Білім беру бағдарламасы: 7М01501 Математика Құрастырушы: Молдагалиев В. С. ф м.ғ. к., доцент, Алеуова З. Ж. ф м.ғ. к., доцент

№ 2, 3-дәріс:D дифференциалды операторы және оның сипаттамалық функциясы.

Вектордың скаляр көбейтіндісі ∇ және V векторлық өрісі V векторының дивергенциясы ретінде белгілі:

∇ және V векторларының векторлық көбейтіндісі нәтижесінде V векторының роторын аламыз:

Скалярлық өнім Лаплас операторы немесе лаплассиан деп аталатын скалярлық дифференциалды операторға сәйкес келеді. Ол сондай-ақ ∆ символымен белгіленеді:

Екінші ретті тағы бір дифференциалды оператор-Д ' Аламбер операторын атап өтеміз. Бұл оператор □ квадрат ретінде белгіленеді және салыстырмалылық, электромагнетизм және физиканың басқа салаларында қолданылады. Төрт өлшемді кеңістікте (t, x, y, z) ол дифференциалды өрнек түрінде көрінеді

□=,

− Лаплас операторы.

Дифференциалдық операторларды енгізу дифференциалдық теңдеулерді операторлар теориясы және функционалдық талдау тұрғысынан зерттеуге мүмкіндік береді. Мұндай жалпыланған тәсіл күшті және тиімді. Атап айтқанда, n–ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуге қосымшада біз теңдеулерді жазудың ықшам әдісін аламыз, ал кейбір жағдайларда оларды тез шешуге мүмкіндік аламыз.

n–ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді қарастырыңыз:

1. 
   Енгізілген L(D) операторының кейбір қасиеттерін қарастырыңыз.
   

2. 
   Қосудың коммуникативті заңы:.
   
3. 
   Қосудың ассоциативті заңы:
   

4. 
   Қөбейтудің коммуникативті заңы:
   
5. 
   Қөбейтудің ассоциативті заңы:
   
6. 
   Қосуға қатысты көбейтудің дистрибутивтік Заңы:
   

№ 6, 7-дәріс: Сызықтық біртекті емес теңдеулердің периодтық дерлік шешімінің тұрғызылуы.

Формуланы қолдана отырып,

түрдегі есеп шешімін аламыз, сондай-ақ

егер

Бұл қисықтың құрылысы қиын емес, өйткені интегралы әдетте қателер интегралы деп аталады, ықтималдықтар теориясында жиі кездеседі және ол үшін егжей-тегжейлі кестелер бар [16].

(52) формулаерікті және келесі түрде жазылуы мүмкін

.

Осыдан нүктесінде температура әрдайым тұрақты және оң және сол жақтағы бастапқы мәндердің жартысына тең болатындығын көруге болады.

формуламен ұсынылуы керек, бұл функцияның мағынасынан туындайды.

1. 
   матрицасы (периодтық функцияның үздіксіз класы, – тұрақты вектор, кейбір нақты санды сандар, ();
   
2. 
   мұндағы– кейбір нақты сан екенін болжайық.
   

Біріншіжақындаубойыншатұрақтылықтыталдаукезінде, егербіріншіжақындаужүйесітұрақтыболса, ондасызықтықемес(1)жүйеніңтұрақтылығытуралымәселеанықталды. Мұндағы келесі жағдайларда А матрицасының меншікті мәндерімен шешіледі:

1. 
   А матрицасының барлық меншікті мәндерінде теріс нақты бөліктер бар.
   
2. 
   Бұл матрицаның кем дегенде бір меншікті мәні оң нақты бөлікке ие.
   

f(σ) функциясы сызықты емес болуы мүмкін деп саналады.Егер f (σ) сызықты болса, онда(3) жүйе сызықты емес болып қалады, өйткені f (σ) түзу сызықтардың бөліктерінен тұратын сипаттамаға ие.Алайда, бұл жағдайда оның қозғалыс теңдеуін сызықтық емес кейбір кіші параметрмен сипаттайтындай етіп елестету мүмкін емес, сондықтан бұл мәселені шешудің басқа әдістері қажет.Мұнда біз гармоникалық сызықтық әдісті қарастырамыз. Ұқсас жағдай f (σ) болған жағдайда болады тұрақты функция. Сызықтық емес жүйелердің мерзімді шешімдерін құру әдістері кез-келген дәлдікпен шешім қабылдауға мүмкіндік береді. Олардың барлығы тиісті түрде таңдалған сызықтық теңдеулер жүйесін дәйекті қолдануға негізделген.

Жылу теңдеуінің жалғыз шешімін таңдау үшін бастапқы және шекаралық шарттар теңдеуге қосылуы керек.Бастапқы шарт, гиперболалық типтегі теңдеуден айырмашылығы, бастапқы сәтте функцияның мәндерін белгілеуде ғана болады. Шекарадағы температура режиміне байланысты шекаралық жағдайлар әртүрлі болуы мүмкін. Шекаралық шарттардың үш негізгі түрін қарастырыңыз.

1. түзуінің соңында температурасы берілген.

мұндағы, – кейбір аралығында беріген функция, сонымен қатар, процесс зерттелетін уақыт кезеңі бар.

2.шетіндетындысының мәні берілген.

Егер біз өзектің соңғы бөлімі арқылы өтетін жылу ағынының мөлшерін анықтасақ, біз осы жағдайға келеміз.

.

3. 
   шетінде туынды мен функция арасындағысызықтыққатынасберілген.
   

бізүшіншішекаралықШарттыңматематикалықтұжырымдамасыналамыз

Сол сияқты, басқа да шекаралық тапсырмалар i кезінде жиек жағдайларыныңжәне әртүрлі комбинацияларымен орнатылады. Жоғарыда қарастырылғанға қарағанда анағұрлым күрделі типтегі шекті жағдайлар мүмкін.

Мысалы, шоғырланған жылу сыйымдылығы өзектің соңында орналассын (мысалы, жоғары жылу өткізгіштігі бар дене, нәтижесінде дененің бүкіл көлеміндегі температура тұрақты деп санауға болады) және Ньютон заңы бойынша сыртқы ортамен жылу алмасу жүреді.

Сонда шекті шарт (жылу балансының теңдеуін білдіретін) келесі түрде болады,

Мұндағы – сыртқы ортаның температурасы. Бұл шарт туындысын қамтиды( немесе теңдеуін есепке алсақ, ).

Егер орта гетерогенді болса және теңдеудің коэффициенттері үзілмелі функциялар болса, онда мәселенің шешімін іздейтін алшақтық коэффициенттердің үзілу нүктелерімен бірнеше бөлікке бөлінеді, олардың ішінде функция жылу өткізгіштік теңдеуін, ал шекараларда – конъюгация шарттарын қанағаттандырады.

мұндағы – коэффициенттердіңүзілунүктелері.

Мұндааталғанміндеттерденбасқа, олардыңшектіжағдайларыжиікездеседі. Өтеұзынөзектегіжылуөткізгіштікпроцесінқарастырайық. Қысқа уақыт ішінде өзектің орталық бөлігіндегі шекарада белгіленген температура режимінің әсері өте нашар әсер етеді және осы аймақтағы температура негізінен температураның бастапқы таралуымен анықталады.Бұл жағдайда өзектің ұзындығын дәл есепке алу маңызды емес, өйткені өзектің ұзындығының өзгеруі бізді қызықтыратын аймақтың температурасына айтарлықтай әсер етпейді; осы типтегі тапсырмаларда өзек шексіз ұзындыққа ие деп саналады.

Осылайша, температураның шексіз сызыққа таралуы туралы бастапқы шарттар (Коши есебі) қойылады:

Теңдеу коэффициенттеріне келесі шектеулерді енгізейік:

1. 
   Олар -да бойынша периодты анықталған және үзіліссіз.
   
2. 
   Гельдер біркелкі шарты бойынша жағдайда, сондай – ақ , бойынша функцияларды.
   
3. 
   вфункциясы үшін оператордың біркелкі параболалық жағдайы бар симметриялы матрицасын түзеді.
   
4. 
   
   

№18, 19- дәріс:Периодтықкоэффициенттері бар параболалықтеңдеудіңіргелішешімі.

Бастапқыдеректерменшексізтікелейтапсырманықарастырайық (Коши есебі):

жылуөткізгіштіктеңдеуінқанағаттандыратын,аймағындаанықталғаншектеуліфункциясынтабу керек:

,

Егер-үздіксіз функция болса, онда бастапқы шарттың орындалуын үздіксіз , яғни үздіксіз мағынада түсінеміз.

Көріп отырғанымыздай, жылу өткізгіштік теңдеуінің шешімі, егер ол шектеулі болса, бастапқы шарттарымен біркелкі анықталады. Сондықтан шектеу шарты теоремалардың тұжырымына енгізіледі.Алдымен айнымалыларды бөлуге негізделген мәселені шешудің ресми сызбасын береміз.

Біз көбейтінді түрінде ұсынылған теңдеудің тривиалды емес шешімін іздейміз.

Бұдан шығатыны:

мұндағы – бөлупараметрі. Бұдан:

Теңдеулерді шешіп, түрдегі теңдеуінің жеке шешімдерін табу керек.

Егер теңдеуге кіретін туындыларды Интеграл белгісімен саралау арқылы есептеуге болатын болса, онда функция осы теңдеудің нақты шешімдерінің суперпозициясы ретінде теңдеуді қанағаттандыратыны анық.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің периодтық шешімдері туралы мәселе бүкіл осьте шектелген шешімдер туралы есеппен тығыз байланысты.Мысалы, автономды жүйенің кез-келген шектеулі шешімі x′ = Ax, мерзімді дерлік болып табылады. .

Есеп. Бұл мәлімдемені дәлелдеңіз. Бұл айғақ