Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
| Лекция мәтіні
1. Айталық, Г кез келген тұйық немесе тұйық емес қисық, ал (z)-Г бойымен анықталған үзіліссіз фунция болсын делік. Сонда (1) өрнегінің Г-да жатпайтын әрбір Z нүкте үшін белгілі бір мәні бар болады, демек, Г-да жатпайтын барлық z нүктелерінде бір мәнді Ф(z) фунциясын анықтайды. Егер Г тұйық қисық, ал фунциясы Г-ның ішінде және Г-да аналитикалық фунция болса, онда zнүктесі Г-ның ішінже (1) өрнегі арқылы -ке тең болады. Ал, z нүктесі Г-дан тыс жатса нөлге тең болады. Бұл жағдайда (1) өрнекті біз Кошидың интегралы деп атадық. (z) фунциясына қатысты жоғарыда көрсетілген жалпы болжада (1) өрнекті Коши типті интеграл деп атау табиғи нәрсе. Теорема: Коши типті интегралмен анықталатын Ф(z) фунциячының Г-да жатпайтын әрбір zнүктесінде барлық ретті туындысы болады, олар Ф ( 2) формуласы арқылы өрпнектеледі. Әуелі n=1 үшін (2) формуланың орындалатынын көрсетейік. Бұл үшін Г-да жатпайтын кез келген z және z+h нүктелерін алып, h –ты 0-ге ұмтылуға мәжбүр ете отырып, (3 ) қатынастың Ф ( 4) Формуласы бойынша анықталған шектеулі шекке ұмтылатынын көрсетеміз. Осы мақсатпен (3) қатынасты былайша түрлендіреміз. (5) Бірі Г-да жатқан, ал екіншісі z болатын нүктелердің арасындағы ең қысқа қашықтықта 2d(d>0) арқылы белгілесек, Г-да жататын ~ қандай нүкте болғаниен (h) жеткілікті кіші болса, болады. Осыны ескеріп, (5) өрнек пен (4) өрнектің айырмасын құрып, оның модулін бағалайық. Мұнда леп жорылған өйткені шарт бойынша Г-да үзіліссіз фунция, ал L арқылы Г қисығының ұзындығы белгіленген, демек, айырма h пен бірге нөлге ұмтылады. Сонымен, (3) қатынас пен (4) интегралдың айырмасы h-пен бірге нөлге ұмтылады. Демек, n=1 үшін (2) формула дәлелденді. Осы сияқты дифференциялдауды екінші рет, жалпы айтқанда, мейлінше көп сан рет қайталап және толық индукция әдісін пайдаланып, (2) формуланың да кез келген n натурал сан үшін дұрыс екенін дәлелдейміз.
Сонымен, Кошидің негізгі формуласымен қатар осы формуланың ұйғарымдылық жағдайына қарай (6) формуласы орындалады. 3. Коши теоремасы бойынша бір байланысты G аймағында аналитикалық кез – келген функция үшін теңдігі орын алады. Мұнда Г -G аймағында тұтас жататын кез – келген тегіс тұйық контур. Италия математигі Морера көрсеткендей, бұл негізгі ұсыныс қайтымды: Егер бір байланысты G аймағында үзіліссіз функциясы осы аймақта жататын кез – келген тегіс тұйық контур үшін теңдігін қанағаттандырса, онда осы аймақта аналитикалық функция болады. жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|