik
ik
q
q
Δ
Δ
біркелкі 
өзгереді.
Есептер, жаттығулар.
1. 
dx
dy
y
x x
y
dt
dt
,
, (0) 0, (0) 1.
=
= −
=
=
Ж.
.
cos
,
sin
t
y
t
x
=
=
2. 
d x
d x
x
x
x
x
dt
dt
x
x
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
,
, (0) 2, (0) 2,
(0) 2,
(0) 2.
=
=
=
=
′
=
=
′
Ж. 
.
2
,
2
2
1
t
t
e
x
e
x
=
=
3. 
t
t
dx
dy
x y
e
x
y
e
dt
dt
2
5
,
3
.
+
+ =
− −
=
Ж. 
t
t
t
t
x C e
C e
e
e
( 1 15)
( 1 15)
2
1
2
2
1 ;
11
6
− +
− −
=
+
+
+

185
y
-бірінші теңдеуден табылады: 
t
dx
y
e
x
dt
5 .
= −
−
4. 
dx
dy
dz
y
z
x
dt
dt
dt
,
,
.
=
=
=
Ж. 
;
2
3
sin
2
3
cos
3
2
2
1
1
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
=
−
t
C
t
C
e
e
C
x
t
t
y
жəне 
z
келесі теңдеулерден анықталады: 
dx
d x
y
z
dt
dt
2
2
,
.
=
=
5. 
dx
dy
y
y
dt
dt
x
2
,
=
=
Ж. 
.
;
2
2
2
1
1
t
C
t
C
e
C
C
y
e
C
x
=
=
6. 
dx
dy
dx
dy
x y
x y
dt
dt
dt
dt
3,
3.
+
= − + +
−
= + −
Ж. 
.
cos
sin
;
3
sin
cos
2
1
2
1
1
t
C
t
C
y
t
C
t
C
x
+
−
=
+
+
=
7. 
dy
z
dz
xy
dx
x dx
,
.
=
= −
Ж. 
[
]
y C J x
C Y x
z
x C J x
C Y x
1 0
2 0
1 0
2 0
( )
( );
( )
( ) .
=
+
=
+
′
′
8. 
dx
dy
dz
z
y
x z
y x
.
=
=
−
−
−
Ж. 
.
;
2
2
2
2
2
1
C
z
y
x
C
z
y
x
=
+
+
=
+
+
9. 
dx
dy
dz
x y z
x y z
x y z
dt
dt
dt
,
,
.
= − + +
= − +
= + −
Ж. 
,
2
2
1
t
t
e
C
e
C
x
−
+
=
.
)
(
,
2
3
2
1
2
3
1
t
t
t
t
e
C
C
e
C
z
e
C
e
C
y
−
−
+
−
=
+
=
13–684

186
10.
dx
dy
t
y
t
x
dt
dt
0,
0.
+ =
+ =
Ж.
.
;
2
1
2
1
t
C
t
C
y
t
C
t
C
x
+
−
=
+
=
11. 
dx
dy
y
x
dt
dt
t
1
1,
.
sin
= +
= − +
Ж. 
x C
t C
t t
t
t
t
1
2
cos
sin
cos
sin ln sin ;
=
+
−
+
y
мына теңдеуден анықталады:
dx
y
dt
1.
=
−
12. 
dx
y
dy
x
dt
x y dt
x y
,
.
=
=
−
−
Ж. 
.
,
2
1
2
2
C
t
x
y
C
y
x
=
−
−
=
−
13. 
.
sin
,
cos
t
x
y
t
y
x
=
+
′
=
+
′
Ж. 
.
;
sin
2
1
2
1
t
t
t
t
e
C
e
C
y
t
e
C
e
C
x
−
−
+
−
=
+
+
=
14. 
,
0
8
,
0
3
=
+
−
′
=
−
+
′
y
x
y
y
x
x
.
4
)
0
(
,
1
)
0
(
=
=
y
x
Ж. 
.
4
;
t
t
e
y
e
x
=
=
15. 
d
d
t
dt
dt
2
2
sin
0,
0,
,
0.
36
θ
π
θ
θ
θ
+
=
=
=
=
)
1
(
θ
мəнін 
001
,
0
дəлдігімен анықтау керек.
Ж. 
.
047
,
0
)
1
(
≈
θ
16. 
x t
ax y y t
x ay a
( )
,
( )
;
=
−
= +
′
′
- тұрақты.
Ж. 
at
at
x
e C
t C
t
y
e C
t C
t
1
2
1
2
( cos
sin ),
( sin
cos ).
=
+
=
−
17. 
.
0
5
2
,
0
4
3
=
+
+
′
=
+
+
′
y
x
y
y
x
x
Ж. 
.
,
2
7
2
1
7
2
1
t
t
t
t
e
C
e
C
y
e
C
e
C
x
−
−
−
−
+
−
=
+
=

187
18. 
.
7
,
2
5
y
x
y
y
x
x
−
=
′
−
−
=
′
Ж. 
(
)
,
sin
2
cos
2
2
1
6
t
C
t
C
e
x
t
+
=
−
(
)
(
)
[
]
.
sin
cos
2
1
2
1
6
t
C
C
t
C
C
e
y
t
+
+
−
=
−
19. 
.
,
,
z
x
z
y
x
y
z
y
x
+
=
′
+
=
′
−
=
′
Ж. 
.
,
1
)
(
,
1
2
3
1
2
1
t
t
t
e
C
y
z
C
t
e
C
t
C
y
C
e
C
x
−
=
−
−
−
+
=
+
=
20. 
.
,
,
0
t
z
x
z
t
y
x
y
z
y
x
=
−
−
′
=
−
−
′
=
+
−
′
Ж. 
.
,
2
1
C
xyz
C
z
y
x
=
=
+
+
21. 
dx
dy
dz
x y z
y z x
z x y
.
(
)
(
)
(
)
=
=
−
−
−
Ж. 
.
,
2
2
1
2
2
2
C
xyz
C
z
y
x
=
=
+
+
22. 
dx
dy
dz
x y
z
y z
x
z x
y
2
2
2
2
2
2
.
(
)
(
)
(
)
=
=
−
−
−
23. 
x
X
AX X
x
1
2
,
,
⎛ ⎞
=
=
′
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
2
3
1
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
=
A
Ж. 
.
3
2
1
2
1
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
=
−
−
t
t
t
t
e
C
e
C
e
C
e
C
X

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: