Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі
- Лекция мәтіні
| 18 - лекция
Тейлор қатары. (2- саѓат) Жоспар: Аналитикалық функцияны Тейлор қатарына жіктеу. Қатардың коэффициенттері үшін Коши теңсіздігі. Лиувилль теоремасы. Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі 1. И.И. Привалов., Введение в теорию функций комплексного перенного ОГИЗ, Гостехиздат., “Наука”. 2.А.И. Маркушевич., краткий курс теорий аналитических функций. Физматгиз, 1961 3.Свешников А.Г., Тихонов А.Н., Теория функций комплексной переменной б) ќосымша 4.М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. –..: Наука 1973 5.Г.Л. Луну, Л.Э. Эльсгольц Функций комплексного переменного. Физматгиз, 1958 6.М.А. Евгрседов. Аналитические функции “Наука” , Москва, 1959 Лекция мәтіні Жинақтылық радиусы болатын (1) Кез келген дәрежеік қатар Абель теоремасы бойынша (18-лекция) жинақтылық дөңгелегңіне бір тұтас іштей жатқан кез келген дөңгелекте бір қалыпты жинақты болады. Бұл қатардың әрбір мүшесі комплекс айнымалы z жазықтығында аналитикалық функция болғандықтан Вейеритрасс теоремасы (17-лекция) бойынша (1) дәрежелік қатардың қосындысы жинақтылық дөңгелегінің ішінде аналитикалық функция болу керек және бұл қатарды қанша болса сонша рет мүшелеп дифференциялдауға да болады. Осының нәтижесінде радиусы R болатын туынды қатарларын аламыз. Бұларда жинақтылық дөңгелегінің ішіндегі кез келген нүкте. Дербес жағдайда десек, ..., Коэффициенттері осы формула мен алынған (2) қатары Тейлор қатары деп аталады. Енді қайсы бір дөңгелек ішінде аналитикалық болатын функцияны дәрежелі қатарға жіктеуге болатынын көрсетейік. Осы мақсатта кейбір шеңберінің ішінде аналитикалық болтын функцисын алайық z арқылы К шеңберінің ішінде жатқан кез келген нүктені белгілейік. нүктесін центр етіп, z нүктесі ішінде жататындай радиусты С шеңберін сызайық (4-сурет) . Функциясы шарт бойынша Сшеңберінде және оның ішінде аналитикалық функция болғандықтан, оның z нүктесіндегі мәнін Коши формуласы бойынша табуғы болады: (3) Біздің міндетіміз (3) интегралды ға қатысты дәрежелі қатардың қосындысы түрінде өрнектеу (4) екені айқын. С шеңберінде нүктесі қандай болмасын демек, Демек, өрнегі шексіз кемімелі геометриялық прогресияның қосындысы ретінде қарауға болады: Бұл өрнекті (4) формулаға қойсақ, шеңберімен шектелген тұйық дөңгелекте бір қалыпты жинақты болатын қатары шығды Бұл қатардың бір қалыпты жинақтылығын бұзбай, оны ге көбейтіп, интегралдасақ Бұл теңдіктің сол жағы Коши формуласы бойынша -ке тең, ал оң жағындағы интегралдар функциясының нүктесіндегі сәйкес туындыларын өрнектейді: Осыдан тейлор коэфиценттері үшін (5) формуласының орындылығы шығады. 2. Егер функциясы бірер дөңгелегі ішінде аналитикалық функция болса, оны -ның дәрежелері бойынша Тейлор қатары на жіктеуге болатынын көрдік. Бұл қатардың коэфициенттерін интегралдық формула арқылы өрнектеуге болады, мұндағы интегралдау қалауымызша алынған шеңбері бойымен жүргізіледі. функциясы жинақтылық дөңгелегінде шенелген, яғни теңсіздігі орындалады деп ұйғарсақ (6) Бұл теңсіздік барлық үшін орындалатындықтан -ны -ға ұмтылдыра отырып, шекке өту арқылы, Коши теңсіздіктеріне келеміз. жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|