Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі
- Лекция мәтіні
- Абельдіњ теоремасы.
| 17 - лекция
Дәрежелік қатарлар (1- саѓат) Жоспары: Абель теоремасы Коши – Адамар формуласы Жинақтылық дµњгелегі Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі 1. И.И. Привалов., Введение в теорию функций комплексного перенного ОГИЗ, Гостехиздат., “Наука”. 2.А.И. Маркушевич., краткий курс теорий аналитических функций. Физматгиз, 1961 Свешников А.Г., Тихонов А.Н., Теория функций комплексной переменной б) ќосымша М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука 1973 Г.Л. Луну, Л.Э. Эльсгольц Функций комплексного переменного. Физматгиз, 1958 М.А. Евгрседов. Аналитические функции “Наука” , Москва, 1959 Лекция мәтіні 1. М‰шелері z- -ныњ дәрежелерініњ µсуі бойынорналасқан мына қатар (1) дәрежелік қатар деп аталады, м±нда c0, c1, c2, … cn … коэффициенттері жғне -мғні т±рақты комплекс сандар, z-тғуелсіз комплекс айнымалы. (1)-де десек, z—ке қатысты дәрежелік қатар пайда болады: (2) Кез келген (1) қатардыњ н‰ктесінде жинақты болатындыѓы айқын. Б±дан, ғрине, мынадай с±рақ туады, жинақтылық аймақтары жалѓыз н‰ктеден т±ратын дәрежелік қатарлар бар ма? М±ндай қатарѓа қатары мысал болады; -да м±ныњ жалпы м‰шесі жаѓдайда ке ±мтылады, µйткені, жеткілікті ‰лкен кейбір n-нен бастап болады, демек, Сµйтіп, кез келген -де б±л қатар жинақсыз болады.М±ндай қатарлар класын қарастыруды қалдырып, (1) қатар н‰ктеден µзгеше, кейбір z0 н‰ктесінде жинақты болады деп жорйық, сонда мынадай теоремаѓа келеміз. Абельдіњ теоремасы. Егер дәрежелік (1) қатар н‰ктесінде жинақты болса, тењсіздігін қанаѓаттандыратын кез келген z- те абсолют жинақты болады. Басқаша айтқанда, дәрежелік (1) қатар z0 н‰ктесінде жинақты болса, ол қатар центрі н‰ктесінде жататын және z0 н‰ктесі арқылы µтетін шењбердіњ ішіндегі әр бір н‰ктеде жинақты болады. Дәлелдеуі. Теореманыњ шарты бойынша сан қатары жинақты болѓандықтан оныњ жалпы м‰шесініњ шегі 0-ге тењ болады, яѓни Сонда кез келген n ‰шін Енді тењсіздігін қанаѓаттандыратын кез келген z ‰шін (1) қатардыњ жалпы м‰шесін баѓалайық: (3) М±нда Сол себепті шексіз кемімелі геометриялық проглессияныњ м‰шелерінен қ±рылѓан қатары жинақты болады. Онда (3)-ні ескерсек, (1) қатар дµњгелегінде бір қалыпты жинақты болады. r санын қалаѓанымызша жақындатуѓа болады. Олай болса берілген қатардыњ м‰шелерініњ модульдерінен т±ратын қатар дµњгелегінде жинақты болады; м±нан берілген (1) қатардыњ µзініњ абсалют жинақтылыѓы шыѓады. Осы мен Абель теоремасы дәлелденді. 2. Абель теоремасын пайдаланып, кез келген дғрежелік қатардыњ жинақтылық аймаѓыныњ қ±рылымын айқындауѓа болады. Біріншіден, біз жинақтылық аймаѓы жалѓыз н‰ктесінен т±ратын қатардыњ бар екенін б±рыннан білеміз. Екіншіден жазықтықтыњ кез келген н‰ктесінде жинақты болатын қатарлар да бар. Мысалѓа, қатары кез келген z-те абсолют жинақты болады. Шынында, z қандай болса да бірер n-нен бастап тењсіздігі орындалатындықтан Ендеше, берілген қатардыњ барлық м‰шелері, бастапқы шектеулі сан м‰шелерінен басқасы, модульдері бойынша шектеусіз кемімелі геометрялық прогрессияныњ сғйкео м‰шелерінен кем болады. Демек, қарастыратын қатар кез келген z –те абсолют жинақты болады. Ақырында, жаѓдайѓа да, екінші жаѓдайѓа жатпайтын қатардыњ жинақтылық аймаѓын зерттейік. М±ндай қатардыњ, біріншіде н‰ктесінен µзге жинақталық н‰ктелері болады, екіншіден, ол қатардыњ жинақсыз н‰ктелері болады. Енді (1) қатар н‰ктесінде жинақты, ал z2 н‰ктесінде жинақсыз деп ±йѓарайық. Сонда Абель теоремасы бойынша қатар дµњгелегініњ ішінде жинақты болады, ал дµњгелегініњ сыртында жинақсыз болады. екені айқын . Егер болса, қатар дµњгелегініњ ішінде жинақты, ал сыртында жинақсыз болады. Егер , арқылы -ні белгілейміз z3 н‰ктесінде (1) қатар жинақты болса, онда Абель теоремасы бойынша қатар осы шењбердіњ ішкі н‰ктелерінде жинақты болады. Керісінше, егер z3 н‰ктесінде жинақсыз болса, шењберініњ сыртында жинақсыз болады. Сонымен R1 жғне R2 радиусты шењберлер арасындаѓы сақина тараяды. Егер (1) қатар дµњгелегінде жинақты болса, деп, ал қатар дµњгелегінде жинақсыз болса, деп алып, жоѓарыда айтылѓандарды қайталаймыз. Б±л процесті шектемей жалѓастыра берсек, біріне-бірі іштей сызылѓан кесінділер қаѓидасы бойынша R саны табылып, (1) қатар дµњгелегініњ ішінде жинақты, ал сыртында жинақсыз болатындыѓын байқаймыз. Б±л бекітім кез келген дғрежелік қатарда д±рыс болуы ‰шін оларѓа бірінші жаѓдайдаѓы қатарларды енгізу керек. Бірінші жаѓдайда (жинақтылық аймаѓы жалѓыз қ±ралѓанда) R=0 деп алу керек екені айқын, ал екінші жаѓдай (қатар б‰кіл жазықтықта жинақты болѓанда) деп алу керек. Міне, радиусы R осы дµњгелекті дәрежелік қатардыњ жинақтылық дµњгелегі, ал R оныњ жигнақтылық радиусыдеп аталады. Жинақтылық дµњгелегініњ шењберіндегі н‰ктелерге келсек, олардыњ біреуінде қатар жинақты, ал екіншісінде жинақсыз болуы м‰мкін. 3.Дәрежелік (1) қатардыњ коэффициенттерін негізге алып , (4) сандық тізбегін құрамыз. Бұл тізбектің барлық мүшелері теріс емес нақты сандар ретінде қарастырылады. (4) сандар тізбегінің ең үлкен арқылы белгілейік, яғни Сонда, (1) дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы формуласы бойынша табылады.бұл формула Коши-адамар формуласы деп аталады. Мысал : қатарының жинақтылық радиусы 1—ге тең. Шынында, егер n-бүтін санның квадраты болса, ал кері жағдайда 0-ге тең болады. Сөйтіп, не бірінші, не екінші жағдайға қарай не не 0 болады. Олай болса (4) сандар тізбегінің шектік сандары 0 мен 1 болады. Демек және жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|