Қазақстан республикасының Ғылым және білім министрлігі
КЕҢІСТІКТЕГІ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
жүктеу/скачать 1,74 Mb.
|
все формулы вышмат
- Бұл бет үшін навигация:
- Жазықтықтардың параллельдік және перпендикулярлық шарттары
- Кеңістікте түзулердің параллельдігі мен перпендикулярлық шарттары
- Кеңістікте түзу мен жазықтықтың параллельдік және перпендикулярлық шарттары
| КЕҢІСТІКТЕГІ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
4. Кеңістіктегі жазықтық. Берілген М0(x0, y0, z0) нүкте арқылы өтіп, =(A,B,C) нормаль векторына перепендикуляр жазықтықтың теңдеуі A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2. Ax+By+Cz+D=0 теңдеуі, мұндағы А, В, С коэффициенттерінің кемінде біреу нөлге тең емес, жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Мұндағы =(A,B,C) нормаль векторы. 3. Жазықтықтың нормаль теңдеуі. Ax+By+Cz+D=0 теңдеуін нормаланған теңдеуіне келтіру үшін, оны нормалаушы көбейткішіне көбейту қажет. Егер D , болса, онда бұл көбейткіштің таңбасы D- нің таңбасына қарама – қарсы алынады. Ал егерде D=0 болса, онда - ның таңбасы ретінде екі таңбаның кез келгенің алуға болады, яғни Ax+By+Cz=0 теңдеудің сол жағын векторының ұзындығына бөлеміз. М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2), М3(x3 ,y3 ,z3) үш нүктеден өтетің жазықтықтың теңдеуі анықтауыш арқылы табылады Кеістіктегі аналитикалық геометрия Кеңістікте түзудің теңдеуі Жазықтықтағы тәрізді кеңістікте де кез келген сызық координаталары қандай да бір таңдалып алынған координат системасында F(x, y, z) = 0 (1) теңдеуін қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде анықталады. (1) теңдеу кеңістіктегі сызықтың теңдеуі болады. Сонымен қатар кеңістікте сызық басқаша да анықталуы мүмкін. Оны әрқасысы қандай да бір теңдеумен берілген екі беттің қиылысу сызығы деп қарауға болады. Айталық F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – L сызығы бойынша қиылысатын беттердің теңдеулері болсын. Сонда теңдеулер жүйесін кеңістіктегі сызықтың теңдеуі деп атайды. Кеңістікте нүкте мен бағыттаушы векторы арқылы берілген түзудің теңдеуі Кез келген түзу мен оған параллель (m, n, p) векторын алайық.. векторы түзудің бағыттаушы векторы деп аталады. Түзу бойынан кез келген М0(x0, y0, z0) және M(x, y, z) нүктелерін аламыз.. z M1 M0 0 y
x Бұл нүктелердің радиус- векторларын и арқылы белгілейік, сонда - = . и векторлары коллинеар болғандықтан, = t қатынасы орындалады, мұндағы t – кез келген параметр. = t теңдіктен мынау шығады: - = t . Бұдан = + t (2) . Бұл теңдеуді түзудің кез келген нүктесінің координаталары қанағаттандыратындықтан, (2) теңдеу түзудің параметрлік теңдеуі болады. Бұл векторлық теңдеу координаталық формада былайша жазылады: Бұл жүйені түрлендіріп t параметрге теңестіру арқылы кеңістіктегі түзудің канондық (жабайы) теңдеуін аламыз: . Түзудің параметрлік теңдеуі канондық теңдеуден шығады. Айталық бізге түзудің канондық теңдеуі берілсін. (1). Осыны t параметрге теңестіреміз. Сонда: =t , бұдан , немесе Анықтама. Түзудің бағыттаушы косинустары деп векторының бағыттаушы косинустарын айтады және олар төмендегі формулалар бойынша анықталады: ; . Бұдан мынаны аламыз: m : n : p = cos : cos : cos. m, n, p сандары түзудің бұрыштық коэффициенттері деп аталады. - нөлдік емес вектор болғандықтан, m, n и p бір уақытта нөлге тең бола алмайды, алайда бұл сандардың біреу не екуі нөлге тең болуы мүмкін. Бұл жағдайда түзудің теңдеуінен сәйкес алымдарын нөлге теңестіруге тура келеді. Кеңістікте екі нүкте арқылы өтетін тұзудің теңдеуі Егер кеңістіктегі түзудің бойынан M1(x1, y1, z1) және M2(x2, y2, z2) екі нүкте берілсе, онда олар түзудң жоғарыдағы теңдеуін қанағаттандыруы кере, яғни: . Сонымен қатар М1 нүкте үшін мынаны жазамыз: . Осы теңдеулерді біріктіп шешу арқылы мынаны аламыз: . Бұл екі нүкте арқылы берілген түзудің теңдеуі. Кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі Түзуді екі жазықтықтыңтың қиылысу арқылы былай анықталады: . Бұлардың нормаль ваекторларының координаталары былайша анықталады: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); Түзудің бағыттауыш векторы ,векторларына перпендикуляр. Сонда =x . Жазықтық векторлық формада төмендегі теңдеу арқылы берілуі мүмкін: + D = 0, где - жазықтықтың нормалі; -Жазықтықтың кез келген нүктесінің радиус - векторы. Айталық кеңістікте екі жазықтық берілсін: + D1 = 0 и + D2 = 0,нормаль векторлардың координаталары:: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z). Түзудің жалпы теңдеуі параметрлік түрде беріледі: Түзудің координаталық формадағы жалпы теңдеуі: Бұл практика жүзінде есеп теңдеуі жалпы түрде берілген түзулердің теңдеулерін канондық түрге келтіру болып табылады. Ол үшін түзудің кез келген нүктесін және m, n, p сандарын табады. Бұл ұшін түзудің бағыттаушы векторы берілген жазықтықтардың нормаль векторлардың векторлық көбейтіндісі арқылы анықталады. Мысалы. Түзудің канондық теңдеуін тап. Түзудің кез келген нүктесін табу үшін х = 0 деп аламыз, содан кейін осы мәнді берілген теңдеулер жүйесіне қоямыз. , т.е. А(0, 2, 1). Түзудің бағыттаушы векторының компоненттерін табамыз: Сонда түзудің канондық теңдеуі: Мысал. Түзудің теңдеуін канондық (жабайы) түрге кеклтір. Жоғарыдағы екі жазықтықтың қиылысуы арқылы берілген тұзудің кез келген нүктесін табу үшін z = 0 деп аламыз.Сонда: ; 2x – 9x – 7 = 0; x = -1; y = 3; Сонымен: A(-1; 3; 0). Түзудің бағыттаушы векторы: . Сонымен: Жазықтықтар арасындағы бұрыш 1 0 Кеңістіктегі екі жазықтық арасындағы бұрыш осы жазықтықтардың нормаль векторларының арасындағы 1 бұрышпен мынадай қатынаста болады: = 1 или = 1800 - 1, яғни cos = cos1. 1 бұрышын анықтайық. Жазықтықтар төмендегі теңдеулер арқылы берілсін: , мұндағы (A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Нормаль векторлардың арасындағы бұрышты скаляр көбейтіндіден табамыз: . Сонымен жазықтықтар арасындағы бұрыш төмендегі формула бойынша анықталады: Косинустың таңбасын таңдау жазықтықтар арасындағы қандай бұрышты (сүйір немесе онымен іргелес доғал бұрышты) табатынымызға байланысты. Жазықтықтардың параллельдік және перпендикулярлық шарттарыЖоғарыдағы шыққан формуланың негізінде жазықтықтардың арасындағы бұрышты табу үшін жазықтықтардың параллельдік және перпендикулярлық шарттарын табуға болады. Жазықтықтар перпендикуляр болу үшін сол жазықтықтардың арасындағы бұрыштың косинусы нөлге тенң болуы қажетті және жеткілікті. Бұл шарт орындалу үшін төмендегі шарт орындалу керек. Жазықтықтар параллель болу үшін олардың нормаль векторлары коллинеар болуы керек, яғни . Бұл шарт орындалу үшін төмендегі теңдік орындалу кернек: . Кеңістіктегі түзулер арасындағыбұрыш Айталық кеңістікте екі түзу өздерінің параметрлік теңдеулерімен берілсін: l1: l2: Түзулер арасындағы бұрыш және олардың бағыттаушы векторлары арасындағы 1 бұрыш = 1 немесе = 1800 - 1 қатысымен байланысты. Бағыттаушы векторлардың арасындағы бұрыш векторлардың скаляр көбейтіндісінен шығады, яғни: . d1 және d2 түзулер , түрінде берілсе онда екі түзудің арасындағы бұрыш мына формуламен анықталады. Кеңістікте түзулердің параллельдігі мен перпендикулярлық шарттарыЕкі түзу параллель болу үшін олардың бағыттаушы векторлары коллинеар болуы қажетті және жеткілікті, яғни векторлардың сәйкес координаталары пропорционал. Екі түзу перпендикуляр болу үшін олардың бағыттаушы векторлары перпендикуляр болуы қажетті және жеткілікті, яғни олардың арасындағы бұрыштың косинусы нөлге тең. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш Анықтама. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш деп түзу мен оның жазықтықтағы проекциясының арасындағы кез келген бұрышты айтады.
Айталық жазықтық теңдеуімен, ал түзу - теңдеуімен берілсін. Геометриялық кескіні бойынша (суретті қара.) ізделінді бұрыш = 900 - , мұндағы - угол и векторлары арасындағы бұрыш. Бұл бұрыш төмендегі формула бойынша табылады: Координаталық формада: Кеңістікте түзу мен жазықтықтың параллельдік және перпендикулярлық шарттарыТүзу мен жазықтық параллель болу үшін жазықтықтың нормаль векторы мен түзудің бағыттайшы векторлары перпендикуляр болуы қажетті және жеткілікті. Ол үшін сол векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болуы қажетті. Түзу мен жазықтық перпендикуляр жазықтықтың нормаль векторы түзудің бағыттаушы векторы коллинеар болуы қажетті және жеткілікті. Бұл шарт орындалады, егер осы векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса. жүктеу/скачать 1,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|