Енді кемел сан деген қандай сан? Натурал санның бөлгіші деп берілген сан қалдықсыз бөлінетін санды айтатыны белгілі. п натурал санның өзінен басқа бөлгіштерінің қосындысы п натурал санның өзіне тең болса, онда п саныкемелсан деп аталады Қазірге дейін мынандай сұрақтардың жауабы табылмаған:
1) Ең үлкен кемел сан бар ма?
2) Тақ сандардың ішінде кемел сан бар ма?
Ежелгі Грецияның математиктері алғашқы кемел сан ретінде «6» санын таныды. Тіпті шақырылған қонақта 6-орында ең құрметті қонақ отырған.
6 санының бөлгіштері 1, 2, 3 және 6-ның өзі. Егер 6-дан басқа бөлгіштерді 1 + 2 + 3 қоссақ, онда біз 6 санын аламыз. Сондықтан, 6 саны алғашқы кемел сан болып табылады.
Ертеден белгілі келесі кемел сан "28". Шынымен де, 28 санының бөлгіштері 1, 2, 4, 7, 14 сандары. 1+2+4+7+14=28. Ежелгі грек математигі Евклидке дейін тек қана осы екі кемел сан белгілі болды және ешкім де басқа кемел сандардың бар екенін, тіпті қанша болуы мүмкін екенін де білмеді. Евклид тағы екі кемел санды таба алды: 496 и 8128. Бір жарым мың жылға жуық адамдар тек қана осы төрт санды білді.
Кемел сандар мынандай қасиеттерге ие:
Барлық кемел сандар үшбұрышты. Бұл дегеніміз, кемел санды шарларды алсақ, олардан әрқашан да тең қабырғалы үшбұрыштарды құрастыруға болады деген сөз.
- Кемел сандардың өзін қоса алғандағы бөлгіштеріне кері сандардың қосындысы әр уақытта 2-ге тең болады.
Әлемде кемел сандар сирек кездеседі. Қазіргі кезде 30-дан астам ғана кемел сан табылған.
Егер бір натурал санның өзінен басқа бөлгіштерінің қосындысы екінші натурал санға тең болса немесе керісінше болса, онда мұндай екі натурал сан достас сандар деп аталады. Осы сандарға алғаш назар аударған ежелгі грек ойшылы Самостық Пифагор (б.з.б. 570 - 500) болған. Сондықтан бұл сандар Пифагордың жұп сандары деп аталған. IX ғасырда өмір сүрген араб математигі ибн Курра Сабит (836 - 901) достас сандарды анықтауға арналған тәсіл тапқан.
